高考试题数学文化运用水平分析

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【摘要】基于对数学文化内涵的理解，借鉴相关研究形成对高考试题中数学文化运用水平分析的理论框架，对近5年高考试题中的数学文化运用水平进行统计分析．研究发现:近5年高考试卷中数学文化的运用水平总体较高，超过六成的试题为不可分离型，各类数学文化类型运用水平最高的是公共生活类，数学史的运用水平较低，数学与生活、数学与人文艺术、数学与科技等文化类型中有相当比例为可分离型的运用水平．

【关键词】高考试题;数学文化;运用水平

1分析框架

将数学文化的运用水平作为衡量高考数学是“如何渗透数学文化”的指标．沈春辉等按数学史与数学知识的相关程度将数学史的运用水平分为点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式五种类型，基于deLange的研究将其他类型的数学文化运用水平分为外在型和内在型两种类型，其中内在型又分为可分离型和不可分离型［5］．不少研究者借此分析框架研究数学课程教学中的数学文化，但此框架未将数学史与其他数学文化的运用水平统一．而后唐恒钧等对试题中数学文化的运用水平统一为附加型和整合型两种方式，其中整合型进一步细分为可分离的数学文化和不可分离的数学文化两种［6］．在此基础上，本文将数学文化的运用水平分为附加型、可分离型、不可分离型三个依次上升的水平．其中，“附加型”指数学文化素材仅以图片、语言等方式附加在试题的外围，除去这些文化素材不会影响学生对问题的解决．比如2018年全国卷Ⅱ理题8提供了数学家陈景润以及哥德巴赫猜想的素材，但删去这些文化素材不影响学生解答在不超过30的素数中随机选择两个数其和为30的概率．“可分离型”指用数学解决数学问题，数学文化是一层外衣，所解决的问题是人为地强加于文化素材之上的．比如2015年江苏卷题5呈现形状大小相同的4只球，要求学生回答随机摸出2只颜色不同球的概率．“不可分离型”指数学文化是试题的有机组成部分，可以用文化理解数学，或用数学解决文化中固有的问题．比如2018年上海卷题19结合实际情况创设自驾群体的人均通勤时间模型，要求学生分析这一函数模型阐述其实际意义．

2研究设计

2．1研究对象．将全国卷、北京卷、浙江卷、江苏卷、上海卷、天津卷近5年的文理科高考数学试题作为文本分析对象，即2015—2019全国卷Ⅰ(文理)、2015—2019全国卷Ⅱ(文理)、2016—2019全国卷Ⅲ(文理)、2015—2019北京卷(文理)、2015—2016浙江卷(文理)、2017—2019浙江卷、2015—2019江苏卷、2015—2016上海卷(文理)、2017—2019上海卷、2015—2019天津卷(文理)一共67份试卷．全国卷涉及的省份广，北京卷、浙江卷、江苏卷、上海卷、天津卷坚持自主命题，已逐渐形成自身的命题特色．对它们进行研究，有利于较为全面地明晰我国当前数学文化在高考试题中的渗透情况，提高考试题中数学文化的运用水平．2．2分析过程．在统计过程中，需遵循以下操作标准:首先，按以数学文化元素与高考试题的设置为共同的分析单元，即试题中出现不同的数学文化元素分别计数，同一数学文化元素出现在不同试题中也分别计数．其次，当一道试题中包含若干小题，仍记为一道并选择最高的运用水平作为此题的分类．数据的分析由两位数学教育研究者分别按照数学文化运用水平的分类说明对近5年高考试题独立编码，对比分析结果，对其中不一致的条目讨论达成一致意见．

