统计质量管理技术两类错误分析

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摘要:假设检验、过程控制、抽样检验是统计质量管理的三种常用技术。小概率事件原理是前二者的实际推断原理，三者均是由样本提供的信息对总体的相关特征进行推断。由于推断原理的特性以及样本的随机性，三种统计技术在应用过程中不可避免地存在两类错误。本文就两类错误的影响因素以及为减少错误所采取的措施进行了系统讨论与比较，这对于正确认识三种质量管理统计技术的风险并采取措施降低风险有着积极的指导意义。

关键词:质量管理;统计方法;假设检验;过程控制;抽样检验;小概率事件

一、引言

质量是企业的生命，随着信息和科学技术的进步，统计方法在企业质量管理中得到了广泛的应用。假设检验、过程控制、抽样检验是常用的三种质量管理统计技术。假设检验是统计推断的核心内容，对总体的某种特征(分布函数或有关参数)提出假设，依据小概率事件原理，利用样本提供的信息做出拒绝或不拒绝原假设的决策。在产品生产过程的各个阶段，利用小概率事件原理，通过控制图判断生产过程是否存在异常因素，或对生产过程进行监控，以提高和控制产品质量。在产品验收阶段，抽样检验是产品验收的重要手段，制定合理的抽样检验方案，利用抽取的样本信息做出拒收或接收该批产品的决策。然而，假设检验、过程控制、抽样检验三种质量管理统计技术在实际应用过程中均有可能犯两类错误。假设检验中，若原假设正确却被拒绝时就犯了第一类错误，也称弃真错误;若原假设不正确却未被拒绝时就犯了第二类错误，也称取伪错误。在利用控制图判异过程中，过程处于稳态却被判异时，就犯了第一类错误，也称虚发警报错误;若过程存在异常因素却未被判异时，就犯了第二类错误，也称漏发警报的错误。根据抽样检验方案对检验批进行产品验收时，合格批产品被拒收就犯了第一类错误，犯第一类错误的风险称为生产方风险;若不合格批产品被接收就犯了第二类错误，犯此类错误的风险称为使用方风险。关于假设检验中的两类错误，已取得了大量的研究成果，如文献［1］－［4］。温德成［5］研究了质量特性均值发生连续漂移时基于两类错误经济性分析的控制图控制界限的选择问题。任玉珑等［6］基于两类风险，运用博弈思想研究了计数一次抽检方案的确定。假设检验、过程控制、抽样检验三种质量管理统计技术中两类错误的影响因素、影响趋势既有各自的特点又有相似之处，本文首次对质量管理三种统计技术中产生的两类错误进行比较研究，并提出为降低两类错误的风险所应采取的措施。

二、“两类错误”在三种统计技术中的原因分析及其风险

(一)假设检验中的两类错误

假设检验是统计推断的重要内容，为了推断总体的某些特征，提出关于总体特性的某种假设，根据抽样获取的样本的信息对所提出的假设做出拒绝还是不拒绝的判断。假设检验所依据的实际推断原理———“小概率事件原理”，即小概率事件在一次实验中几乎不发生。如果小概率事件发生，则有理由怀疑原假设的合理性，从而做出拒绝原假设的判断。然而，小概率事件并不是不可能事件，在一次实验中也是有可能发生的，此时，若原假设是正确的，因小概率事件发生而做出拒绝原假设的判断，就犯了第一类错误，犯此类错误的概率记为α=Ρ(拒绝原假设|原假设正确);另一方面，若原假设不正确，由于抽样的随机性，因小概率事件未发生而做出了不拒绝原假设的判断，就犯了第二类错误，犯第二类错误的概率记为β=Ρ(不拒绝原假设|原假设不正确)。无论是犯了弃真错误还是取伪错误，都会造成一定的损失。

