眼科病床的有效计划

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摘要

医院是一个由各部门相互联系的系统,本题我们对医院系统中住院部的病床合理安排利用情况进行了分析，基于对2008年7月13日至2008年9月11日这段时间内各类患者的门诊时间、门诊时间、第一、二次手术时间及出院时间情况的原始数据整理，运用排队论即随机服务系统理论，将模型引申为模型，通过数学方法定量地、对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟研究,科学、准确地描述排队系统的概率规律。并运用MATLAB计算出在患者到门诊时，根据当时住院患者及等待住院患者的统计情况，能够告知其大致入住时间的区间。基于原始数据制出平均治疗时间表、满意度表及一周每天平均入院人数表，假设就医的患者是无差别的，满意度也是无差别的，进而优化出每天的患者入院安排参考指南，因为我们得出的结论为FCFS的模型并不能满足实际需求，需要根据满意度原则重新建立入院的数学模型，以达到患者和医院的双赢，使双方利益最大化，提高对医院资源的有效利用。

关键词

模型满意度负指数分布优化模型[13]入住前等待时间的区间

问题重述

医院是一个复杂的系统,患者挂号、就诊、住院、划价、取药每一个服务机构,当某项服务的现有需求超过提供该服务的现有能力时,排队现象就会发生。由于患者到达的时间和诊治患者所需时间的随机性,可控性小,排队几乎是不可避免的。排队等待时间过长,不仅会耽误患者的最佳治疗时间使其满意度下降,而且导致医务人员工作过于忙乱,易出差错引起医患纠纷,对患者和社会都会带来不良影响。因此合理科学安排医疗资源,使医院避免不必要的空闲,形成资源浪费,又能使患者排队等待时间尽可能减少,如何在这两者之间取得平衡,以便提高服务质量,降低服务费用,这是现代医院管理者必须面对的课题。

问题假设

假设医院的手术医生资源是充足的；

假设所使用的数据都真实准确；

假设住院费用与住院天数成正比；

假设治疗时间与疾病机理无关；

假设术后恢复时间与患者体质、年龄无关；

假设每次手术都成功；

假设手术医生的选择由医院决定；

假设病人是无差别的，所以满意度也是无差别的；

假定79张病床并联排列,各病床独立工作；

假设代表满意的程度：。

符号说明

：在任意时刻系统中有个患者的概率；

：单位时间内到达患者的均值；

：单位时间内服务患者的均值；

：在相同时间间隔内患者到达的平均数与能被服务的患者的平均数的比值，称为服务因子。若服务因子越小，表示服务率越高；若>1，则表示单位时间内到达的患者数超过离去的患者数，队伍会越来越长；

：患者在系统中平均逗留时间；

：患者在队列中平均等待时间；

：患者入院治疗时间

：第种病的出院人数与5种病出院总人数之比；

：单位时间内服务第种病的患者的平均值；

：满意的程度；

：白内障单眼患者；

：白内障双眼患者；

：其他眼科疾病患者；

：外伤疾病患者；

：第患者入院人数占入院总人数的比例；

：第患者分配的床位数；

：为平均住院人数；

：满意度函数；

○：表示可以安排入院的患者；

×：表示不考虑安排入院的患者

模型分析

我们拟利用平均住院日、病床周转次数和预住院这三个指标构成评价指标体系：

平均住院日（AverageLengthofStay,ALOS）

平均住院日[8]是评价医院工作效率和效率、医疗质量和技术水平的综合指标，它全面地反映医院的医、护、技力量和医院的管理水平。在确保医疗服务质量的前提下，有效缩短平均住院日能使医院在实现资源成本最小化的同时，减少患者的直接和间接费用，达到医院综合效益的最大化。出院者的平均住院日的计算公式如下：

患者平均住院日=；

根据已知数据利用上述公式可知，患者平均住院日为9.3天；

病床周转次数=；

可根据现有数据可算出从8月8日到9月14日计算出院人数为301人，所以病床周转次数为=3.8次；

病床的工作效率=平均病床工作日病床周转次。

平均病床工作日可近似认为是患者的平均住院日[9]，根据原始数据计算可得：出院者平均住院日=8.6天，所以病床的工作效率=；

在开放床位数没有发生明显增加的情况下，出院患者的增加说明院内医疗资源得到了更为有效的利用，即同样的住院医疗资源为更多的患者提供了住院医疗服务。随着平均住院日的缩减，病床的使用率提高了，转换的速度也加快了，收治的患者也在逐渐增多。

