中学数学教学不可轻视的函数结构

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【摘要】本文研究了一元函数的结构与分类，在教学过程中发现高三学生弄不清有哪些基本初等函数，总是将一次函数、二次函数归为基本初等函数，甚至谈到超越函数就色变，对函数的学习也很难做到高屋建瓴、事半功倍，甚至有的教师也分不清函数的分类。

【关键词】基本初等函数；初等函数；超越函数；初等运算；超越运算

在很多次的教学研讨或者公开课中，经常听到教师们称二次函数为基本初等函数，甚至也有的教师很诧异“为什么指数函数会被称为超越函数？”本文将结合运算与解析式谈函数的分类与这两者的联系，给教师备课提供更多的素材，希望能够促进数学教学。

一、运算与解析式

在研究函数分类之前，很有必要了解一下“代数”这门学科。代数是研究数与字母的关系、性质和运算法则的分支学科，是研究实数和复数以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。解方程就是代数的一部分内容，而初等代数的中心内容就是解代数方程，在中学，我们以研究初等代数为主。要讨论代数方程，首先遇到的一个问题是如何把实际问题中的数量关系列成带有未知数的代数式，然后根据等量关系列出代数方程，所以初等代数的一个重要内容就是代数式。那么，代数式与本文中的函数分类究竟有什么样的联系呢？带着疑问，我们先从运算谈起。1.运算运算分为初等运算与非初等运算。初等运算分为初等代数运算和初等超越运算。其中，初等代数运算包括加、减、乘、除、开方、有理数次乘方，如a+2、等分别含有加法、有理数次乘方运算；初等超越运算包括无理数次乘方、指数、对数、三角、反三角等运算，如、、等分别含有无理数次乘方、对数运算、反三角运算。那么非初等运算包含哪些呢？中学数学教材中介绍的极限、导数、积分，还有大学里将要学的级数等均属于非初等运算。当然，有些非初等运算的结果可能是初等形式的数，如、等。2.解析式解析式是代数中的基本概念之一，用运算符号和括号把数字和字母按一定规则连接成的式子称为解析式（与函数中的解析式同名，但含义有区别），常简称式。例如：a+b、、sinx+cosy+a2等，其中运算符号至多有可数个，除了代数运算外，也可以是复合、求极限、求导数、求积分等，这些运算统称为解析运算，故而产生解析式这一名词。特别地，只含代数运算的式称为代数式，含初等超越运算的式称为初等超越式，简称超越式。式注重外形，如、sinx+cosy+a2等为超越式，而虽然可化为xy（注：x>0，y>0），但仍然称为超越式。数学辞海中指出除代数式以外的式均为超越式。不知道是不是辞海中注重概念的形式还是忽略了概念本身，本文认为式应该按照对应的运算分类，也应分为初等与非初等，如：、、就应为非初等解析式。虽然前面两个分别能够化为初等形式ex+ey-1、，但是仅从形与运算的角度，仍然属于非初等一类。另外，式根据运算可进行分类，具体分类情形如图1：图1教师经常会把“”称为平方差公式，其实，平方差公式只是在整式范围内的运算，而上面的式子属于代数式中无理式的范畴，谈不上叫“平方差公式”，只能是“类平方差公式”。式强调形，根据运算分类，与数是代数数还是超越数无关，至于含有超越数的式子，如：ex+y等仍然属于整式范畴。但很多人认为弄清上面这些跟教学无关，尤其是高中生，甚至如果不是从事数学专业方向研究的，都很难搞清这些，也没必要。这种观点从学生的非专业化角度来看，似乎很有道理，但是笔者认为，作为从事数学教育的教师应该弄清这些概念，才能更好地教育学生。虽然我们不需要刻意地去教授这些知识，但是应该潜移默化地将这些知识以及它们之间的联系传授给学生。数学体系本身就很复杂，就算是世界上顶尖的数学家们也很难将数学这门学科的体系与结构讲述得清楚透彻，但学习数学是一个积累的过程，尤其像微积分这样伟大的发明创造属于非初等运算就应该让学生弄明白。难道我们的基础教育不应该是这样吗？

