数学老师概率统计知识情况

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1前言

“统计与概率”知识作为随机数学的一部分，早已受到各国数学课程设置者的重视．我国也在原来的教学大纲基础上，在高中数学新课程标准中对概率统计教学内容和目标作了进一步的调整和完善．由于概率统计进入高中数学课程的时间不长，教师能否很好地实施概率统计教学，取决于对概率统计知识的理解与掌握情况．概率统计属于不确定性数学范畴，并且在其中有大量与我们的直觉、经验、信念相悖的命题，使得概率统计教学成为难点．这需要教师具有充足的概率统计学科知识与教学知识，了解学生学习概率统计知识的思维特点．课程改革能否成功实施，将完全取决于教师［1］．因此，高中课程改革实施之际，调查高中数学教师掌握和了解概率统计知识水平具有一定的意义，研究结果可为以后更好地开展概率统计教学和研究提供一定的参考．

2研究方法

2．1被试选择研究对象是从大连市所属高中抽样选取的．考虑到学校类型可能对研究的影响，所以对调查学校进行分层抽样，使选取的教师尽量来自各种不同类型的学校．选取大连市省重点高中、市重点高中、市区普通高中为学校样本，对样本学校的高中数学教师进行整群抽样．研究对象共计68人，其中教龄在4年以下的有15人，教龄在4～10年的有22人，教龄在10～20年的有19人，教龄在20年以上的有12人，学历都是本科．总共发放教师问卷68份，实际回收68份，回收率达100％，无剔除无效问卷，得到有效问卷68份．

2．2研究工具本研究通过问卷调查法和访谈法来收集数据．（1）问卷设计借鉴已有研究［2，3］，在深入分析和钻研教材中关于概率统计教学目标和教学要求的基础上，以高中数学课程中有关概率统计的核心概念为考点，进行问卷设计．教师的概率知识主要从以下4个维度进行考察：①对概率的几种定义（古典定义、统计定义、几何定义及公理化定义）的理解及其错误认知的考察；②对概率、频率和机会的理解；③对概率值的解释以及利用其决策的能力；④对小概率事件、条件概率、互斥事件和相互独立事件的理解．教师的统计知识主要从2个方面进行调查：①对常用统计量（平均数、中位数、众数、方差、标准差）的理解；②教师的统计观念．该调查问卷共由19道题目组成，题目类型为解答题．（2）访谈问卷调查之后，在仔细分析答卷的基础上，从中挑选个别教师进行访谈．访谈对象主要是回答错误、未作回答和回答独特的教师．访谈的主要目的是核查书面回答内容的真实含义，了解使用错误概念的教师的真实想法．访谈时在取得该访谈对象的同意之后，同时进行了录音和现场记录，以便准确地收集和整理数据．

3研究结果分析

3．1概率知识掌握情况

（1）对概率的几种定义的理解调查发现，大部分教师（占79．4％）对概率的古典定义理解相对较好，只有个别教师算错．经过访谈了解到其原因是弄不清基本事件的空间．还有13．2％的教师没有作出回答，其原因是不会做．对概率的统计定义理解的调查中，答错的有19．1％，未答的有19．1％，只有61．8％的人答对，表明相当一部分教师对概率的统计定义理解得不好．对教师是否具有“预言结果法”的错误的调查结果显示，有多达72％的人答错，26．5％的人未答，只有1．5％的人答对．比如有的教师回答：“无法判断，一次试验不能说明问题．”这表明多数教师具有“预言结果法”的错误，同时也反映了教师缺乏统计观念．考查教师对概率几何定义理解的调查数据表明，60％左右的教师是从几何定义角度，即通过面积公式来求概率，进而比较概率的大小．但仍有20％左右的教师未作回答．通过访谈了解到这是因为他们对几何概型较陌生，不知从何下手．几何概型是这次高中课程改革中新增的内容，显然有一些教师对此较陌生．但是，经过各种层次的培训，作为教师对此内容应该很熟悉才对．这也暴露出培训工作不到位，我们的一线教师对新增内容的学习主动性还不够．“简单复合法”是将两步试验简单分割成两个一步试验进行概率大小判断的错误认识．文［2］对教师所犯的典型错误进行分析，发现将近20％的教师犯的是“简单复合法”的错误．以1899年法国学者贝特朗提出的著名悖论为背景，考察教师对概率的公理化定义的理解情况．结果发现，对贝特朗悖论能给出正确解释的人数只占11．8％．显然，只有很少教师掌握了概率的公理化定义．进一步了解那些做错或未作回答的教师的原因，他们认为这个悖论主要是由于样本空间每个元素发生可能性不相等造成的．显然，教师在分析时使用了与概率古典定义类比的方法，而忽视了古典定义中“样本空间元素是有限个”这个条件，进而错误地使用了概率的古典定义．这表明许多教师没有掌握概率的公理化定义．我们知道这个悖论产生的原因是三种解法所对应的样本空间不同，则所作的等可能假设也不同，因此它们属于三个不同的随机试验，显然对应的三种解法都是正确的．同一个问题，由于构造不同的样本空间，可以有不同的概率值，这正是概率公理化定义的内涵所在．

（2）对概率、频率和机会的理解通过考查教师对概率、频率和机会三个概念的理解，发现有73．5％的人答对，有25％的人答错，1．5％的人未答．这表明，他们中有约26．5％的人不知道这三个概念的区别和联系．事实上，机会与概率的意义是一致的，都表示事件发生的可能性大小．频率与概率是一对有密切联系的概念，概率是一个定值（常数），而频率是一个不定值，它由每次试验结果决定．当重复大数次试验时，频率依概率稳定于一个数值，这个数值即为概率值，即随机事件的频率是与我们已进行的试验有关的，而随机事件的概率却完全客观存在，所以说频率不完全等于概率．

