高一新教材数学文化渗透特点

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摘要：数学教材是数学课程实施的重要载体。研究新版教材关于数学文化渗透的特点，分析其对培养学生的数学思维、提高学生的数学学科核心素养以及解决问题能力等方面的作用和影响，并针对渗透特点提出了教师使用新教材进行教学的建议。

关键词：新版高中数学教材；数学文化；数学思维

《普通高中数学课程标准》（2017年版）指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力，并明确说明数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点以及它们的形成和发展，还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动[1]。最新人教版A版（2019版）普通高中数学教材必修第一册（下文简称新教材）除了教学内容进行了调整和整合外，在数学文化的渗透内容及特点方面也进行了完善与优化，但在课堂设计与教学实施中数学文化的渗透常常被忽略。鉴于此，亟待挖掘新教材在数学文化渗透方面的特点，探索如何更好地发挥数学的文化价值，培养学生良好的数学思维。

一、高一新教材中数学文化的渗透特点

虽然新教材对“数学文化”没有设置专门的模块，但将数学文化融入到了教材内容的各个环节，例如章首语、背景性材料、问题设计、例题、习题、章末小结等；阅读与思考、信息技术应用、文献阅读与数学写作、探索与发现等模块设计中也很好地渗透了数学文化。对比新旧教材数学文化方面的内容及特点，发现新教材中数学文化更突出了以下几方面的渗透特点。1.注重数学思想方法的渗透使学生感悟数学的基本思想是重要的课程目标。数学思想是对数学知识的本质认识，是建立数学体系和运用数学解决问题的指导思想。新教材着重强调了类比思想、数形结合思想和建模思想等。（1）类比思想类比是最基本的思想方法之一，是数学发现的重要源泉。新教材基于学生的认知特点，运用类比思想将已有知识迁移到新问题研究中，进而构建数学知识体系，增强对新知识的理解与掌握。类比实数之间的相等关系、大小关系研究了集合之间的相等关系、包含关系；类比实数的基本运算，研究了集合间的基本运算并、交、补；类比等式的内容和研究方法获得不等式的内容和研究方法；类比用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，研究了以一元二次函数为纽带，把一元二次方程与不等式联系起来；类比研究指数函数、对数函数的方法，进一步学习如何绘制三角函数图象，并通过观察图象特征获得函数性质等等。新教材利用圆的对称性研究三角函数对称性，分析了角α与π+α的三角函数值之间的关系得到公式二；相应位置明确指出“请你类比公式二，证明公式三和四”；而旧教材则是简单陈述为“请同学们自己完成公式三、四的推导”。运用类比思想不仅可以启发引导学生自主探究，增强学生自信心，而且有助于学生把握合情推理的思考路径和方法。（2）数形结合思想由数到形、以形助数的数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于学生把握问题的本质。新教材第一章主要运用Venn图表示集合及集合基本运算；运用数轴直观表示并集。第二章运用数轴探究不等式的几何解释及性质3证明；运用几何图形、三角形相似探究基本不等式的几何解释；运用一元二次函数图象与x轴的相关位置确定二次不等式的解集。第三、四、五章通过给出的空气质量指数变化图形象化理解函数的概念；运用图象的上升下降趋势研究函数的单调性、最值，运用图象的对称特点研究函数的奇偶性、周期性等；运用数学软件GeoGebra绘制函数图象，探究二次函数解析式系数与对应图象间的联系；运用图象理解函数的零点，方程的实数解；运用单位圆上点的坐标定义三角函数概念；运用勾股定理证明了同角三角函数等式；运用单位圆上点的对称性理解公式二-六；运用图象探究不同的幂函数通过加、减、乘、除等运算构成新函数的性质及与原来两个函数性质间的联系等等。由此可见数形结合思想贯穿于新教材的各个章节。一方面以形助数，另一方面以数助形，即新教材更为注重代数问题几何化、几何问题代数化的思维引导。（3）数学建模思想在学科核心素养与课程目标中指出：数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的素养。新教材注重数学建模思想，多次从实际问题中建立模型，在物理情境中发现问题，有意识地让学生用数学语言表达现实世界[2]。当然教材在建立模型时，考虑学生知识建构及能力水平，将一些变量因素设为理想状态。函数本身是刻画变量之间对应关系的数学模型。