透析统计学在地质工程中的运用

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摘要：随着世界能源供应日益紧张，勘探技术日益得到人们的重视，统计学的相关的理论和知识在地质工程中也逐渐发挥出巨大的作用。文章阐述了地质统计学的相关发展情况，分析了地质统计学的常见方法，并对地质统计学的应用进行了简单分析。

关键词：统计学；地质工程；应用分析

地质统计学是20世纪六七十年展起来的一门新兴的数学地质学科的分支，是随着采矿业的发展而兴起的一门交叉学科。地质统计学是以区域化变量理论为基础，以变异函数为主要工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性，或空间相关和依赖性的自然现象的科学。国内外地质统计学的理论、方法及应用均达到了成熟的阶段，并形成了具有较好应用价值的软件。具有代表性的有：法国巴黎高等矿院地质统计学研究中心研制的ISATIS；美国斯坦福大学应用地球科学系C.v.Deutsch和A.G.Journel共同编写的GSIJB程序包，等等；北京科技大学地质系也编写出地质统计学方法研究程序集。

近年来，克里金技术在石油勘探开发中的应用日益广泛深入，效果也越来越明显。主要应用包括：储层预测，即估计地层的埋深、层厚、孔隙度、渗透率和含油饱和度等地质和地球物理参数的空间分布，这些变量在空间既存在一定的空间分布规律（结构性），又存在局部的变异性（随机性），这些变量都属于区域化变量，因此可以用地质统计学方法对这些变量进行研究绘制各种地质图件；利用地质统计学的变差函数研究储层的非均质性及各向异性；数据整合，即整合地震、测井、钻井和露头等各种信息并进行建模。除此以外，随机模拟方法和油藏数值模拟相结合，可以预测油藏的动态特征，为制定和调整开发方案并提高采收率提供依据。

一、地质统计学研究方法的基本理论

（一）基本原理

当一个变量呈现为空间分布时，就称之为区域化变量。这种变量常常反映某种空间现象的特征，用区域化变量来描述的现象称之为区域化现象。区域化变量，亦称区域化随机变量，G.Matheron（1963）将它定义为以空间点x的三个直角坐标为自变量的随机场。区域化变量具有两个最显著，而且也是最重要的特征，即随机性和结构性。区域化随机变量之间的差异，可以用空间协方差来表示（见图1）。

（二）变差函数

一维变差函数的定义：假设空间点x只在一维x轴上变化，把区域化变量Z(x)在x，x+h两点处的数值之差的方差之半定义为区域化变量Z(x)在x方向上的变差函数，记为：

r表示变差函数；E表示数学期望；Var表示方差。也就是说变差函数依赖于x和h两个自变量。在本征假设条件下，变差函数仅依赖于分割它们的距离h和方向a。而与所考虑的点x在待估域内的位置无关，因此变差函数更明确定义为：变差函数是在任一方向a，相距h的两个区域化变量Z(x)和Z(x+h)的增量的方差之半。

变差函数是一个距离的函数，描述不同位置变量的相似性，r值越大，相关越差。通常情况下，r值随着距离矢量h的增大而增大，直到h到达一定值时，r达到极大值，而后保持这个常数值不变。

（三）克里金方法

当随机变量X的数学期望对整个区域都为已知时，采用的克里金方法就是简单克里金方法。在进行简单克里金估计时，我们假设整个区域的均值是已知的。然而储层物性的均值是随着局部区域的不同而变化的，上述假设在绝大部分的情况下是不成立的，普通克里金解决了这一问题。当随机变量X（u）的数学期望是一个和u无关的常数，但这个常数未知时，导出的克里金方法就是普通克里金方法。

（四）协克里金

1．协克里金方法的原理及其公式。协克里金方法要求主变量与二级变量之间具有良好的相关性。以整合两个变量为例，协克里金估计的主变量和二级变量的线性组合形式如下：

公式中，是位置的估计值，是在位置上的主变量采样值；是对应于该采样点的加权系数。

协克里金有其不足之处，需要建立两个变差函数（主变量、二级变量的变差函数）和一个互变差函数（主变量与二级变量之间的互变差函数）。不仅运算的数据量显著增大了，而且拟合这些变差函数比较困难。在协克里金的计算过程中，相关性较好的数据对相关性较差的数据存在屏蔽效应。由于这些原因，这种完全协克里金在实际应用方面受到限制。于是，人们发展了配置协克里金，这种方法保留了协克里金的优点，又不用同时建立三个变差函数。

2．协克里金算法中几个关键的步骤。在使用协克里金方法时，要求两组数据之间具有良好的相关性。图1是工区井点处单位厚度旅行时差与孔隙度的交汇图，计算单位厚度旅行时差与孔隙度的相关系数为0.880655，具有良好的相关系数。

相关函数的计算与拟合。由于实际数据测量点个数的不足，我们需要对相关函数进行计算并拟合，绘制出完整的相关函数图形，通过变差函数计算方法和线性规划拟合方法，计算拟合相关函数。

选择合适的搜索半径。协克里金方法至少使用两种数据，一般叫做硬数据和软数据，通过实际资料处理，认为这两种数据不宜用相同的搜索半径。对于硬数据，应采用与硬数据的变程相当的搜索半径，原则是尽可能地应用精确的硬数据；对于软数据，搜索半径不宜过大，因为软数据本身不够精确，会把自身的偏差带到估计值中。

处理加权系数。最后一步是处理加权系数，由于负的加权系数会导致奇异的估计值，因此需要采用线性规划方法处理加权系数。

二、地质统计学方法的应用

（一）储层预测

对储层参数进行科学有效的预测，一直是石油地质学的热点和难点。最初采用传统的数理统计方法，但这种纯数学的方法不考虑储层参数之间的空间连续性和相关性，不带任何地质意义，对储层参数预测具有很大的局限性。而地质统计学方法以区域化变量理论为基础，充分考虑了地质参数空间变化的趋势、方向性及2样点参数的相互依赖性，利用克里金方法的插值和外推功能，求出比较符合地质规律的地质统计模型和方法，来表征各种储层参数的变化规律，然后用这种规律，对参数（如孔隙度和渗透率等）的空间展布进行比较合理而有效的预测。

（二）储层的非均质性及各向异性研究

储层非均质性研究是油藏描述的重要内容，其参数的空间分布不仅具有随机性，而且具有结构性。从地质统计学关于变差函数的基本理论出发，在综合分析的基础上，构造了一种定量表征储层平面非均质性的数学模型，计算结果所反映的各类储层的平面非均质特征符合沉积的基本规律，说明这一表征模型用于储层平面非均质性定量评价中是可行的。

（三）不确定性描述

静态、动态的确定性模型，很难反映油藏的复杂变化，只有通过不确定性描述，从地质统计观点概括和综合地质模型，才能真实地反映复杂的油藏模型。近几年来，地质统计学越来越广泛地用于储层表征，诸如估计孔隙度的空间分布，模拟渗透率的数值连续性，定量估计油藏模型的不确定性，取样设计，流动模拟过程中的敏感性分析和风险分析，等等。它的最大优点就在于能够方便地综合应用各种资料，如地质、地震、测井、生产等各方面的信息，这对岩心取样十分稀疏的油藏的准确描述是关键的。而且不确定性描述能为油藏工程师提供多个可选择的开发方案，有利于综合分析，获得合理的开发决策。

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