（3）对概率值的解释及其应用能力关于教师对概率值的理解，通过调查发现，有47．1％的人答对，将近30％的人凭经验和直觉来作出错误的判断，还有7．3％的人拿不定主意，缺乏统计观念，而且11．8％的人缺少随机观念．有一半的教师认为概率为0的事件一定不可能发生以及概率为1的事件一定发生，还有19．1％的教师认为不一定，其中有13．2％的人没有举例，4．4％的教师的理由是随机事件A的概率P（A）的范围是0≤P（A）≤1．由此可知，很多教师不能对一个概率值进行合理的解释，同时也缺乏随机和统计的思想．在对概率值理解的基础上，利用概率值进行决策的能力方面，调查数据显示，有30．9％的教师回答正确，他们的理由是根据下雨的概率值的大小；有29．4％的人不论下雨的概率多大都带伞，他们的理由是以防万一，有备无患；有7．4％的人受“今天的降水概率是20％，结果下雨了”这句话的影响，认为天气预报不准；其余的经访谈得知他们是凭着自己的经验或直觉作出决定的．总之，教师多以自己的经验或直觉进行判断，而没有从概率统计的角度考虑问题，缺乏相应的概率统计知识的理解．

（4）对小概率事件、条件概率、互斥事件和相互独立事件的理解以虚假广告为背景考查教师对小概率事件的认识，发现做出正确答案的教师只有7．4％，表明教师对小概率事件的理解不到位．实际上，我们可以从以下2个方面来理解“小概率事件”：①小概率事件在单次试验中很难发生，几乎不可能发生的；②小概率事件在不断的重复试验中一定会发生．对条件概率的理解，通过调查发现将近60％的教师要么结果不对，要么答错．还有将近40％的人未作回答．经访谈得知，他们不会回答，不知道这道题属于哪一种概率类型，无从下手．可以看出，教师对条件概率这一知识几乎是空白．关于教师对互斥事件和相互独立事件的理解，通过调查发现，只有2．9％的人答对，有36．8％的人未作回答．经访谈了解到他们觉得似是而非，说不好．可见多数教师对这两个概念理解得不好．

（5）对概率值大小的比较设置了3道题来考查教师对概率值大小的理解．调查中尽管有72．1％的教师答对，但仍有将近30％的人凭直觉进行判断，从而作出错误的判断．可见相当数量的教师具有朴素的随机思想，依靠自身的直觉和经验作判断．考查教师对试验中样本点的枚举能力和“等可能性偏见”等错误概念的使用上，正确率为66．2％，可见有一部分教师存在“等可能性偏见”．

3．2统计知识掌握情况

（1）对常用统计量的理解考查教师对平均数、众数、标准差和直方图的理解，有67．6％的教师答对，有26．5％的教师作出错误的解释．说明他们对众数的概念理解得不好．考察教师对平均数、中位数、方差的理解运用能力，结果表明只有35．3％的教师答对，多达39．7％的教师选择错误的答案．这表明他们对中位数这个概念理解得不好．考查教师对统计量的应用表明，除了不知道理由的22人之外，绝大多数教师的判断依据包括以下3种情况：①只从平均数这一个角度考虑，有17．6％；②从两个角度考虑，如考虑平均数和标准差或平均数和方差，占19．1％；③从三个角度考虑，如考虑平均数、中位数和标准差，也有考虑平均数、中位数和方差，占4．4％．这说明很多教师不能从多角度考虑问题．关于考查教师对方差应用的理解，回答正确的只有17．6％．经过进一步的访谈得知，绝大多数教师不清楚，有的教师说没学过，有的教师说可能学过，但是忘记了．

（2）统计观念通过设置“某药物牙膏广告选取一些消费者现身说法，以证明其治病的特殊效果，你相信吗？请你对此发表见解”的问题，来考查教师是否具有统计观念，能否用统计思想方法去解释生活中的现象．绝大多数教师回答“不相信”，理由各异．从抽样角度考虑的教师虽然有45．6％，但其中有44．1％的人是想当然，认为抽样不具有随机性，只有1．5％的教师从两个角度考虑问题．还有22．1％的人没有解释理由，经访谈得知，他们认为很多广告都不真实，这个当然不例外了．有26．5％的教师未作回答，通过访谈得知，他们认为无法判断，可见教师非常缺乏统计观念．

4总结与建议本研究以高中数学教师为研究对象，调查了他们对概率和统计知识的掌握情况．根据调查得到以下几个主要结论：（1）教师较熟悉概率的古典定义和统计定义，对概率的几何定义虽了解不多，但都会计算指针指向转盘上某一扇形区域的概率．少数教师听说过贝特朗悖论，能够较合理地解释悖论，即少数教师能够掌握概率的公理化定义．（2）教师中存在“等可能性偏见”、“预言结果法”和“简单复合法”这三种错误认知．（3）教师对条件概率、小概率事件的知识非常欠缺．（4）许多教师对相关统计量的理解不到位，缺乏统计观念．由此可知，教师的概率统计知识储备不足．经访谈可知教师的概率统计知识主要来自于教材、教学参考书和大学学习．但是，教师在大学学得不透彻，而且束之高阁时间又长，已所剩无几了．鉴于此，我们提出以下建议：（1）教师要不断加强有关概率统计知识的学习，提高概率统计素养，不断摸索概率统计教学的有效途径．（2）教师培训部门应针对教师在概率统计教学中存在的问题与困惑及时开展相关培训，培训的内容与方式应该符合概率统计教学实践．（3）高等师范院校概率统计教学内容要紧密结合高中数学课程改革，并需要设置能使准教师了解学生常会出现的概率统计错误概念及学习特点的课程．避免高等师范课程与高中教学实际的严重脱节．