卷积运算的数字信号论文

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1线性卷积的计算方法

1．1图解法图解法主要是在坐标系上，严格按照计算（1）式的四个步骤：翻转、移位、相乘和求和，得到线性卷积结果。采用图解法比较直观讲解线性卷积的计算过程，在数字信号处理教材中常采用图解法为例讲解线性卷积的计算［1，2］。

1．2多项式法多项式法是根据序列x（n）和h（n）构造多项式，序列x（n）和h（n）的元素作为多项式的系数，例如：根据序列x（n）＝｛1，3，2｝构造多项式x2＋3x＋2，根据序列h（n）＝｛10，20｝构造多项式10x＋20，把两个多项式相乘（x2＋3x＋2）＊（10x＋20）＝10x3＋50x2＋80x＋40，相乘所得的多项式的系数构成的序列｛10，50，80，40｝即为线性卷积的结果。

1．3竖式法竖式法是把序列x（n）和h（n）按照最后一位对齐，进行竖式乘法运算［4］，但各个元素相乘后不进位，例如序列x（n）＝｛1，3，2｝和h（n）＝｛10，20｝按照竖式法计算线性卷积如图1所示，则线性卷积结果为｛10，50，80，40｝。

1．4FFT快速算法当循环卷积的长度L大于或等于线性卷积的长度N＋M－1时，循环卷积的结果和线性卷积的结果相等，所以只要FFT快速算法的计算点数大于线性卷积的长度，就可以采用FFT快速算法计算出线性卷积，在MATLAB软件中提供了FFT快速算法的函数，通过调用fft函数和ifft函数完成线性卷积计算［5］。上述计算线性卷积的方法中，图解法适于讲解线性卷积的运算规律，多项式法和竖式法适合于快速计算出线性卷积的结果，FFT快速算法适合采用MATLAB软件编程实现。

2循环卷积的计算方法

2．1图解法图解法主要是在坐标系上，严格按照计算（4）式的六个步骤：补零、周期延拓、翻转、移位、相乘和求和，得到循环卷积结果［6］，采用图解法比较直观理解循环卷积的计算过程。

2．2矩阵相乘法由于循环卷积在对序列x（m）经过补零、周期延拓、翻转得到的序列x［（（－m））L］＝x（L－m）为循环倒相序列，循环右移序列x［（（n－m））L］为对循环倒相序列进行循环右移n位后得到的循环移位序列，然后把得到的循环移位序列与h（m）相乘并求和得到yc（n），由于相乘求和运算可由矩阵相乘代替，即由循环移位序列构成L点循环卷积矩阵，与由h（m）构成的L维列向量相乘，得到yc（n）。采用矩阵相乘法计算循环卷积简单明了，在数字信号处理教材中大多采用此方法为例讲解循环卷积的计算［1］。

2．3线性卷积法由于循环卷积和线性卷积满足的关系如（5）式所示［1］。当循环卷积的长度L大于或等于线性卷积的长度N＋M－1时，线性卷积yl（n）做周期延拓无重叠，此时循环卷积和线性卷积相等，此时线性卷积的结果为循环卷积的前N＋M－1项，循环卷积的后L－N－M＋1项为零。当循环卷积的长度L小于线性卷积的长度N＋M－1时，线性卷积yl（n）做周期延拓有重叠，循环卷积的结果有两部分组成，一部分是线性卷积不重叠的部分，n的取值区间为N＋M－1－L≤n≤L－1，此时循环卷积和线性卷积相等；另一部分为重叠部分，n的取值区间为0≤n≤N＋M－L－2，重叠部分的循环卷积计算如（6）式所示。上述计算循环卷积的方法中，图形法适于讲解循环卷积的运算规律，矩阵相乘法和线性卷积法适合于快速计算出循环卷积的结果。

3结论

本文旨在帮助学生正确理解和掌握卷积运算的规律。根据线性卷积的计算公式推导出了循环卷积的计算公式；讨论了线性卷积的计算方法：图解法、多项式相乘法、竖式法和FFT快速算法，循环卷积的计算方法：图解法、矩阵相乘法和线性卷积法。在教学中采用本文方法讲解卷积运算，既能很快掌握线性卷积和循环卷积的关系，又能很快计算出卷积的结果，解决了卷积运算教学过程中难于计算的问题，提高了卷积运算的教学效果。

作者：姜恩华陈得宝窦德召单位：淮北师范大学