数学知识有效运用性论文

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编者按：本文主要从对数学思想的概说；小学数学的基础地位；小学生探究性地学习数学的价值与意义进行论述。其中，主要包括：数学也成为一门有组织的、独立的和理性的学科、数学思想尽管在人类开始有初级的数学知识的时候是受经验世界的启发、数学思想是抽象的，数学思维与经验世界是无关的、所谓纯粹理念就是思维的最抽象的要素所形成的理念、数学知识是从概念的构造得出来的知识、数学思想的抽象性并非独立于经验事实而存在、数学因为它在考察自然中所起的作用而被评价为头等重要的、数学知识是对概念的理智构造、小学生学习数学的探究性不仅从逻辑推理上是严密和精确的等，具体请详见。

数学在其人类的历史发展中，从其根本没有数学知识到人们只能分辨一、二和许多的数字概念，到今天，数学也成为一门有组织的、独立的和理性的学科。数学的历史是一部演绎的历史，人类从借助于经验开始，通过把经验事实符号化。进行简单的运算和推理，把数学发展成为一门抽象的学科，这不是在说数学是一门不具有实在意义和价值的玄学，相反，是如同古希腊亚里士多德时代的理想，即科学应是数学，亚里士多德的目的就是要达到数学的确实性。因此，文章旨在从数学思想的本质性及其方法的探究性来论述对开拓小学生探究性地学习数学的思考。

一、对数学思想的概说

数学思想尽管在人类开始有初级的数学知识的时候是受经验世界的启发，但它的思想实质却是抽象的。这即是在说，数学知识不是来源于经验，而是理智的构造。“对于brouwer(布劳威尔)，数学的对象是从理智的构造得来的，其中基本的数目是1，2，3，……提供了这种构造的原型。”brouwer认为。数学思维与我们的经验世界无关。这不是在说数学思想是没有任何实在意义的想象，相反，数学是建立在严密的思维基础之上的，是一门理性的学科。正是因为如此，数学知识才具有确实性。因此，有人认为，数学是真正的科学。数学是理智的构造，也就是数学的知识具有先验性，也即客观性。因为，任何具有绝对必然性的知识都不是以后天的、经验的事实为原因或依据，而必须是本身就具有必然性。这种本身所固有的必然性就如OliverHeaviside(亥维赛)所说，逻辑可以等待，因为它是永恒的。数学知识的先验性并非是从脱离于经验事实的角度来说具有客观性。而是说数学知识的客观性或必然性是先行于经验事实的。

数学思想是抽象的，数学思维与经验世界是无关的，不是在说数学是一种纯粹想象的构建并且仅仅是如此而已。数学不仅只能建立在实用的基础上，而且按照康德的说法，“纯粹数学，特别是纯粹几何学，只有在涉及感官对象的条件下才有其客观实在性。”任何由纯粹幻想而得来的产物都无法澄清其真理性，除了幻想的事实以外。同时，数学的先验客观性也不是在唯心主义地指出，数学的知识统治着宇宙，是宇宙的第一因，而是在说数学知识和通过数学的严密的思维方式揭示出了宇宙的规律和和谐。数学知识和通过数学的思维方式所揭示的知识体现的是思维和存在的同一性。因此，数学思想的抽象性不但没有脱离我们的经验事实，而是它本身就与我们的经验事实具有内在一致性。但是数学思想的这种抽象性是可以被我们的思维和想象独立出来的，也就是数学的思维是犹如形式逻辑的推理，这也是数学思维所必须采取的。因为，任何经验的推理都不具有必然性和可靠性。按照康德的说法，数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。因此，数学的思维方式本质上就是一种演绎逻辑。

“逻辑学是研究纯粹理念的科学，所谓纯粹理念就是思维的最抽象的要素所形成的理念。”演绎逻辑也就是关于论证的逻辑学，也就是以有效的前提推出正确的结论。这是一种先天综合的方法，也就是不以任何经验为依据。演绎逻辑的前提也就是笛卡儿所指的清晰自明的概念或命题，笛卡儿认为，凡是清晰明确被人认知的，都是真的。因此。演绎逻辑就是一种对清晰自明的概念进行构造的科学。比如这样一个论证：前提1、苏格拉底是人，前提2、所有人都是会死的，结论、所以，苏格拉底是会死的。数学也就是一种数理逻辑，通过把经验事实符号化或数字化，抽象成一般的概念，再进行理智的构造。在上面的论证中，我们可以把它转化为符号的论证。我们可以把结论分为两个部分：主词(A)和谓词(M)，“苏格拉底”是主词，“会死的”是谓词，其中“人”是一项中词。我们用(S)来代替，上面的论证形式就变成了：1、A是S，2、所有S都是M，3、所以，A是M。在数学中，无论是数字概念，还是符号概念，都是抽象的，这种抽象在人类开始拥有最初级的数学知识前，是从经验事实中抽译出来，比如：一、二……这些基本的数字概念。而后，抽象的概念是理智从概念构造出来的，如我们今天所熟知的上亿的数字概念。而这些概念是基本的和自明的，因为说数字“1”及其所指的数量时，这是最清晰的。