“函数的应用（一）”初步了解建立函数模型解决实际问题的过程，例1是关于应缴纳综合所得个税的问题，例2是关于汽车在行驶中汽车里程表数与时间的关系问题。“函数的应用（二）”中例3借用马尔萨斯人口增长模型建立具体人口增长模型；例4为考古学家通过对古城建筑材料中草茎遗存的碳14的残留量，建立指数衰减模型，计算推断大坝年代；例5通过建立三种投资方案对应的模型，比较增长情况进而做出选择。这些具体问题的解决过程能够使读者深入理解用函数构建数学模型的基本过程，学习运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题的方法。新教材专门设立了“数学建模———建立函数模型解决实际问题”部分，通过具体实例概括了数学建模活动的六个过程、四项要求，并给出研究报告的参考形式（表格形式）。建立模型过程非常完善，使学生在对数学建模深入了解的基础上，积极参与其中，真正体验数学理论与现实的完美结合。为引入重难点知识的学习，新教材增加了我国古明的筒车灌溉农田的实例，介绍了筒车是一种以水流作动力，取水灌田的工具，并呈现了两幅图，一幅是使用筒车灌溉图，另一幅是科学家徐光启用图画描绘的工作原理。首先，提出问题“能否用一个合适的函数模型刻画盛水筒距离水面的相对高度与时间的关系”；其次，由于盛水筒运动具有周期性，启发引导学生运用三角函数模型刻画运动规律；最后，具体地分析量与量的相互关系，进而建立了盛水筒运动的数学模型。通过问题情境创设，激发了学生的求知欲，学生会积极主动地去查询资料，了解筒车的历史沿革及工作原理。在解决问题的整个过程都会带着那份热爱、那份执着。2.注重数学与社会发展的关系新课标强调：“学生用数学的眼光从生活中捕捉数学问题，主动地运用数学知识分析生活现象，自主地解决生活中的实际问题。”新教材在知识的导入、讲解及巩固各环节都注重了数学的应用。特别在习题拓广探索中增加一些应用型的题目，真正实现了在应用中发展思维，将思维应用于生活。（1）注重了数学在现实生活中的应用新教材中的生活实例有“酸奶的质量检查”“汽车刹车距离与车速的关系”“公共汽车票价规定”“烟花最佳爆裂时刻及高度”“生活用水阶梯水价”等等。在函数导入部分的四个案例中，三个是新增加的，分别是“复兴号”高速列车行程路程与时间关系，电气维修公司工人工资和工作天数的关系，根据北京市空气质量指数变化图分析AQI的值与时刻的关系，可以说数学与日常生活息息相关。新教材第238页新增了例2，摩天轮是一种大型转轮状游乐设施（配图），题面所给出的参数及参数值完全是符合实际的，比如设置48个座舱，最高点离地面高度120米等。这样的教材编写显然能够充分调动学生学习的激情，既能考查学生对知识的掌握程度，更能培养其发现问题、分析问题、解决问题的能力。学生在学习教材内容的过程中能真正体验到数学就在我们的身边，很好地激发学生爱数学、学数学、用数学的情感，培养学生认真观察并自觉地把数学知识应用于实际生活的能动性。（2）注重了数学在其他学科中的应用在信息技术高度发达的今天，数学方法和科学技术形影不离。教材中涉及物理学、力学方面的案例比较多，比如研究了玻意耳定律的单调性；在固定压力查下，气体通过圆形管道时流量速率与半径的四次方成正比；弹簧伸长长度随拉力变化情况及简谐振动等等。当学习指数函数时，衰减模型大多选用生物学中根据C14含量判断死亡年限的事例；而增长模型则选用我国到某地景区游客人数逐年变化方式为背景等。与此同时教材案例还涉及到了气象学、地理、化学、经济、金融等方面，充分体现了数学的科学价值。3.注重数学语言的呈现数学语言作为数学知识和思维的载体，可分为文字语言、符号语言与图形图表语言。一方面，新教材更加注重了语言的准确性、科学性、简约性、明晰性。如引入任意角时，新教材例题采用“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的描述；而旧教材则表述为“转体720（即转体2周）”“转体1080（即转体3周）”，可见新教材注重了语言的专业性和规范性。新教材将“为第一象限角满足条件，反之也成立”，修订为“充要条件”。另一方面，新教材函数图象语言更为形象化、直观化。线条的色彩、虚实、粗细都进行了精心修订。新教材避免了运用正弦线、余弦线、正切线绘制三角函数图象这个难点，而采用容易理解掌握的描点法，把轴上从这一段分成12等份，找自变量对应的12个点，借助信息技术可使自变量在区间上取到足够多的值而画出足够多的点，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到精确的函数图象。总之，新教材中三种语言间巧妙的互译，给读者一种柳暗花明又一村的感觉。通过阅读、掌握、理解、运用数学语言，能够提高学生思维的逻辑性、灵活性，从而提升学生数学综合素养。

