大学物理静电场高斯定理知识点分析

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【摘要】电磁学大学物理课程的重要模块，是理工科学生的普遍修读的内容。静电场高斯定理是电磁学的基础，是学生必须掌握的知识点。通过分析静电场高斯定理知识点的内容，以基本概念为基础，采用层次化、递进的方式讲解这一知识点，对于帮助学生更好地学习和理解，有一定的帮助。

【关键词】静电场；高斯定理；知识点；分析

电磁学是理工科学生必修课程“大学物理”中的重要内容，静电场高斯定理是电磁学中一个非常重要的内容，是学生学习对矢量场特性分析的第一个知识点。只有掌握了静电场高斯定理，学生才能比较有效地开展电磁学后续内容的学习。但是，由于电场和磁场是抽象的物理概念，它们本身是看不见的客观存，很多学生对于理解电场、磁场的规律和特性，存在一定的困难。同时，由于高校普遍对“大学物理”理论课的课时进行压缩，使一些重要的概念和定理的推导过程被“侵蚀”。因此，如何能利用有限的时间高效地把理论知识阐述在课堂上，是教师要考虑的一个重要问题。通过对知识点的分析梳理，结合多年以来的教学经验，对于静电场高斯定理的讲解，可以几个基本概念为要点，以层次化的递进方式进行讲解，最后推导得到静电场高斯定理的内容（图1）。

一、对电场线与电通量的讲解

由于电场是看不到的，人们使用电场线比较直观地描述电场在空间的分布，在空间某点上，电场线的方向，即是该点的电场方向；电场线的密度，即是该点的电场强度大小。如果在空间中定义一个面（平面或曲面），电场线就有可能穿过这个面，穿过该面的电场线的数量，就是这个面的电场强度通量，简称——电通量，用Φ_e表示。如图2所示，在均匀电场中的某个平面，其电通量的计算可以使用面积与电场强度的点积进行计算；其中为平面的法向单位矢量。在这一部分的讲解，要抓住电场强度、电场线、电通量这几个物理概念之间的联系，在巩固旧知的基础上，通过旧知之间的联系扩展得到对新知识的认知和理解。

二、对面积元、面积元上的电通量的讲解

可以通过把均匀场、平面的电通量计算扩展为非均匀场或曲面的情况，通过提出问题的方式，导引出面积元的概念和面积元电通量的计算方法。如图3所示，一个指定的面，可以划分为无限个组成部分，每个组成部分，即是一个面积无限小的面——面积元。面积元是一个矢量，它的方向取法向方向。面积元用表示。由于面积元的面积无限小，在面积元上的电场强度，可以看作是均匀电场。因此，面积元上的电通量可以使用均匀场和平面的方式进行计算。即：对于面积元的方向，还要进行补充的说明：由于面积元是矢量，拥有方向，可以把所分隔的空间分为“里面”和“外面”，如图4所示。通过矢量的运算规划，说明电通量的取值可以是正的，也可以是负的：当面积元上的电场与面积元方向成锐角的时候，电场线是由里向外从面积元“穿出”，产生正的通量；当面积元上的电场与面积元方向成钝角的时候，电场线是由外向里从面积元“穿入”，产生负的通量。对于正、负通量所代表的物理含义，是理解静电场高斯定理的一个重要基础。

三、对面积元电通量之和——整个面的电通量计算方法的讲解

由于整个面是由面积元组成，把每个面积元上的电通量求和，即可以得到整个面的电通量，即：并且n→∞，上式其实就是面积元的电通量对整个面的定积分，即由此，推导出一般情况下，整个面的电通量的计算方法。

四、对高斯面的定义及其选择问题的讲解

高斯面是一种闭合面。在空间中选择一个特定的高斯面，就会把空间分为高斯面“内”和高斯面“外”的2个部分。高斯面上的各个面积元的方向，是从“内”指向“外”的法向方向。在此，建立起高斯面的“内”“外”与面积元的“内”“外”之间的联系。在一些特定的情况下，根据电荷分布的对称性，可知电场分布也具有对称性，再根据电场空间分布的特性选择适当的高斯面，可以使高斯面的电通量计算得到极大的简化。三种典型的电荷分布对称的情况分别是：球对称性、轴对称性和面对称性，根据不同对称性的特点，可以按图5选择不同的高斯面由电场的分布情况和高斯面的选取情况来看，高斯面上的面积元方向与电场强度的方向有2种情况，分别是垂直和同向（或反向）。当面积元方向与电场强度方向垂直时，面各元上的电通量为零；当面积元方向与电场强度方向同向（或反向）时，电通量的绝对值为两矢量的模相乘。并且，由于对称，高斯面上能产生电通量的面积元上的电场强度大小是相等的，极大简化了计算的过程。

五、对静电场高斯定理的推导

可以通过对点电荷电场在闭合面上造成的电通量的计算问题，推导得到静电场高斯定理。如图6所示，空间中有一点电荷Q，求包裹在Q外的不规则闭合面的电通量。可以以Q为球心，建立半径为R的球面高斯面，球面高斯面把不规则闭合面包裹在其中，电荷Q所激发电场的电场线如果从球面高斯面穿出，则必然也会从不规则闭合面穿出。因此，把求解不规则闭合面的电通量的问题，转换为求球面高斯面电通量的问题。𝐸𝐸�⃑由于电荷Q处于球面高斯面的中心，Q所激发的电场在球面高斯面上大小处处相等，并与球面高斯面上各点面积元的方向同向。因此，求解电通量的计算就极为简化了。此结论不仅适合于闭合面包裹住单个点电荷的情况，也适合于闭合面包裹住多个点电荷或连续带电体等的一般情况。这就导出了静电场高斯定理的内容，即：在此处，要对静电场高斯定理中的各个物理量的涵义进行现次的梳理和强调，帮助学生加深认识。

六、对于静电场高斯定理的讨论及应用

在推导得到静电场高斯定理后，要及时进行分析讨论，得到和印证静电场的一些特性。通过这样的讨论，也可达到巩固学生学习效果的作用。在讨论的过程中，还要注意讲解电场强度与闭合面电通量的决定因素是不同的：闭合面上的电通量，只与被闭合面包裹在里边的电荷量有关，与闭合面外的电荷无关；闭合面上每一点的电场强度，却是由空间中所有电荷所共同决定的。在这个部分，可以使用举例的方法，如图7所示，点电荷位于闭合面外，点电荷电场在闭合面上有多少根电场线穿入，就必有多少根穿出，因此，处于闭合面外部的点电荷所激发的电场，在闭合面上造成的电通量为零。𝑄𝑄通过对静电场高斯定理的讨论，进一步介绍静电场是有源场，也印证了电场线从正电荷出发、负电荷终止的这一特点。最后，介绍静电场高斯定理的重要应用方向：在电荷分布具有对称性的一些情况下，使用其求解电场强度分布，可以大大地减少计算量。并配以经典例题进行讲解。高斯定理是对矢量场进行分析的一个重要工具。静电场高斯定理在“大学物理”课程体系里，是首个使用高斯定理分析矢量场的案例，是一个重要的方法。同时，静电场高斯定理揭示了静电场是有源场的特性，是电磁学中的重要基础理论。作为重要的方法与重要的定理，学生必须掌握静电场高斯定理。实践证明，从电场线、电通量、面积元等几个基本物理概念出发，使用分层次、递进式的讲解方法，逻辑比较清楚，推导过程较有说服力，对于学生更好地理解静电场高斯定理有一定的帮助。

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作者：杨云海 章芬芬 单位：韶关学院信息工程学院