文化符号生成数学观研究

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在各种人类文化活动和文化符号生成过程中，时常蕴涵着各种数学原理。从人类文明史进程来看，各个时代的总体文化特征与同时代科技活动存在某种必然关联，这符合艺术发展的规律。文化符号生成过程中蕴涵着新思想、新技术以及对时代先进生产力的吸收与利用等特征,常见于人类的文化与艺术之史。这符合文明发展的规律。近年来,有关中西方艺术与科技相融合的历史，以及传统文化现代价值的各类研究越来越受到人们的关注，值得人们系统的、多元化的思考。

一、数学的生命力植根于社会生活

如果与人类的文明史相比较,显然，数学形成和发展的历程就略显简短。事实上,数学一直与人类的文化与科技生产力有必然的关联,数学是人类文化的组成部分。数学家柯朗（RichardCourant）曾这样定义数学：“数学，作为人类思维的表达形式……以及对完美境界的追求。”[1]从大量的文化考古及研究中发现,数学具有博大精深的内涵。在人类古文明中，大量的数学、天文、地理等知识被运用于金字塔和各种神殿等建造中。其实，在古代中国，古人很早就懂得应用数学分析和研究客观世界。在天文学领域中，中国人发明了“历算”，其理论基础就是数学。象征着古埃及文明的著名建筑金字塔共有100余座，大量的数学、天文、地理、生理等知识被运用于金字塔及神殿的建造（参见图1）。古代埃及人在劳动与生活实践过程中应用了大量的数学知识。从某种意义上说，几何学的形成是“尼罗河水泛滥所带来的恩赐”。古埃及人制定了“历法”，其理论基础就是数学。与此同时，众多的实际需要和兴趣激发了数学活动的灵感,又进一步推动数学本身的发展。在玛雅文明中，存在着大量的历史遗迹,如金字塔、神殿、天文台以及石碑等。这些被展示的文化符号，在体现其某种文化特征、象征意义等内容的同时，蕴涵着某种数学观或数学“法则”。众所周知，人类历史上首先发明“零”概念的就是玛雅人，因此，古玛雅人在数学等方面的成就令人惊讶，对往后的计算科学和计算机的发明具有促进和推动意义。由于玛雅文明被人们所认识的时间不长，大约是在上世纪四十年代，因此，常被称为失落的玛雅文明（图2）。人们都熟知埃及有金字塔，却很少有人知道古代玛雅金字塔的数量比埃及还多。而且，玛雅金字塔与埃及金字塔的结构、功能和意义完全不同。前者为实心，塔顶供教士们居住或观察天象之用，塔前广场是祭典场所；而后者是空心，内部为帝王陵寝。据考证，玛雅文明的金字塔的每一块石块都与历法、数学、天文有关。由此可见，大量的数学、天文、地理等知识被运用于玛雅金字塔的建造之中（参见图3）。古希腊时期，柏拉图等人试图将数学、几何学与人的审美经验相互联系在一起。毕达哥拉斯则认为“万物皆由数来安排”。难以置信，这些数学的法则和比例，在古希腊会产生如此广泛的影响。在文艺复兴时期，这种所谓“数学法则”仍旧被普遍应用于各类艺术创造过程中，对数学家、画家、建筑师乃至音乐家仍具有普遍的吸引力。艺术上的理性主义观念进一步表现为对各种写实技法的研究与运用。在绘画中,利用人体解剖学、光影法、透视学等科学原理及写实技法使作品更能表现客观的真实感。与中世纪绘画相比较,文艺复兴时期的作品在二维平面中引入了第三维的概念，即在绘画过程中处理了空间、距离、体积、质量和视觉印象等。而具有三维空间感的画面效果只有通过射影几何学和透视学等原理及写实技法才能得到，其原理的核心是数学（参见图4）。综观人类文明的发展史，文化符号在生成过程中时常能找到大量“数学法则”被普遍应用于各类艺术实践活动，丰富的例证常见于历代文化与艺术之中。对称，在数学上，指的是研究对象在某种变换或操作下始终保持不变的性质，因而，在科学上具有根本性意义。在人类的文化中，对称与平衡、和谐、秩序、形式美感等概念联系在一起。尤其在中国文化中，对称蕴涵着不偏不倚的中庸之道，事实上，中和之道几千年来内化成了中华民族特有的意识与内在性格，一直延续至今。对称具有数学与文化双重的含义，远在人类文明之前，自然界中的植物与花卉大都具有对称特征，以人类为代表的脊椎动物都具有左右对称特征。人类在最早期的改造自然过程中，已从自然界中发现和运用这一数学灵感，大量的历史与文化遗迹可以证明这一观点。同时，事实证明，数学的生命力根植于社会生活（参见图5）。