二、高一数学新教材的教学建议

1.挖掘教材中的思想方法数学思想方法贯穿于数学整个知识体系。“授人以鱼，更要受人以渔”。一方面，用好“章首语”和“章小结”。章首语在联系已有的知识问题基础上，提出本章相关的所要解决的问题，即学习本章核心内容，强调学习这部分内容的必要性和重要性，从中概括性地渗透一些数学的观点、思想及方法。章小结中的“回顾与思考”，详实地叙述了本章依次涉及的重点内容，并将研究过程、研究方法再次强调说明，注重知识间的联系、知识形成的过程及思维的引导。另一方面，用好“例题”与“习题”。可以从难易程度归类因材施教，也可以根据使用的数学方法进行归类，突破思维定势，更好地进行教学。2.开发教材中的应用实例新课标明确指出通过数学课程的学习，认识数学的应用价值。教材中对知识点的应用与巩固练习比较多，要做到精讲精练。有些应用实例可以直接采用，有些可以间接使用。将教材实例转化为数学实验，然后让学生实施操作，操作中得到丰富的情感体验和认识体验，增强自信心，变被动接受知识为主动探究知识，即将教材中的实例用“活”。新教材是面向全国使用的，教师可以将实例与地域文化经济等相联系，让学生真正地感知数学来源于生活又服务于生活。3.运用教材中的数学语言学好数学学科的前提是理解和掌握数学语言。只有认识和读懂数学语言，才能更好地理解题意，更好地解决问题。函数是高一教材核心内容，函数的性质研究离不开图象的性质，学习函数不仅要具有很好的读图能力，而且要具有很好的互译能力。即将数学文字语言和符号语言转化为图形图表语言，反过来也需将图形图表语言转化为文字语言和符号语言。教师在向学生传授数学知识的同时，要帮助学生了解数学的发展，体会数学的价值，领悟数学的应用。新的课程理念要求教师“用教材教，而不是教教材”。为使学生受到良好的数学教育，教师要学会创造性地运用教材，巧妙地渗透数学文化，不断提升学生的数学素养。

参考文献

[1]中华人民教育共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：1-6.

[2]董荣森，章建锋.以“三动”引领教学，发展学生数学建模素养———以“三角函数的应用”课堂教学为例[J].中国数学教育：高中版，2020（05），51-54.

[3]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书（A版），数学，必修，第一册[M].北京：人民教育出版社，2019：1-102.

[4]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书[M].必修，数学①[M].第2版.北京：人民教育出版社，2007：1-113.

[5]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心，普通高中课程标准实验教科书（A版），必修，数学④[M].第2版.北京：人民教育出版社，2007：1-69，123-145.

作者：周芳 杨慧 米芳 单位：太原师范学院数学系