怀特海智力发展对小学数学教学的启示

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摘要：程式化、僵化的小学数学教学过程越来越难以适应小学生核心素养的发展需要，其主要问题是教师在准备阶段对学生的日常数学活动经验与兴趣关切不够，实施阶段对数学本质和数学教育价值缺乏深刻认识和思考，延伸阶段未能清楚渗透数学知识的真正用途。对应怀特海智力发展的“浪漫—精确—综合应用”三节奏说，改进教学过程的准备、实施、延伸三阶段，采取在准备阶段重视日常数学活动经验教学、实施阶段突出数学概念本质教学、延伸阶段注重数学思维教学，有助于学生数学人文、数学意识和数学思想等核心素养的养成。

关键词：小学数学；教学过程；怀特海；智力发展节奏说

一、当前小学数学教学过程存在的主要问题

（一）准备阶段对学生的日常数学经验与兴趣关切不够

准备阶段就是教师进行教学设计的阶段，在此阶段，多数小学数学教师对教学设计的理解过于肤浅，他们误认为教学设计就是上课之前写教案，设计方法就是按照书上的教学流程或者参考网上的资料，设计整个教学活动[1]。而且，他们很少花时间去关心学生生活中的数学经验与课堂外数学学习兴趣，教师把自己和学生的准备时间都框限在数学教科书知识的巩固与预习之中。

（二）实施阶段对数学本质和数学教育价值缺乏深刻认识和思考

实施阶段就是新知识讲授的阶段。传统课堂提倡教师对教学过程的绝对控制，在这个过程中，教师把传递客观、精确的数学知识当做自己义不容辞的责任。但随着新课程改革的提倡，学生的学习主体观念已完全深入小学数学教师心中，在教学模式或教学方法上过于追求形式上的对话、合作与探究，教师的严肃、认真、追求精确的严格精神遭受怀疑；学生混乱、浪漫、碎片的知识观念受到鼓励，在课堂上缺乏必要的客观、精确的数学思维约束。直到现在，很多小学数学老师对“数学是什么”的数学本质论、“为什么学数学”的数学教育价值观缺乏深入思考，误认为小学数学知识背后所蕴含的数学思想方法没必要挖掘，以至于小学生的数学思维和数学素养并没有随着课堂上数学知识的掌握而发展、提升。

（三）延伸阶段并未清楚渗透数学知识的真正用途

延伸阶段可以理解为新知识实际运用阶段。部分教师认为学习数学的目的就是掌握精确的数学知识，知识运用要么是做各种各样的题目，要么就是解决生活中实际困难。孰不知，数学知识除了在实际生活中的应用之外，更重要的用途是为我们提供不同的研究视角。比如，数学教师在讲授“三角形三边关系”新课时，经常遇到学生已经知道了“两边之和大于第三边”（根据两点之间线段最短的常识判断）的课堂尴尬，大多数教师还是从“边和角”这个传统视角按照“发现-探究-验证”的教学模式得出结论。其实，教师完全可以从“边”这个新视角进行教学，把三角形看成一条线段和一条折线，很容易得出“两边之和大于第三边”的结论。正如爱因斯坦所说，画家、诗人、思辨哲学家和自然科学家所做的，都是按照他们自己建构的图像去认识世界，而理论物理学家按照自己的图像描述各种关系时要求尽可能达到最高标准的严格精确性，这样的标准只有用数学语言才能做到[2]。可见，数学除了实际应用之外，还是科学的语言。因此，教师在延伸阶段需要清楚地给学生指明数学为我们提供不同研究视角的重要意义。

