概率论与数理统计教学分析

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摘要:概率论与数理统计是多数大学生本科阶段必修的公共数学课之一。传统的课堂只注重教师的教学，而忽视了学生的课堂参与度和有效反馈的问题。为了解决此问题并有效提高课堂教学效率，将BOPPPS模式引入《概率论与数理统计》课程的教学过程，激发学生学习兴趣，吸引学生自主地参与课堂活动，并运用所学到的知识解决实际问题。以“概率的古典定义”为例，阐述BOPPPS模式的具体实施过程，表明该教学方法可以有效解决传统教学模式中存在的问题，具有良好的现实意义。

关键词:概率论与数理统计;BOPPPS模式;教学;参与式

2019年10月，教育部颁布《关于深化本科教育教学改革全面提高人才培养质量的意见》中提到“积极发展‘互联网+教育’、探索智能教育新形态，推进课堂教学革命”。［1］为了落实教育信息化，加快课堂教学改革，目前众多高等院校纷纷进行教学改革探索。因此，针对我校基础数学课程之一的《概率论与数理统计》，依据该课程的教学现实情况，借鉴国内外的先进教学理念，将BOPPPS教学模式融入《概率论与数理统计》的教学改革中，从而激起学生学习该课程的兴趣和热情，培育学生的综合概括能力、创新能力和应用概率与数学统计方法处理实际问题的能力［2］。

一、BOPPPS有效教学模式

BOPPPS教学模式是加拿大诸多高校中率先普遍使用的新型教学模式。与以往教学模式相比，该模式强调教学效果、课堂效率和教学收益［3］，同时在课堂教学过程中强调师生参与式互动和反馈的有效教学模式。BOPPPS教学模式将教学过程分成课前导入、学习目标、前测、参与式学习、后测、总结六个模块。其六个模块相互独立，前后衔接，有的放矢，共同为实现教学目标而服务。整个教学过程中充分体现了“教学相长”，突出强调了以学生为主体，师生互动参与式学习，具备很强的实践性和适应性。

二、概率论与数理统计教学现状和改革的必要性

概率论与数理统计课程部分概念比较抽象，理论体系逻辑较严谨，学生难以抓住重点，展开进一步思考。其次，这类课程一般是大班授课，学生的基础参差不齐，学习的需求也不一样。同时，该课程因为课时较少，所以教学过程以教师在课上讲授为主，与学生的课堂互动性差。课下学生的自主学习能力差，课后与师生互动有限，不能很好地记录学习过程中遇到的问题，对于教学效果的反馈不够及时。为了适应对应用型人才培育的需求，“概率论与数理统计”课程的教学改革势在必行。分析BOPPPS有效教学模式，在实际教学中，该模式能够让学生参与课堂学习，充分发挥学生的学习主动性，并将学生从被动的知识接受者转变为真正的学习主体［4］。将BOPPPS模式融入概率论与数理统计课堂教学中，利用超星学习通平台，有机整合线上线下教学与互动，融合多方面的优势，可以改革以教师在课堂上讲授为主的教学模式，加强师生之间的交流与共享，在课堂教学中取得良好的教学效果。

三、基于BOPPPS模式的教学应用举例

《概率论与数理统计》是研究随机现象的统计规律性的数学学科，是高等院校本科专业教学计划中的一门重要必修公共基础课。下面将以该课程中概率的古典定义这一知识点为例，按照BOPPPS方式设计教学方案。

(一)导入

以概率论经典问题为例，引发学生思考。意大利数学家卡当，参与过一种赌法:任意投掷两个骰子，计算两个骰子的点数之和，那么押哪个数字的胜算大呢?骰子共有6个面，每个面点数分别为1～6点，卡当说押7最好。请你分析卡当的说法是否正确?让学生自己画出表格，分析卡当预言的正确性。学生通过对该问题的探究，初步领会事件等可能性的含义，以及在计算概率的过程中，发现概率的求解是由满足条件的基本事件的个数与总的样本空间中基本事件总数的比值得到的，使学生联想:这样的计算方式是不是就是计算概率的方法。

(二)学习目标(PPT展示)

知识目标:会判别事件的等可能性，能够描述概率的古典定义。能力目标:在概率求解中学会设事件，会应用排列组合的知识计算古典概率。素质目标:经过概率的计算训练，培养数学计算能力，通过古典概型与几何概型的求解，领会从有限到无限的辩证思维。