3研究的结果与讨论

据统计，近5年有关数学文化的试题有168道(数学文化尚无统一标准，本文结合《2017年普通高考考试大纲修订内容》以及数学文化的广义定义，通过详细的文本分析将数学文化界定为数学史、数学与生活、数学与科技、数学与人文艺术等．这168道试题中出自数学史的试题15道;出自数学与生活的试题120道;出自数学与科技的试题17道;出自数学与人文艺术的试题16道．)按照分析框架对168道试题进行统计分析，得到试题中数学文化的运用水平情况，如图1所示．图1数学文化运用水平分析总体上，数学文化运用水平较高，以不可分离型为主，为112道，占66．67%．即试题要求学生回答的问题往往是情境中固有的，这类问题的确存在于生活中，具有实际意义并不是人为强加的．其次是可分离型，为48道，占28．57%，这类问题往往是为了解决某个问题人为强加数学文化背景．当然，也有试题是附加型，占4．76%，其数学文化运用水平最低，仅完成了数学文化融入试题的表面要求．3．1附加型．数学文化运用水平为附加型的试题共8道，8道试题的数学文化背景均为数学史，占数学史试题总量的53．33%．具体如下:从表中可以发现，近5年每年都有数学史运用水平为附加型的试题，其中有3道出自数学名著，3道出自数学家，2道出自数学名题，说明数学史内容类型对运用水平影响不大．这8道试题对学生的文化素养要求几乎没有，对学生的认知水平要求不高，学生在理解数学知识的基础上只需机械性地使用程序即可解题．比如2018年浙江卷题11，命题专家将试题置于数学著作《张邱建算经》中的“百鸡问题”中，可以说试题具有明显的数学史特征．而实际解决的问题是解二元一次方程组，与史料之间并无太大关系，相互之间可以分离，甚至去掉《张邱建算经》中的百鸡问题，将试题改成已知三元一次方程组x+y+z=100，5x+3y+13z=100，{当z=81时，x=，y=也不影响学生的解答．再如，2015年全国卷Ⅱ理题8，出现在试题中的“更相减损术”是求最大公约数的有效方法，渗透着中国古人的智慧．试题94要求学生回答输入a=14，b=18后输出的a等于多少，对于大部分不知道“更相减损术”但理解程序框图的学生依然能得到正确答案，因此试题没有很好地考查此算法的精妙之处．又或者2019年浙江卷题4提到的“祖暅原理”，这个原理是浅显易懂的，《人教A版》教材中第30页的阅读材料上也有专门的介绍，但是试题并未考查到祖暅原理的有关内容，若删去题干对“祖暅原理”的介绍直接要求学生根据三视图求该柱体的体积也不影响学生的解答．可见，数学史的运用水平以中、低水平为主，这一方面不能很好地落实高考对数学文化命题的理念———通过试题引导学生提高人文素养、传承民族精神、树立民族自豪感．另一方面无法让学生感受到数学扎根于文化，又推动文化的发展．如何提高数学文化运用水平尤其是数学史的运用水平仍有待研究．3．2可分离型．数学文化运用水平为可分离型的试题共48道，其中44道试题的数学文化背景为数学与生活，约为数学与生活试题总量的三分之一，这说明要进一步优化生活素材的运用水平．进一步分析发现，公共生活类试题运用水平较高，以不可分离型为主，而个人生活中有超过七成属于可分离型．其中一部分试题文化素材缺乏新意，比如2015年江苏卷题5摸球情境、2016年江苏卷题7掷骰子情境、2018年全国卷Ⅰ理题15挑选学生参加比赛情境等等．这些背景素材未能结合社会发展的热点问题．背景材料仅仅掩饰数学问题，现实生活中几乎不需要解决此类问题，数学与文化相分离．可以发现这些“可分离型”试题往往以“计数原理与排列组合”为数学知识载体，将“计数原理与排列组合”知识与文化更好地关联是提高试题中数学文化运用水平的一个途径．关于“计数原理与排列组合”，在数学历史上，丹尼尔伯努利提出著名的“装错信封问题”，大数学家欧拉也曾研究过它．在命制试题时，命题专家也可尝试去挖掘这方面的数学史内容融入试题中．相比较而言，2017年全国卷Ⅰ理题12紧扣国家对“大众创业、万众创新”的要求，选择的“大学生软件激活码”这一素材新颖生动，与学生生活贴近，体现数学的趣味性，对即将步入大学校园的学生起着引导作用，但在现实生活中不会设置如此复杂的激活码．试题要求解决的该款软件的激活码问题是强加的，因此运用水平仍不高．运用水平为可分离型的试题大多将数学与生活关联，运用水平仍不高主要是因为用情境来掩饰数学问题，仅仅要求学生用数学知识解决处于情境的数学问题，这和所选择的文化素材缺乏真实、自然、合理有关．3．3不可分离型．这类试题的数学文化运用水平最高，从统计图中可以看到，四类数学文化类型的试题中均有不可分离型，其中占比最多的是数学与生活类试题，这与数学与生活类试题本身的数量远远高于其它三类有一定的关联．适当地增加数学文化高考题，提高试题中数学文化的运用水平，有助于学生把握数学本质，培养学生的理性精神．数学文化是数学学科的一个有机组成部分，数学文化运用水平高的试题注重文化与数学知识的有机结合，注重体现其思维的本质内涵．如2019年北京卷理题6以天文学中对天体明暗程度的刻画为背景，融合数学知识、物理知识、地理知识，较好地体现了数学是基础科学的基础，在其他领域发挥着重要作用．2019年全国卷Ⅱ理题16融入中华传统文化———金石文化，给予了几何体真实背景，具有浓厚的文化气息．试题要求学生根据题干，凭借直观想象能力将空间问题转化为平面问题，学生在解决此题的过程中，不仅能感受到几何体的对称美，而且能感受到这种美在解决问题中的重要力量．运用水平高的试题善于创设真实情境，树立价值引领．如2019年北京卷文题14，以大学生创业这一与学生紧密联系的情境设计问题，素材源于社会生活，源于真实情境，让学生感受到美好生活不仅需要智慧，更要通过劳动来创造．2019年全国卷Ⅰ理题4通过黄金分割的介绍以及对著名雕像维纳斯的举例，试题要求学生将黄金分割应用到对个人身高的估计中，这与近几年数学文化情境的设置、内容的选择相比有很大的创新．试题给学生美的体验的同时，引导着学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界．另外，一些试题可能题干更长一点，但题目不难，注重灵活性，体现出高考试题从“能力立意”到“素养导向”的过程．如2015年全国卷Ⅰ理题19，信息丰富且呈现形式多样，关注学生对非连续性文本的阅读能力，要求学生运用已有的数学知识和经验将现实问题“数学化”．2018年全国卷Ⅱ文理题18用图表呈现环境基础设施投资额变化，要求学生从两个不同的模型计算出结果的同时能比较出更加可靠的预测值，灵活地考查了学生的数学建模素养．一道“好”的数学文化试题，应当具有高运用水平的特点，有研究表明，当前数学文化教学存在“低应用”的现象［7］，引起这一现象的重要原因之一就是数学试题，特别是高考试题中的数学文化运用水平不高．上述试题可以为后续命题者命制优秀试题与广大一线教师进行数学文化教学提供借鉴．