二、怀特海的智力发展节奏说与小学生数学核心素养

艾尔弗雷德•诺斯•怀特海是世界著名的哲学家、数学家、教育理论家。他认为教育要培养的是有创新精神、有智慧、具有“既能很好地掌握某些知识，又能出色地做某些事情”的人文精神和审美能力的人[3]。这种思想与我们提倡的新课程理念不谋而合，也与当前强调的培养小学生的核心素养——“数学人文、数学意识和数学思想”基本理念一致[4]。特别是怀特海在其教育名著《教育的目的》中提出“教育的节奏”这一论点，他认为“不同的科目和不同的学习方式应该在学生的智力发育达到适当的阶段时采用”，强调教育中按照学生的智力发展阶段实施相应的教育非常重要。怀特海认为人的智力的发展是周期性的、有节奏的，他将智力发展分为三个阶段：浪漫阶段、精确阶段、综合运用阶段[3]32。浪漫阶段是直接认识事物并开始领悟的阶段。在这一阶段，我们必须关注学生情感上的兴奋状态，浪漫的遐想以及纷繁而活跃的思想，对新奇、未知充满渴望。怀特海认为传统教育的弊端之一就是没有意识到浪漫阶段的重要性，导致过去越来越多的教育失败。而“数学人文”素养就是要求我们的学生能够愿意学数学、直面数学中难题、不断尝试建构生活中的数学问题，能够发现并欣赏数学中的真、有序、简单、规则统一、答案唯一的价值与美，能尝试用数学进行阅读、交流与写作等，从而让学生喜欢数学。精确阶段是个体掌握精确知识、对先前大脑中纷繁而活跃的思想进行梳理的阶段，分析前一阶段感知的事实，证实事实之间存在的种种可能性，建立知识体系[3]34。此阶段“精确”居于首要地位，知识得到了梳理、排序和理解，前一阶段的模糊认识在此变得清晰。他认为必须重视这个阶段，教育者不仅要强调浪漫对兴趣的激发，也要重视精确阶段艰苦的准确训练。进一步，“数学意识”素养即是要求学生能够掌握基本的数学运算、空间观念、符号意识、解题策略等有关知识与方法。综合运用阶段是在精确训练之后，将一般概念应用于具体事实，也即从认识知识到发展知识的阶段。个体将所学的准确而丰富的知识应用到更新更多的情境之中，从而再一次引发对新事物的好奇和一知半解的领悟，也称之为“重归浪漫”[3]35。但与浪漫阶段相比，在经过中间阶段精确性训练以后，个体已进入主动应用知识的自由状态。在这一阶段，知识的细节可能会减少，但个体获取知识的能力却提高了。进一步，“数学思想”素养即表现在学生能够在数学思维品质的引领下能够对从未遇到复杂数学问题进行合理推理，能够对复杂的生活情境进行数学建模。总之，怀特海强调智力发展节奏遵循从浪漫阶段到精确阶段再到综合运用阶段的循环往复的周期过程。基本每节课、每天、每星期、每学期都可以构成一个个循环往复的漩涡周期。并且需要注意的是，这种循环不是线性的、单向一次完成的，而是螺旋上升的。我们也不应该过多强调这三个阶段间差别，之所以做出这种区分，只是为了强调各个阶段的“侧重不同、主要物质不同—浪漫、精确、综合运用，自始至终存在着。但是占主导地位的阶段交替出现，正是这种交替构成了各个循环周期”[3]31。

三、怀特海智力发展节奏说对小学数学教学过程的启示

（一）准备阶段重视日常数学活动经验教学

怀特海认为“浪漫”表达的是一种情感体验,是充满联想、不受约束的，属于积累经验事实到开始认识事实间广泛联系的阶段[6]。在此阶段，学生用“模糊”表达浪漫阶段处于广泛联系的没有清晰揭示知识的认识状态。而“基本数学活动经验”是《全日制义务教育数学课程标准（2011）》“四基”核心理念之一，能培养学生的数学核心素养[5]。因此，教师在浪漫阶段要重视学生的日常数学活动经验。比如学生在日常生活中见到各种形状的容器以及它们的容量，就为课堂上理解几何体、体积提供了思考的教学对象；学生在日常生活或游戏中获得的平衡观念也为理解等式、方程等提供了直觉上的教学帮助。学生的知识体系尚未完全建立，但呈现给学生的教材内容相互间存在着种种联系，有待学生去探索、发现。这时教师可以根据该课的学习内容创设一个情景、讲一个故事或设计一个游戏，吸引学生的注意力，使学生不自觉地进入到情景中并获得浪漫的体验。情景创设的原则尽量贴近生活、自然、新奇、有挑战。浪漫阶段是一种有“预谋”的伏笔和铺垫，需要教师的精心设计。也就是说小学数学教学的浪漫阶段不是让学生无目的地去想象、思考，而是要让学生根据教师创设的情景思考，自然而然地产生各种想法。比如，在学年级下册的“有余数除法（一）”这一课时，教师可以设计安排班里16名同学参加“抱团”游戏。游戏规则：老师任意说一个数，16位同学根据这个数抱成一团，例如老师说3，参加游戏的同学就3人抱成一团。这个“抱团”游戏，在生活中学生可能见过或玩过，对他们来说有一定的吸引力，能激发他们兴趣。而且这个游戏贴近这节课的内容“有余数除法”，学生通过游戏比较容易理解当报成团的人不能整除参加游戏的人数时，就有同学多余，初步了解余数的含义，为接下来学习有余数除法的竖式做铺垫。需要指出的是，学生虽然在上课前已经有一些生活经验和知识经验，但要让小学生将已有的经验与要学的内容联系起来，有一定的困难。而且对有些学习内容，学生之前可能完全没有经验，也不知道从什么角度思考，在知识的迷宫里游荡，这时就需要教师进行适当的引导，突破领悟。当然，教师的引导不是直接将答案告诉学生，而是为学生提供思考的方向，教师引导得好，有利于学生的思考及产生各种各样的想法。在浪漫阶段，教师还应该特别注意要维持好课堂的秩序，情境、故事、游戏最好跟数学思维训练有关，而不是漫无目的地联想。