预住院

针对病情相对稳定需要住院治疗的患者因没有空床不能立刻收治的情况，通过收住虚拟床位患者的形式，进行正式住院前的一切术前必要检查，患者不需住院但接受医院给予的必要检查，术前准备完毕后，根据床位情况安排正式入院，从而缩短患者的术前住院等待时间降低医疗费用。预住院期间患者按门诊患者对待，正式入院后，纳入病房管理。预住院[8]期间医院将妥善安排相关检查项目，尽早安排已办理预住院的患者正式入院，从而缩短了患者术前的准备时间，减少患者的医疗费用。预住院期间医院不收取床位费、护理费、伙食费、空调费等无关费用，实行预住院制度时床位安排的优先遵循急诊患者、预住院患者、平诊患者的顺序，对已等待一定时间的预住院患者优先安排入院。这既遵循了急诊优先、预住院优先，也遵循了时间优先的原则，预住院期间医疗文书管理即患者的门诊病历由患者本人保管。预住院转入正式住院后，住院医疗文书均与普通住院者相同。

模型建立及优化

模型一

排队论[13]，或称随机服务系统理论。每当某项服务的现有需求量超过提供该项服务的现有能力时，排队现象就会发生。排队论模型是通过数学方法定量地、对一个客观复杂的排队系统的结构和行为进行动态模拟研究,科学、准确地描述排队系统的概率规律。在医院管理中,若在排队论的基础上,对医院排队系统的结构和行为进行科学的模拟和系统的研究，从而对医院病床安排进行最优设计,以获得反映其系统本质特征的数量指标结果,进行预测、分析或评价,最大限度地满足患者的需求,将有效避免资源浪费。

系统描述

以医院为研究对象,它有如下特征:

1.输入过程:患者的到达是相互独立,相继到达的时间间隔是随机的；一定时间的到达服从Poisson分布。

2.排队规则:从先到先服务,且为等待制,即患者到达时所有诊室和医生都没有空闲,他们就要排队等待。

3.服务时间:患者诊治时间是相互独立的,服从负指数分布。

4.服务窗口:多服务台,C个服务台并联排列,各服务台独立工作。模型是输入过程为泊松输入，病床服务时间为负指数分布并具有单病床的等待制排队系统模型，这是最简单的排队系统模型。

我们采用排队论中最常见的模型，该模型是输入过程为泊松输入，病床服务时间为负指数分布并具有单病床的等待制排队系统模型。

（图为输入过程为泊松输入，病床服务时间为负指数分布并具有单病床的等待制排队系统模型[3]）在分析过程中，我们假设系统的患者源和容量都是无限的，患者单队排列，排队规则是先到先服务()。

表示有效的平均到达率l与平均服务率m之比(0＜r＜1)。

我们将模型引申为模型，视医院住院部的79张病床为79个随机服务模型，且假设医院的手术医生资源是充足的。

模型[6]

是多病床的等待制排队系统,它的各种特征的规定和假设与模型基本相同.并假定C个病床并联排列,各病床独立工作,其平均服务率相同,即==…==m.因此,该系统的平均服务率为Cm

在统计平衡状态下,服务强度：

此时,系统的稳态概率为：[7]

患者在系统中平均逗留时间由患者在队列中平均等待时间和患者入院治疗时间组成，即：

关于问题三中提及到的“患者希望尽早知道自己大约何时能住院”的问题，我们认为可以根据当时住院患者及等待住院患者的统计情况，在患者到门诊时即可告知其大致入住时间的区间。

通过对数据的分析，基于模型，运用Excel，按患者的病情种类计算出2008年7月13日至2008年9月11日之间入住前的平均等待时间，即患者在队列中平均等待时间，如下所示：

白内障单眼患者：11.97天

白内障双眼患者：12.29天

其他眼科疾病患者：12.06天

外伤疾病患者：0.95天

由附录三中各类患者入住前等待时间的详细数据，运用MATLAB,可以计算出患者入住前等待时间的区间(结果保留小数点后一位)

1.以白内障单眼患者入住前的等待时间图像为例[4]：

可得期望，即均值为11.9722，标准差为1.7114，因此我们有的把握性程度认为白内障单眼患者入住前等待时间落入[11.6，12.4]的区间内。

2.白内障双眼患者入住前的等待时间:

期望，即均值为12.2927，标准差为0.8238，因此我们有的把握性程度认为白内障单眼患者入住前等待时间落入[12.1，12.4]的区间内。

3.其他眼科疾病患者入住前的等待时间:

期望，即均值为12.1500，标准差为1.0724，因此我们有的把握性程度认为白内障单眼患者入住前等待时间落入[12.0，12.3]的区间内。

4.外伤疾病患者入住前的等待时间:

期望，即均值为0.9455，标准差为0.2292，因此我们有的把握性程度认为白内障单眼患者入住前等待时间落入[0.9，1.0]的区间内。

模型二

从已知的原始数据可知，从2008年7月13号开始住院的病人，最晚的出院时间为8月8日，因此我们运用MATLAB软件做出从此日开始关于累积住院人数、累积出院人数及病房实时的病人数的图形。通过我们对数据的计算及所做图形可以清楚的得出，病房实时的病人数一直为79人，也就是说医院的病床一直处于的利用状态，没有任何的资源浪费。因此我们需要考虑的问题是如何来确定第二天应该安排哪些病人住院，也就是说需要根据第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。

由于模型没有考虑到本题的限定条件，即：该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。外伤疾病通常属于急症，病床有空时会立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。其他眼科疾病比较复杂，有两种不同情况，但大致住院以后2、3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。

根据以上限定条件来建立模型，目的是为了提高患者的满意程度，使医院的资源得到最有效的利用。对医院而言，可以缩短平均住院日，降低医疗成本，有效缓解“看病难，看病贵”的问题，得到经济效益与社会效益的双丰收；对患者而言，可以缩短无价值住院日，总住院时间也就相应缩短了，不但可以直接减少患者的医疗费用，也间接减少了患者家属单位的院外消耗。尤其对于外地患者，更是节约了很大一笔费用。

此题中，我们假设就医的患者是无差别的，满意度也是无差别的。

为了便于重新统计数据，把病种分为四类即：、、、分别代表白内障（单眼），白内障（双眼），其他眼科疾病和外伤疾病。

根据原始数据可算出从8月9日到9月11日之间4种疾病从周一到周日各自的平均治疗时间，利用Excel把数据进行分类，统计出每天4种疾病分别的治疗时间，再进行加权平均，求出每天的平均治疗时间（如下表）。

表一：平均治疗时间表（单位：天）

入院时间

病种

周六

周日

周一

周二

周三

周四

周五

4.73.3754775.5

6.561210.59.597.5

11.2510.612.510.710.310.211.3

6.28.57.56.35.5107

将算出的平均治疗时间从小到大进行排列，因为通常情况下住院治疗时间越短，患者的满意度便会越高。这样就可以减少患者的无价值住院，直接降低其医疗费用。

假设代表满意的程度：

假设满意度：

根据以上统计表列出满意度函数：，（为平均住院人数）；如下表:

表二：满意度表（单位：）

入院时间

病种

周六

周日

周一

周二

周三

周四

周五

200%200%200%200%200%200%200%

是外伤急症患者，所以此类患者有可能性被优先考虑入院。再根据原始数据，同样利用Excel统计出4种病每天分别的治疗人数，再进行加权平均（如：下图）。

表三：周一至周日每天平均入院人数表（单位：人数）

入院时间

病种

周六

周日

周一

周二

周三

周四

周五

3311322

4222322

43

21233

2

131221

利用满意度函数，（为平均住院人数），代入数据即可得出：

假设类病人最后到达；

其中分别代表周六、周日、周一、周二、周三、周四、周五的满意度函数。

为了进行优化设计，我们来做定性的分析。

假设每天平均出院人数为10人，以8月9日（周六）为例，根据表三的平均入院人数是13人，由于10人<13人,根据FCFS的模型不能满足实际需求，需要根据满意度原则重新建立入院的数学模型。

