数学挑战性问题研究论文

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数学课程标准中明确指出：“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。”我认为这里的挑战性非常重要，因为班级授课制的主要弱点誻很难兼顾学生的个体差异，这就使教师在进行授课时，许多学生处于被动学习状态，大大降低了学生的学习效率。怎么做才能调动学生的学习积极性，使其和谐、自主地发展呢？设计挑战性的问题可以说是一剂良药，它可以触发学生的非智力因素，激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望，使课堂活起来，下面结合实例谈谈自己的一些体会。

1.在动手操作中思考变与不变

在进行人教版14.1轴对称第一课时的教学，为了突破难点——比较观察轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系，我设计了以下教学过程：

……

师：刚才我们动手剪一些图形，请你把它们摆成如图所示的情形。(第一幅图是轴对称图形，第二幅图是两个图形关于某直线对称)

分别移动或旋转图1中的松树和图2中的一个小人，什么变了什么没变？你有什么发现？

生1：在移动或旋转松树的过程中，它们的形状没有变，位置变了。

师：它还是轴对称图形吗？请用一句话归纳你的发现。

生1：是，轴对称图形是具有某种特征的一个图形，与位置无关。

师：很好!谁能类似地说说图2？

生2：在移动或旋转图2中一个小人的的过程中，两个小人的形状没变，但一个小人的位置变了，两个小人已不再关于某直线对称，也就是说两个图形关于某直线对称是两个全等图形之间的相对位置关系，与位置有关。

通过让学生动手操作，并在操作过程中支思考——什么变了什么没变，从而得到问题的本质，这样的问题具有挑战性，学生有兴趣去亲身实践，不仅培养了学生的观察能力，还培养了学生的归纳和语言组织能力。

2.在认知冲突下产生学习需要

在进行人教版3.2直线、射线、线段第一课时的教学时，我先让几位学生画过点O的直线和过两点A、B的直线(如图)，然后提出问题：经过一点可以画几条直线？经过两点呢？用一

句话概括你的结论。在得到“两点确定一条直线”后，我又提出新的问题：刚才甲同学画的是哪一条？乙同学呢？同学们面面相觑，既是知道是哪一条，也不能清楚地说出来，这就产生了认知矛盾，要想明确地表示不同的直线，就需要知道直线的表示方法。这时教师继续追问：为什么过点O直线不能明确地说出谁画的，而过点A、B的直线却可以明确地知道呢？然后思考如何表示一条直线比较合理。在得到直线的表示方法后，让学生独立思考后再小组讨论：能用同样的方法表示线段和射线吗？如果不能，应怎样修改？

这样从看似简单的问题入手，引导学生一层层、一步步去挖掘问题的本质，使学生的大脑处于积极的思维状态，提高了学生的积极性和学习效率。

3.在游戏背景下，逐渐提高问题的难度

新世纪中学的王宏强老师在讲人教版3.1多姿多彩的图形时，为了让学生充分感知各种图形的形状特征，特别有创意地设计了一个魔术袋，里面装了一些大小、形状各异的立方体，让学生一个一个地向外摸当时学生情绪很高。当学生摸出一个后，王老师问：“你摸出的是什么？它有几个顶点、几条棱、几个面？”学生依次摸出了长方体、正方体、圆柱体、锥体等等，但因为众多几何体的出场顺序和问题相同，所以后来学生的兴趣剧减。我认为如果稍作修改，提出一些挑战性的问题，将会增色不少。如将游戏分为三步走。第一步，让学生任意摸出一个几何体，看着它，利用视觉描述它的特征后再说出它的名称；第二步，让学生任意摸到一个几何体，先别拿出来，利用手的触觉描述它的特征，让大家猜一猜是什么几何体，然后拿出来进行验证；第三步，让学生根据老师描述的特征去摸出相应的几何体，让大家判断正误……

这样层层递进，不断问题的难度，充分调动学生的视觉、触觉及抽象思维，使学生的兴趣逐渐达到高潮，这节课将会成为成为一堂很有特色的成功优质课。

4.在一题多解的环境下，探究问题的体质

一位教师在讲解人教版七年级上册P88的例2时介绍了两种解法。

例2一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头到甲码头逆流行驶，用了2.5小时。已知小流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。

解法一：设船在静水中的平均速度为x千米/时，根据往返路相等可列方程

2(x+3)=2.5(x-3)

解略

解法二：设甲乙两码头之间的距离为x千米，由船在静水中速度不变可列方程

解略

到这里似乎结束了，但学生还没有深刻理解，教师应继续提问：两种方法有什么不同？又有什么联系？要引导学生去思考，明白一种是设直接未知数，一种是设间接未知数，更要让学生知道题目中有两个未知数、两个等量关系，设出一个未知数表示出另一个未知数时必然要用到一个相等关系，所以列方程时就必须用另一个相等关系，不然循环引用列出象x+3-3=x-3+3这样的恒等方程来，使学生的思维在今后解应用题时更具目的性。

5.主动改编习题，养成挑战性格，培养创新能力

现在的学生绝大部分疲于完成老师布置的作业、习题，思维和态度均处于被动状态，这样不仅会禁锢学生的思路，还容易将学生拉进盲目的题海之中。为了克服这些缺点，教师要引导学生将课本习题进行改编，换个条件、换个方向，以期体会出题者的意图，培养探究能力和创新精神。

例1已知圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少？

学生沿一条母线剪开得到侧面展开图后，容易求出最短路程为cm，待学生完全理解后，教师可将习题进行变式，提出下列问题：

(1)为什么要展开？

(2)如果半径和高均为6cm，最短路程又为多少？

(3)若将点B移到点A的正上方，如图，最短路线是哪一条？

(4)如果从点A绕圆柱一周后到达点B建一悬梯，则悬梯的最短长度是多少？

(5)如果图(4)中的圆柱较高，为了减少坡度，点A需绕圆柱两周到达点B，最短路程又是多少？

这样不断变换题目的条件，逐渐提高难度，学生要想正确解答出来，要进行合理的分类比较、正确地空间想象以及较强的分析综合能力，(4)、(5)虽然较难，但(4)可仿照原题的思路解出，而(5)可以将其转化为(4)来解决，同时还向学生渗透了转化的数学思想，既培养了学生的兴趣，又提高了学生的能力。

例2已知一个三角形的三边分别是17，15,8，求这个三角形的面积。

此题是勾股定理之后的一道练习题，学生容易验证此三角形为直角三角形，因此15和8分别为直角边，所以面积是15×8/2=60。

这里教师可以提出一个新的挑战性的问题：若将题目中的17改为10，还可以这么做吗？

学生验算后回答：不能，因为不是直角三角形，即条件不够。教师接着问：已知三角形的三边长度，它的形状和大小是不是确定的？如果确定，条件应该够，为什么不能做呢？

学生恍然大悟，作高!具体做法如下：

过点A作AD⊥BC于D，设BD=x，则DC=15-x，于是有

解出x就可求出高AD，从而可以求出三角形的面积。

此题训练了学生的逻辑思维能力，渗透了方程思想，同时又强化了边边边公理，可谓一举多得，也让学生体会到了创新的乐趣。

总之，挑战性是高质量问题的一个显著特征，问题具有了挑战性，才能更好地调动学生的非智力因素，才会产生高质量地互动，解决此类问题也往往包含着数学思想方法和策略的应用，学生的智慧和人格自然会在这个过程中形成。