（二）实施阶段突出数学概念本质教学

精确阶段的主要任务是对浪漫阶段产生的各种想法进行整理、分析、概括，使学生获得准确的知识。在这一阶段，学生分析浪漫阶段感知的事实，弄清事实之间的种种关系，建立知识体系。而在小学数学教学中涉及很多数学知识，如各种概念、定理、公理、运算法则等，包含在“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”和“综合与实践”四个部分之中。其中，数学概念达到500多个。因此，教师必须把这些知识准确无误地教给学生，保证学生学到的是准确的、科学的知识。教师最好运用变式、正反例等突出数学概念本质。正如我国数学教育界泰斗张奠宙先生所说“数学教育研究似乎有两个方面，一种是从大局着眼，探讨中小学数学内容的整体结构，帮助学生树立正确的数学观念；另一种是从严谨性出发，弄清数学概念的准确含义，精雕细刻地给学生以数学推导训练……搞得过细也会流于琐碎，乃至于堕入形式演绎的海洋而失去方向”[7]。比如，对于“方程”概念的教学，就可以用不同的字母或者一些更为复杂的符号表达式及特殊符号去替代原先经常使用的字母x。如将3x+7=25变形为3y+7=25，以及进一步变形为3(2m+1)+7=25，3ξ+7=25，或者变为更为复杂的变式6=24-3x，6+x=24-2x等[8]。需要注意的是，实施阶段不能像浪漫阶段那样让学生的想象和思维自由驰骋，而应有更多的限制以及约束。教师的指导增加，学生需要集中注意力听讲，理解数学概念、公式、定理、运算法则等，并进行大量的有关准确的知识细节方面的练习，在理解的基础上领悟其实质。因此，在这阶段中教师要想办法引起学生的有意注意，帮助学生理解和掌握准确的知识。

（三）延伸阶段注重数学思维教学

延伸阶段是综合运用阶段，学生在这一阶段对所学的精确知识已经有了深刻的认识和理解。所以，在此阶段教学应该以研究性学习为主，教师应更多地给学生提供一些有挑战性的问题，注重学生数学思维的培养。如激励学生把已学的知识应用到新的情境中，给予学生更多的自由，鼓励学生进行积极的探索。比如对类似于“小明今年8岁，爸爸现在比小明大28岁，18年后爸爸比小明大几岁？”这样一道题，就可以引导学生将“当被减数与减数同时增加（或减少）相同的数时，差是不变的”这一自然语言描述，用符号语言进行转化，即△和○等符号表示未知数，分别代替爸爸和小明的年龄，就是“△-○=（△+18）-（○+18）=（△+□）-（○+□）=28”，对学生渗透△和○可以表示一个变量这一知识，体现符号语言的概括化与一般化，促进学生对相等关系有更深层次的代数思维的发展[9]。如在一堂具体的数学课中，可以通过“扩展与延伸”的形式。比如，对于学习“长方形、正方形的面积”，在完成两个阶段后，就可以提出一个具有挑战性的问题：某小区要修建一个用铁栅栏围成的长方形的停场，停车场靠一面长80米的墙，用了100米长的铁栅栏，停车场的面积不得少于800平方米，可以怎么围？对于刚学完长方形、正方形面积的学生来说，他们渴望运用已学到的知识。但这个问题不是运用长方形的面积计算公式就可以解决的，学生需要在逆向思维的过程中，巩固长方形面积的计算，也使解决问题的能力得到发展。还比如针对《组合图形的面积（二）》的教学，教师通过提问“是不是所有图形的面积我们都可以求了？”让学生独立思考。学生经过思考容易得出用本节课所学的方法不能算出不规则图形的面积。继而教师还可以让学生思考怎样才能计算出不规则图形的面积，这也为学习下一节课“成长的脚印”估计不规则图形的面积做一定的铺垫。需要指出的是，在小学数学教学中，浪漫阶段、精确阶段和综合运用阶段既是有序的，又是相互交织和相互渗透的，三个阶段并不是要在一堂具体的数学课中都体现出来，而是小学数学教师在教学过程中要调控大体方向。如果从整个小学阶段来考虑，小学的第一学段应该以浪漫阶段为重心；第二学段应该以精确阶段为重心，但也要重视浪漫阶段和综合运用阶段。

作者:贾志国 孙庆括 王巧玲 单位:金华职业技术学院 南昌师范学院 金华市宾虹小学

参考文献：

[1]刘志平，刘美凤，吕巾娇.小学数学教师教学设计存在的问题及原因分析[J].中国电化教育，2010（2）：84-87.

[2]郑毓信.概念教学应该注意的一些问题[J].小学教学设计，2014（5）：4-7.

[3]怀特海.教育的目的[M].徐汝舟，译.北京：三联书店，2002：1.

[4]刘晓萍，陈六一.小学数学核心素养的构成要素分析[J].课程教学研究，2016（4）：42-45.

[5]刘翠平.怀特海教育节奏说对我国当代数学教育的启示[J].吉林省教育学院学报，2009（1）：92-93.

[6]马云鹏.小学数学核心素养的内涵与价值[J].小学数学教育，2015（5）：3-5.

[7]张奠宙.数学教育经纬[M].南京：江苏教育出版社，2003.

[8]郑毓信.数学思维的学习与教学[J].小学教学（数学版），2013（8）：22-25.

[9]李志，孙庆括.小学高年级学生代数思维形成的影响因素和培养途径[J].科技信息，2014（4）：20-21.