(三)前测

利用学习通题目，学生思考、计算，提交答案。根据高中概率知识计算:［1］现在有编号为1、2、3的3匹马要进行赛马比赛，问最后1号马赢的可能性有多大?［2］袋子中装有3个白球和2个黑球，从中任取2个球，所取2个球都是白球的概率为多少?通过前测，间接获悉学生对高中概率知识的掌握情况。进而，引导学生对这两个问题对比分析，总结:什么情况下计算概率能够用数个数的方法。第一，要可以数出来，所以基本事件的个数必须是有限个;第二，每个基本事件发生的可能性相等。满足这两个条件，才能用发生的个数来代替发生的可能性。因而，人们总结此类试验，提出了古典概型的定义。

(四)参与式学习

(1)引出古典概型，概括概率的古典定义。古典概型应具备的条件:①试验的样本空间中只含有有限个基本事件，称为有限性;②在每次试验中，每个基本事件出现的可能性相同，称为等可能性。具有这种特点的随机试验称为古典概型。由此得到概率的古典定义:设样本空间共有N个等可能的基本事件，随机事件A包含M个基本事件，则定义M与N的比值为随机事件A的概率，记为P(A)=MN。(2)例举例题，引导学生讨论、求解例题，强化概念。例1:袋子中装有3个白球和2个黑球，从中任取2个球，所取2个球为1黑1白的概率为多少?例2:一批产品共有N件，其中有M件次品。现从这批产品中顺次任取n件，求其中恰有m件次品的概率。抽样方式分为(1)有放回;(2)无放回。例3:(抽签与次序无关性)一批产品共有N件，其中M件次品。每次任取一件，取出后不放回，连续取k件产品，求第k次取得次品的概率。(3)引导学生思考与讨论，假设试验的基本事件个数有无穷多个，那么概率的古典定义能否适用?为什么?进而推广到几何概型。几何概型定义:假设试验的样本空间Ω包含无穷多个且都是等可能的基本事件，其总量可用某种几何特征进行度量，设为s;随机事件A所包含的基本事件数也可用同样的几何特征进行度量，设为s，则事件A的概率为P(A)=sS。以会面问题为例，掌握几何概型的概率计算方法。甲乙两人约定在某一段时间T内在预定地点会面，先到的人等待另一人，经过时间t(t＜T)后方可离去，求甲乙两人会面的概率，假定他们在时间T内的任一时刻到达预定地点是等可能的。(4)课外拓展阅读，鼓励学生自主探究概率论史上著名的蒲丰投针试验(1777年)，体会用几何形式表达概率问题，理解概率的统计意义。

(五)后测

为了了解学生的学习效果，检验学习目标的实现情况，在学生通上课堂测试题目，学生计算并提交答案。教师对学生完成情况进行反馈，及时发现问题，解决问题。

(六)总结

总结部分旨在帮助学生，根据在课堂上学习的内容来总结所学知识点。有效的总结不仅可以帮助学生对知识有一个总体的了解，并扩展他们所学知识的应用范围，而且还可以达到强调思想和延伸方法的效果。本次课教师使用PPT演示方法帮助学生总结概率的古典定义的要点，并使用学习通让学生自我总结学习收获。使用这种方法双管齐下，协助学生对本课程建立清晰的知识框架。

四、结语

美国著名心理学家、教育学家杰罗姆·布鲁纳曾说过:“学习者不应该是信息的被动接受者，而应该是知识获取过程的主动参与者。”［5］BOPPPS有效教学模式引入概率论与数理统计课程教学中，不仅可以指导学生积极参与课堂活动，而且它可以有效地解决传统课堂“教师满堂灌”的现象。学生通过参与式学习，主动探索新知，思考解决问题，对所学知识有更深入的了解。在前测和后测中，学生将回顾与本次课相关的知识，随后应用课堂上所学知识来处理实际问题，体会知识之间衔接的紧密性。教师针对测试结果，及时调整教学策略和教学节奏，达到互利共赢的目的。总的来说，BOPPPS教学模式使课堂生动起来，学生活跃起来，教学工作有效起来。

作者：吕亚楠 单位：湖北汽车工业学院理学院