二、小学数学的基础地位

数学知识是从概念的构造得出来的知识。构造概念也就是从清晰自明的概念以及通过清晰自明的概念的构造所得来的正确的概念进行构造。由此，小学数学在数学思想的逻辑构造中的基础地位也就是必然的。根据演绎逻辑，数学知识要具有确实性，其前提必须是真的，也就是进行数学推理的前提本身是可说明清楚的，不能把假定为真的前提当作无需证明的前提。因此，数学知识从诞生起的那个前提必然要是不证自明的，否则，整个数学系统都是容易被摧毁的。小学数学也就在承担着这种熟知数学的基本概念并能进行简单的数学推理，包括数学运算和简单几何的解析。从人类发展史来看，小学数学也就在对从人类开始拥有基本的数学知识以来的数学推理的基本前提及其基本的推理方法进行系统的掌握。因此，小学一年级数学首先从数字“1”开始，随后，学习基本的运算：“1+1：2”。及类似的基本运算。到小学二年级，了解基本的平面概念并进行简单的解析，如了解长方形，并计算长方形的周长等。整个人类的数学知识在最开始的时候，人们只能分辨像一、二和许多这些最基本的数字概念，后来可以对其进行演算，并能对简单的物质世界进行数学似的解析。犹如在古巴比伦文化中发展程度最高的算术——阿卡得人的算术。因此，小学数学的基础地位从整个数学思想上来说，就如罗素的逻辑原子主义所指：“原子命题是其他一切命题的基础和根据。”

在对数学思想的概说中。已经说明过，数学思想的抽象性并非独立于经验事实而存在，而是数学知识的诞生是开始于经验的，数学知识的真理性也必须达到思维与存在的同一性。从人类数学知识的发展史来看，数学的诞生事实也是如此。因此，小学数学的基础地位还在于从感性认知的角度来谈。任何企图从纯粹的玄思妙想中得出结论都不应具有肯定的价值，因为，知识的客观有效性就像几何学对空间必然有效外，而并不能一定就涉及到实在的对象，而几何学必须建立在感性形式之上。数学思想的逻辑性就在于理智对概念的构造，而最初的概念必须建立在感性直观的形式上。这不是一种对经验的直观，而是一种纯粹的直观。数字“1”的概念是一种纯粹的直观，数字“11”的概念则是由11个“1”相加，是对数字“1”这个最基本的概念的简单的推理或构造。同时，数学知识之所以具有客观有效性，在于它只是涉及感官对象，因为企图透过显现给我们的物体去研究物自体都是徒劳无益的。因此，小学数学的基础性不仅在于学习其概念构造的基础性，而且在于从感性的形式上进入数学的最初的概念，并开始把这种数学的最初概念应用于经验事实中。如小学数学中学习简单的计量面积后，也就可以把这种简单计量方式应用在简单的生活对象中。

三、小学生探究性地学习数学的价值与意义

“从古希腊时代起，数学因为它在考察自然中所起的作用而被评价为头等重要的。天文学和音乐经常与数学相连接，而力学和光学则毫无疑问是数学的。”这即是在表明，数学所揭示的客观规律性不仅是应用在经验世界中，而且只有在经验世界中，数学知识才是客观有效的。仅仅是纯粹的数学演绎并不构成实在的价值和意义，所以，数学只能建立在实用的基础上。但是，这种实用性是指数学知识的有效性和运用性，而非经验世界中的实用性。经验世界中的实用性，是直接性的，这种直接性不具备有效性和运用性。数学知识的有效性和运用性就在于它的实践性，也即探究性。这种探究性包括两方面。

(一)数学知识是对概念的理智构造，这种理智构造本身就是探究性的。探究性的思维基础是辩证思维，也就是从概念到概念，概括和细论，结合和区划，综合和分析等。在小学数学中，不仅是使小学生开始掌握清晰自明的数学概念，如数字概念，而且在于使小学生开始掌握和运用基本的运算能力和分析能力。如小学数学中的四则运算、简便方法运算以及通过应用题的形式来分析并解决日常生活中的数学问题等。这即是开拓人的探究性思维的开始。同时，这种探究性也在于从开始掌握和运用时并进入到对真理性的把握，因为，从一开始掌握的数字“1”所代表的数量概念是不可否认的，到数字“2”为“1+1”所构造出来的概念仍然是十分严密和精确的，以至类推，小学生并一开始就从严密和精确的态度进入对真理的探究中。这种理智的探究性或实践性尽管是人类探索真理的源泉，但是，如果超出了实用意义的范围，进入了纯粹理性推理的范围。那数学知识的确实性也就完全超出了人类的判断能力，这也就使数学知识的确实性本身对于人类来说始终处于悬而未决的状态而失去意义。

(二)因此，小学生学习数学的探究性不仅从逻辑推理上是严密和精确的，还在于数学思维在日常生活中的运用。这种运用既是防止因数学思维的抽象性而使小学生在以后对生活与社会的思考中由于没正确对待数学知识的确实性和数学推理的意义所在，而陷入纯粹的理性主义。甚至主观唯心主义。因为，数学思维的探究性要具有实在的意义，必然是只能在解决我们的感官对象上才有实在的意义。因此，这种探究性也必须应用在对经验事实的实践意义上。同时，也是防止小学生因着眼于纯粹的经验事实，在以后对生活和社会的思考中陷入和心理主义者一样的境地。这种心理主义在小学生最开始进入学习数学时就有所表现，因为他完全可以把“2+3=?”的结果算成不是“5”的任何结果。当然，这种表现并不是心理主义，而是脑子好象是空白的，但这种空白若不经严密和精确的逻辑推理进行洗礼，这种空白就将被他成长中的没经过严密思考的经验事实所左右，虽不具备心理主义的理论素养，但其观念必然是和那些心理主义者的观念一样是遭到否定的。