二、数学对称理论

如前所说，对称在科学上具有根本性意义。在对象上的任何一种对称变换或对称操作,只影响对象几何学性质照片，洞穴中的地砖、墙饰等都能发现人类对平衡、形状、空间、形式等概念的思考上变化，反演操作，使一切重新回到原点。H.J.Woods,在19世纪30年表的四篇研究论文“图案设计的几何基础”（TheGeometricalBasisofPatternDesign）[2]，以及OwenJones的著作《装饰原理》（TheGrammarofOrnament），被公认是对称与图案设计领域十分有影响的研究。E.H.Gombrich有著作《秩序感》（“TheSenseofOrder”-Astudyofthepsychologyofdecorativeart）。他的相关研究，被认为拓展了对称研究的视野，他从符号、文化与数学的综合视角研究艺术，具有重要的影响力。平面对称，是以四种对称变换或对称操作在平面中的应用为特征。即，平移（Translation）、旋转（Rotation）、反射（Reflection），滑移反射（Glide-reflection）。数学家Coxeter[3],Jeger[4],Guggenheimer[5],Yale[6],Schattschneider[7]的研究在数学、晶体学领域具有重要的影响力。荷兰艺术家M.C.埃舍尔（M.C.Escher）是将“数学法则”普遍应用于图形创意的典范，他的图形创意，不仅创造了生动的艺术形象，而且融合了数学对称思维的灵感（参见图6）。1.对称原理与术语解释对称，数学上有严格的定义，如前所说，四种对称变换或对称操作，可以单独或组合作用于对象，呈现相应不同的对称特征，并根据相应的对称操作在对象中的组合情形进行科学系统的分类。在平面中，平移是构成二维图案的最基本特征，但是，平移是在两个不同的互不平行的方向上进行的。如果平移只朝某单一方向，只能构成带状图案。详细的对称变换示意（镜像反射轴由符号m标示，滑移反射轴由符号g标示）参见图7。2.对称与相关符号的进一步的解析对称的相关同义术语有全等变换（congruencetransformation）、等距同构（isometries）等。在二维平面中，平移是构成二维图案的最基本特征，但是，平移是在两个不同的互不平行的方向上进行的。如上所述，在平面中，四种对称变换可以单独或组合应用于图形结构之中，并构成相应的对称和分类特征。图8示意了一个由等边三角形所构成的平面，如图所示，可以借助连续反射等边三角形构成平面、围绕等边三角形的顶点O连续旋转60º构成平面。在平面中，平移是构成二维图案的最基本特征，如果在最基本单元中任选一个点，通过在两个分别不同的互不平行的方向上进行平移，就能形成等距规律性的重复点阵（参见图9）。在平面点阵中，根据连接点阵方式的不同，允许形成各种不同的基本平移单位（形成一个点阵的对应点的框架，如图10所示）。在平面中，平移是构成图案的最基本特征，共有5类不同的点阵，在对称原理允许范围内构成的基本结构框架（基本平移单位），分别是：平行四边形、菱形、长方形、正方形和六边形。这种局限被称为“结晶学限制”。相关17种不同对称特征的图案结构（基本平移单位，如图11所示）。Martin[8]和Schwarzenberger[9]提供了相关的理论依据，不同的对称特征由相关通用的国际晶体学通用符号标示（括号内为简化的符号标示）。详解参阅本文所列参考书目。