(二)过程控制中的两类错误

统计过程控制是应用统计技术对过程中的各个阶段进行评估和监控，建立和保持过程处于可接受且稳定的水平，从而保证产品与服务符合规定要求的一种质量管理技术。各行业经常利用关键特性的控制图，实现过程的稳定性。控制图已成为重要的过程质量控制的工具［7］。若正态随机变量Χ～Ν(μ，σ2)，其观测值落在［μ－3σ，μ+3σ］外的概率为0．27%，为小概率事件。休哈特根据正态分布的这一性质构造了休哈特控制图。若过程不存在异常因素，则控制图中点子一般位于界内呈随机排列无异常趋势。根据样本点位置以及变化趋势，国家标准GB/T4091－2001《常规控制图》给出了控制图的8种判异准则。控制图的判异依据仍为小概率事件原理。由于抽样的随机性，在过程不存在异常因素的情况下，仍可能会出现样本点出界。此时根据判异准则，认为过程存在异常因素，就犯了第一类错误，也称“虚发警报的错误”;另一方面，若过程存在异常因素，样本点仍可能位于界内，从而判定过程正常，于是就犯了第二类错误，也称“漏发警报的错误”。第一类错误将导致对本不存在的问题去无谓地寻找原因而导致成本增加，第二类错误将引起更多废品、次品而增加损失。

(三)抽样检验中的两类错误

抽样检验是质量控制的重要组成部分，从一大批产品中按事先设计好的方案随机抽取若干样品，通过检查这些样品的质量来判断整批产品的质量是否合格的一种统计方法。其核心是用统计方法规定样本量与接收准则的一个具体方案［8］。如计数型标准型抽样方案常表示为(n，Ac)，即从检验批产品中随机抽取n件产品进行检验，若其中不合格品数(不合格数)d≤Ac，则接收该批产品;若d＞Ac，则拒收该批产品。检验批的接收概率是抽样检验方案、批质量的函数。一个合理的抽样检验方案，应使得高质量产品以高概率接收，低质量产品以低概率接收。由于抽样的随机性，无论多么完美的抽样方法、检测程序，都会存在两类错误，即高质量产品经抽样检验被拒收———犯了第一类错误;低质量产品经抽样检验，做出了接收该批产品的判断———犯了第二类错误。高质量产品被拒收，意味着将会给生产方造成损失，即造成生产方风险;低质量产品被接收，将会给使用方造成损失，即造成使用方风险。

三、质量管理统计技术中“两类错误”计算示例及分析

本节将分别以正态总体均值检验、休哈特均值图、质量特性具有下规范限的一次抽样检验方案为例，探讨两类错误的计算，产生两类错误的影响因素以及为减少两类错误应采取的措施。例1:设X～N(μ，σ2)，其中σ2已知，X=(X1，X2，…，Xn)为来自总体X的一个样本，其观测值记为x=(x1，x2，…，xn)，原假设为H0:μ=μ0，备择假设为H1:μ≠μ0，检验的显著性水平为α。对于此假设检验问题，一般分析过程如下:(1)提出原假设H0:μ=μ0，备择假设H1:μ≠μ0;(2)在原假设成立的条件下，{|珚X－μ0|＞c}为小概率事件，对于给定的检验水平对单侧假设检验结论与双侧检验结论类似。由结论(1)－(3)，若要同时减少两类错误，唯一的途径就是增大样本容量。但在实际应用中，增大样本容量，也就意味着成本的增加，往往不太现实。此外，权衡犯两类错误所造成的损失，若犯第一类错误的损失更大，可适当降低检验水平α;若犯第二类错误的损失更大，可适当增大检验水平α，以降低犯第二类错误的概率β。例2:假设质量特性X～N(μ，σ2)，不妨假设σ2已知，休哈特均值图以μ0为控制中心线，分别以μ0±3σ/槡n为上下控制限。分别比较式(1)(2)和(3)(4)，可得如下结论:(1)若增大上下控制限的宽度，α减小，β增大;若减小上下控制限的宽度，α增大，β减小。(2)其他参数不变，若均值偏离度|μ0－μ1|越小，β越大，且lim|μ0－μ1|→0β=1－α。|μ0－μ1|越大，β越小，lim|μ0－μ1|→∞β=0。在应用中，虽然偏离度|μ0－μ1|小会导致更大的β，但更小的偏离度却是人们所期待的结果。(3)β是n的减函数，若增大样本容量，则β减小。(4)经简单计算可得，若μ0≠μ1，根据上述分析，为减小控制图应用中存在的两类错误，可采取增大样本容量的方法，但增大样本容量，势必造成成本的增加。另外，也可以通过改进工艺，提高管理水平，以减少过程标准差的途径。此外，通过引入点子趋势的更多判异准则，也可减少漏发警报的错误。例3:质量特性Χ～Ν(μ，σ2)，具有下规范限，计量一次抽样检验方案表示为(n，kL)。经简单计算可得μ1＜kL＜μ0，由式(6)可得如下结论，n，kL，σ三个参数中，保持其中两个不变:(1)若样本容量n增大，则α及β均减小。(2)若标准差σ减小，则α及β均减小。(3)若kL增大，则α增大，β减小;若kL减小，则α减小，β增大。通过以上分析，可以采取与控制图应用中类似的办法来降低犯两类错误的概率，如增大抽样的样本容量或缩小过程的标准差。