4研究的结论与启示

基于近5年高考数学试题中数学文化运用水平的分析，可得出如下结论:(1)数学文化运用水平总体较高，不可分离型占66．67%，可分离整合型占28．57%．各类数学文化类型运用水平最高的是公共生活类，约八成的公共生活类试题达到不可分离型，其数学文化内容更真实、自然、合理，运用水平相对较高．(2)数学史的运用水平较低，有8道(共16道)以数学史为背景试题的运用水平为附加型．数学与生活、数学与人文艺术、数学与科技等文化类型有相当比例为可分离型的运用水平，文化与试题的结合有待进一步深化．基于以上结论，高考试题中的数学文化仍需采用更加内在而自然的运用水平．具体而言，对于试题中数学文化，要提高其运用水平至关重要的一点是选择合理、真实、自然的素材．对素材的选择尽量做到以立德树人为立足点、突出新时代的气息和特色．再从学生的认知出发，对数学文化内容进行合理命制，最终以真实自然的文化材料、突出数学文化本质的试题内容、新颖的呈现方式考查学生的数学文化素养．特别地，需关注数学史的运用水平．提高数学史的运用水平应力求使数学史成为试题不可分割的一部分，可通过以下策略提供数学史的运用水平．策略1直接考查数学史相关内容，即要求学生回答出试题所涉及的数学文化背景的来源．如:图2是著名的几何图形———月牙形，与月牙形有关的数学家或数学定理有．2018年全国卷Ⅰ理第10题，与月牙形有关的数学家是希波克拉底，有关的数学定理有希波克拉底定理、毕达哥拉斯定理(勾股定理)、泰勒斯定理．答案不唯一，以开放题的形式考查了学生的数学文化知识．策略2间接考查数学史相关内容，即以隐性的方式呈现数学文化，题干不提供明显的数学文化背景，力求使学生通过数学运算、推理、建模等对数学史本身有更深入的甚至是全新的解读．如2008年江苏卷题13给出条件AB=2，AC=槡2BC，要求学生回答△ABC面积的最大值．再如2014年湖北卷文题17提供条件圆O:x2+y2=1和点A(－2，0)，若定点B(b，0)(b≠－2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M，都有MB=λMA，要求学生给出b和λ的值．用常规的方法两题的运算量都较大，若学生知道阿波罗尼斯圆的性质，可得到两题中点A和点M两点的轨迹均是圆，利用特殊化思想得到解，速度和正确率可大大提高．这类试题没有明显的数学文化痕迹，在数学运算、推理、建模等的过程中学生能对数学史本身有更深入的甚至是全新的解读．综上，尽管从运用水平的视角看高考试题中的数学文化还存在一些有待完善的问题，但总体上呈现了较高的运用水平，这是值得保持的．对高考试题中数学文化的分析，不应局限于运用水平，在其他方面有何特点，还需在理性假设的基础上进一步分析与讨论．

参考文献

［1］王建磐．主要国家高中数学教材的比较研究［J］．课程•教材•教法，2011，31(07):105－106．

［2］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(2017年版)［S］．北京:人民教育出版社，2018．

［3］中华人民共和国教育部考试中心［4］李祎．别被理念绑架教学［J］．数学通报，2019，58(02):18－20+25．

［5］沈春辉，柳笛，汪晓勤．文化视角下“中新美法”四国高中数学教材中“简单几何体”的研究［J］．数学教育学报，2013，22(04):30－33+102．

［6］唐恒钧，张维忠．澳大利亚数学统一评估试题中的文化研究［J］．数学通报，2016，55(03):7－11．

［7］汪晓勤．主要国家高中数学教材中的数学文化［J］．中学数学月刊，2011(05):50．

作者:金月丹 张维忠 单位:浙江师范大学教师教育学院