三、对称在传统建筑文化符号中的具体应用

在人类的文化、艺术、建筑等各种活动中时常发现与数学的渊源，如前所说，在人类文化中，对称时常与平衡、和谐、秩序、形式美感等概念联系在一起。对称蕴涵着不偏不倚的中庸之道，事实上，几千年来内化成了中华民族特有的意识与内在性格。因此，传统建筑，作为被展示的文化符号，其建筑的风格、形式结构、美学追求等因素受到影响是必然的。1.对称在传统建筑文化符号中的表现在中西方传统建筑的建造中，人们经常发现，这些作为被展示的文化符号，在体现某种文化特征、象征意义等内容的同时，其背后时常蕴涵着某种数学元素或数学“法则”。从本质上看，文化和艺术之间的差异，追根寻源，主要是由于各自文化的哲学思想不同所导致的。大量的历史与文化遗迹证明了这一观点。数学，作为人类思维的表达形式，以及对完美境界的追求，对人类的哲学思想的形成具有影响作用，同时也构成了数学科学的生命力。中国传统建筑布局、城市规划等都十分讲究对称，因为对称所呈现出的特性以及视觉上的中庸、秩序、和谐、庄严等特征与文化意义上的对称含义是相一致的。孔子曰：“不偏为中，不变为庸。”这种中庸思想对中国人行为观念、文化活动、建筑布局、城市规划，甚至人伦秩序等必然会产生影响。就我们首都北京的城市布局而言，不论城市如何拓展与变化，始终沿着城市中轴线进行规划和设计。城市规划布局中的对称观念,自中国古代一直延续至今（参见图右边是细部装饰的平面示意图（资料来源:TheStoryofArchitecture,byPatrickNuttgens）。图14是starlanternBurgoscathedral教堂的天顶结构和装饰，图案的结构基于中心和轴对称构筑（PatrickNuttgens）。图15（上图）是婆罗浮屠（Borobudur）佛塔，应该算是世界上最大的佛教遗址，瓜哇岛的佛塔群，基底尺寸：边长114米、高46米。图15（下图）是塔平面示意图，塔结构是基于中心及轴反射对称原理而构筑（资料来源于《世界文明奇迹》，王伟芳、余开亮编）。图16是伊斯兰教和阿拉伯风格的清真寺装饰以及对称原理的平面装饰示意图（资料来源:MoorishArchitecture,byMarianneBarrucand）。在跨文化的艺术研究中，人们不难发现，由于人类生活在不同的区域和民族文化族群之中的缘故，往往会存在文化和哲学观上的差异，进而导致人的认知、审美倾向偏好等诸方面的不同。对称虽然是人类在生活与实践过程中共同发现的数学灵感，然而，在现实生活、各类文化活动中的应用和艺术效应仍会存在十分明显的区别。这种差异主要体现在文化符号的形式特征、审美特征等各层面。例如，古代罗马人和生活在地中海沿岸的居民，他们与其他民族人群之间，有时尽管会应用相同的“数学法则”创造各自的文化符号，但是，符号的形式、审美特征方面肯定会有很明显的区别。古罗马人的装饰风格与其他民族的装饰风格就存在十分明显的差异（参见图17，资料来源于Symmetry,byHermannWeyl）。古罗马时期的装饰风格同样也十分讲究对称，大量的建筑墙面、地面、墙壁、柱子以及天顶上的彩绘装饰等，都体现着古罗马时期的艺术风格。其图案装饰风格很特别，通常以人类、动植物以及自然景象的镶嵌图案（马赛克）作为装饰。这种追求和谐、秩序、对称的审美观，也同样早已内化成了古罗马人的民族意识与内在性格，是古罗马文化与美学的精髓。早期的摩尔人（阿拉伯人）的装饰风格和审美观十分独特。大量能被展示的文化符号在生成过程中时常能找到“数学对称法则”被普遍应用于那些艺术实践活动，丰富的例证常见于历代文化与艺术之中（参见图18，左图是基于中心及旋转对称的图案装饰，右图是对称原理的示意图。资料来源于Symmetry,byHermannWeyl）。图案装饰风格给人留下深刻的印象。图19是西班牙摩尔人（moor）诸王的豪华宫殿（AlhambraPalace）格兰纳达薄呢，穆斯林和伊斯兰教的装饰风格和对称图案给人们留下了深刻印象（资料来源于Symmetry,byHermannWeyl）。图20是中国传统的窗花装饰设计，图形的结构蕴藏着数学对称。图21是分别基于classp4和classp6对称原理而构成的图案装饰（资料来源于Symmetry,byHermannWeyl）。2.对称在传统建筑文化符号及相关装饰品中的表现对称在传统建筑文化符号及相关装饰品中的范例十分丰富，这些图案装饰大都出现在手工艺品、织物、编织工艺品、器具、陶艺等上（如图21所示，资料来源于DecorativePatternsoftheAncientWorld,byFlindersPetrie）。这些来自不同区域、民族和文化的原始手工艺品，具有不同的装饰风格，但都是基于对称原理而构成的。在艺术考古中，人们经常发现，在不同的区域和民族文化遗产中，存在着十分类似的装饰及图案结构，这并不是意外和巧合，这是人类的创造和文化活动所基于相同的数学灵感启示的缘故。但是，由于民族、文化、区域的差异，同样会产生许多丰富有趣而不同的表现。

四、结语

本文经过对中西方传统的被展示的建筑文化符号的研究，清晰地意识到，由于人类在文化和哲学思想上存在着差异性，因此,导致人的认知、审美、民族意识以及人的内在性格等完全不同。同时，这种差异性也必然会影响到人类的各种文化活动，甚至即便在同类文化活动中，遵循相同的“数学法则”开展艺术实践活动，实践的结果之间（作品风格之间）同样会存在十分明显的差异。研究文化符号中所蕴含的数学观，意义十分明确，希望人们能清晰地意识到，人类文明发展进程中数学与文化的关系，以及数学在人类文明发展中的积极作用。事实证明，对称具有数学与文化的双重的含义，数学是文化的一部分。

作者:林迅 单位:上海交通大学媒体与设计学院