前提条件：外伤患者可以优先入院；

规则：

1.优先原则：在外伤患者优先入院的前提下，满意度越高的其他患者越优先被安排入院；

2.提前原则：在有空余床位的情况下，把后一天未被分配床位的患者优先考虑；

3.延后原则：在没有空余床位的情况下，根据满意度原则，满意度越高的患者越被优先考虑入院。

改进后的模型：（以周六、周日、周一为例）

按照先后顺序，用入院人数满意度并代入数值得：

由此得出：

即按照改进后模型算出的满意度远远高于改进前的满意度。

此模型说明：根据患者的满意程度，医院重新安排患者的入院顺序，以达到患者和医院的双赢，使其利益最大化。以8月9日为例，有两个急症患者最优先安排入住，其次安排4名白内障（双眼）患者入院、3名白内障（单眼）患者入院、1名其他患者（青光眼或视网膜疾病）入院，余下3名患者等待第二天优先分配入院。

通过对模型的分析，我们制订了可以在周六、周日做手术的条件下，每天的患者入院安排参考指南。“○”表示可以安排入院的患者，“×”表示不考虑安排入院的患者（如下表）。

周一周二周三周四周五周六周日

○○××○○×

×××××○○

○○○○○○○

有可能性被随时优先考虑入院

因为外伤疾病患者有的可能性被随时优先考虑入院，因此当在一天中出现有两类患者可以被考虑安排入院时，需要考虑满意度，满意度越高的越被优先安排入院。

关于问题四中提及到的“若该住院部周六、周日不安排手术”的问题，我们认为医院的手术时间安排应该作出相应的调整。由临近原则，将周一、周三的白内障手术改为周二、周四做，以此来缓解周一周三的手术压力。

如下表所示，为周六周日不做手术时平均治疗时间表（单位：天）及周一至周日每天平均入院人数表（单位：人数）

问题四的解决与问题二所使用的规则相同，只不过所使用的表格如下所示与之前的有所不同。

入院时间

病种

周日

周一

周二

周三

周四

周五

周六

4.73.37548.295.5

6.561210.510.510.57.5

11.2510.612.510.711.311.211.3

6.28.57.56.37.3117

入院时间

病种

周日

周一

周二

周三

周四

周五

周六

2131564

2243331

21

41222

1

321231

模型三：病床比例分配模型

根据原始数据，这家医院以前的排队情况可如下描述[12]：

整体到达率：

整体服务率：

==1.041

若>1，即单位时间内到达的患者数超过离去的患者数，因此队伍会越来越长。

根据原始数据算出：

为白内障单眼患者入院人数占入院总人数的比例

为白内障双眼患者入院人数占入院总人数的比例

为其他（青光眼，视网膜疾病）患者入院人数占入院总人数的比例

为外伤患者入院人数占入院人总数的比例

按比例分配床位数[10]

为白内障单眼患者分配的床位数

为白内障双眼患者分配的床位数

为其他患者（青光眼，视网膜疾病）分配的床位数

为外伤患者分配的床位数

把病人分类安排病床数仍然符合模型，利用模型算出四种患者服务强度

假设：

到达率：

服务率：

如果按比例分配床位数，出单眼白内障患者有排队现象以外（），双眼白内障患者，其他眼病患者，外伤患者，都没有排队显现了（）。这种按比例分配床的方法，提高了服务效率，缩短了逗留时间[1]。

参考文献

[1]傅维潼，《物流数学》，高等教育出版社，2006年版；

[2]姜启源谢金星叶俊，《数学模型》（第三版），高等教育出版社，2008年版；

[3]葛哲学，《精通MATLAB》，电子工业出版社，2008年版；

[4]罗建军，《MATLAB教程》，电子工业出版社，2005年版；

[5]韩新焕朱萌纾吴静，《医院管理系统中排队模型的优化决策分析》，

医学数学模型探讨，Vol.21，No.1，2008年；

[6]周义仓赫孝良，《数学建模实验》，西安交通大学出版社，1999年版；

[7]徐瑜，陶谦坎《病人住院排队论的研究及应用》，西安交通大学学报Vol.23,No6；

[8]周惠芬，潘景业，《实施预住院制度，降低平均住院日》，医疗管理R197.3；

[9]胡艳荣，胡燕萍，《有效缩短平均住院日与提高医院效益的关系》，医疗管理R197.3；

[10]王小虹，《我院病床预测与分配方案》，临床医学,Vol.21,No8；

[11]59.77.1.114:85/厦门大学数学建模精品课程；

[12]/p-249477.html,医院排队论模型;

[13]/p-15525234.html,第六章排队论及排队系统优化；

[14]/ht/news_more.asp?lm2=71,中华数学建模网基地。