四、结论

作为质量管理的重要统计技术，假设检验、过程控制、抽样检验在实际应用中均存在犯两类错误的风险，错误发生通常会造成损失，所以应尽量采取相关措施，以降低两类错误发生的概率。本文将对三种统计技术应用中可能发生的两类错误进行比较研究，寻求减少两类错误的措施。结论如下:(1)三种技术均是由样本推断总体，由于样本的随机性，两类错误的发生难以避免。且通常两类错误呈“此消彼长”的关系，采取措施降低一类错误概率的同时，又会导致犯另一类错误概率的增加。(2)两类错误为互斥事件(非对立事件)，一次应用中，两类错误至多有一类出现，且通常α+β≠1。(3)假设检验第一类错误是可以控制的，第二类错误通常是不可控的，但可确定其范围(总体参数未知时，是不能计算出第二类错误发生概率大小的)。(4)正态性假定是推断的基础。通常，假设检验是对正态总体的参数进行推断;控制图构造是以正态分布为前提的;计量型抽样检验假定质量特性值服从正态分布。(5)通过增加抽样的样本容量可降低犯三种常用方法中两类错误的概率;改进加工工艺，减少过程标准差，可减少控制图应用、抽样检验中所犯第二类错误的概率。(6)假设检验、过程控制、抽样检验中的两类错误，发生的环节不同，造成的危害也有区别。假设检验中出现错误，会导致对原假设的判断出现偏差;过程控制中出现错误，会影响生产工序的正常进行;抽样检验中出现错误，会对生产方或使用方的利益造成损害。三种方法在应用中，应综合考虑其影响因素，合理控制成本，采取有效措施降低两类错误发生的风险。

参考文献:

［1］蔡越江．论假设检验中的两类错误［J］．数理统计与管理，1999，(3):31－35．

［2］李文华，雷金星．假设检验中的两类错误的成因、发生概率及其相关问题:以单个总体均值检验为例［J］．统计与决策，2005，(6):117－119．

［3］高发玲，刘春霞，孙建英，郭萍．单正态总体假设检验的两类错误概率关系分析［J］．重庆工商大学学报(自然科学版)，2015，32(9):57－60．

［4］黄艳华，郑芳琳．参数假设检验中两类错误的剖析［J］．钦州学院学报，2018，(3):14－21．

［5］温德成，安玉红．均值变化下的控制图3σ控制界限的经济性分析［J］．统计与决策，2008，(21):151－152．

［6］任玉珑，任洪宾，李俊，唐浩阳．生产方和使用方博弈行为的计数1次抽检方案［J］．重庆大学学报(自然科学版)，2004，(12):139－141．

［7］周友苏，于振凡．质量管理统计技术［M］．北京:北京大学出版社，2010．

［8］周纪芗，茆诗松．质量管理统计方法［M］．北京:中国统计出版社，2008．

作者：李锋 冯三营 朱杰堂 单位：郑州大学数学与统计学院 郑州航空工业管理学院