二、函数相等

下面来看一下经常碰到很多关于是否是同一函数（本文只讨论一元函数）的大讨论。例如：判断函数f1（x）=2x，x∈{0，1，2，3}与，x∈{0，1，2，3}是否相等？有两种观点：一种认为这两个函数不相等，理由是这两个函数的对应法则形式不一样。另一种观点认为这两个函数相等，理由是这两个函数的定义域相同，对应法则虽然在表达式的形式上不一样，但实质相同。我们一起回顾一下《普通高中数学课程标准实验教科书·数学》中关于函数的定义：“如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。”从教材的这段叙述来看，函数相等的定义很明确：如果函数的定义域和对应法则相同，那么函数相等。笔者同意第二种观点，对应法则本质就是自变量与因变量的配对法则，解析式只是一种表示方式，式的形不同，配对的法则不一定不同，如果表达式可以化简或者等价到同一种形式，那么对应法则就是一样的，这与代数中的式（也叫解析式）不一样，其强调的是形，而函数注重对应关系的本质。例子中的两个函数定义域一样，定义域中每一个数所对应的函数值都是完全一致，如图2，因此这两个函数相等。函数的实际配对没有区别，像这样的两个函数不应该被分成两类不同的函数。图2

三、函数分类

1.基本初等函数与初等函数关于基本初等函数的提法，各个文献有所不同，常见的有三种提法。第一种提法：基本初等函数包括常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数六大类函数；第二种提法：基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数五大类函数；第三种提法：基本初等函数包括常值函数y=1、恒等函数y=x、正弦函数y=sinx以及指数函数y=ex这四个函数。先不讨论谁更优，那么怎么形成初等函数呢？文献提出由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤得到的函数称为初等函数。而第二种提法下，初等函数是由常数与基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤得到的函数。其实第二种提法与第一种提法差距不大，无本质区别。文献中指出，如果是第三种提法，那么初等函数则是由基本初等函数经过数乘、有限次四则运算、有限次复合步骤及求反函数而得到的函数。目前主流说法是第一种提法，之所以是第一种提法，笔者认为有多方面因素，如对数的出现是数学历史上关于数的重大发明，一要突出其地位，二要尊重历史，三是能够让中学生更直接地了解数学中最经典的知识。而且为了给学生减负，很多知识在现有的中学阶段已经淡化，如数乘与反函数，中学教材中仅仅是在平面向量中提及数乘运算，且在学习指对函数时简单提了一下反函数，甚至反三角函数直接不提。以上是笔者自己的观点，不太成熟，有误欢迎指正。2.初等函数与非初等函数由于函数注重对应关系的本质，根据运算（与对应法则相对应），可以将函数分为初等函数与非初等函数，至于每一种函数的名称与函数表达式在这里不再详述，如图3是函数的结构分类。需要指出的是，虽然函数分类依据运算，与代数学中的式相对应，但是函数注重对应关系的本质，不管是基本初等函数中哪一种提法，有一点都需要弄清，如：f（x）=可化简为ex，这样的函数必须是初等函数且是指数函数，而不能因为有级数就认为是非初等函数，因此，应该将“凡是由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，并能用一个数学式子表示出来的函数称为初等函数”修改成“凡是能由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合步骤所构成，并能用一个数学式子表示出来的函数称为初等函数”，加个“能”字，所有函数概念都加个“能”字，笔者认为更准确一点，比如y=|x|与就是同一函数了，也不会争论y=22x到底是不是指数函数了。另外，非初等函数的例子很多，如：积分型的dt、级数型的贝塞尔方程的解（x∈R）、分段函数中的Dirichlet函数与Riemann函数等等。本文有很多是笔者在教学过程中发现的问题，加入了很多自己的观点，由于水平有限，不当之处，希望专家或读者批评指正，只求能够解决疑惑和达成共识。虽然本文中函数的结构分类不是中学数学教学的重点，但是至少能给读者在中学数学教学时提供更加完整的备课素材，同时科普一下数学文化知识，这就达到了笔者写这篇论文的初衷了。

【参考文献】

[1]数学辞海编辑委员会.数学辞海[M].太原：山西教育出版社，2002.

[2]罗増儒.f（x）=2-x是指数函数吗[J].中学数学教学，2011（01）：12.

[3]王兴东.代数数与超越数[J].数学通报，2004（10）：44.

[4]课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书（人教A版必修1）[M].北京：人民教育出版社，2004.

[5]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.

作者：陶尚明 刘向兵 单位：安徽省马鞍山市第二中学郑蒲港分校 安徽省马鞍山市第二中学