大学物理学与高等数学衔接研究

导语：大学物理学与高等数学衔接研究一文来源于网友上传，不代表本站观点，若需要原创文章可咨询客服老师，欢迎参考。

摘要：大学物理学与高等数学之间有着十分密切的内在联系，一定基础的高等数学知识是学好大学物理学的关键。然而，对于大一新生，高等数学基本知识的欠缺已成为学生理解知识及提高教学效果的主要障碍。论文探究了高等数学中的微积分、矢量等知识如何与大学物理课程的衔接，并结合一些具体的案例进行了说明，以求提高教学效果。

关键词：大学物理；高等数学；衔接；案例

一引言

大学物理学是理工类专业必修的基础课程，而这门课程是用严密的数学来描述的。物理学的每一次进步都离不开数学的运用[1]。故好的数学基础是学好物理的关键。然而，大学物理和高等数学这两门课程是各自单独授课，对于大一新生而言，在讲大学物理中的力学部分时，高等数学中的导数、微分、积分、矢量还未来得及学。高等数学知识的欠缺已成为学生理解知识及提高教学效果的重大障碍[2]。因此，如何将大学物理与高等数学相衔接，如何在实际的大学物理教学中尽量做到具体的物理问题渗透高等数学的思想，弥补新生对高等数学理解的不很透彻，做到高数与物理这两门课的融会贯通是每一位教大学物理教师值得思考的问题[3，4]。

二大学物理与高等数学相衔接的探究

（一）课前高数知识的补充。笔者经过多年的教学实践，认为十分有必要在讲完绪论之后,拿出大约四个学时,来给学生补充微积分和矢量运算等内容。起到磨刀不误砍柴工的效果。在补充高等数学知识的课堂教学过程中,主要是讲解高等数学中微积分的思想，明白导数、微分、积分、矢量的定义及本质。实际上大多数数学问题的提出都与物理息息相关，在讲解微积分和矢量运算的思想时要结合物理中的实际应用来讲解、结合具体的公式来应用。例如：导数是反映函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。强调的是这个变化率是极限条件下的变化率。在讲解导数定义时可假设在二维直角坐标系中有一条任意的曲线，曲线上有A、B两点，坐标分别为11A(x，y)，22B(x，y)。假设自变量变化了21∆x(∆x=x−x)，因变量随之变化了21∆y(∆y=y−y)false，其变化率k=∆y∆x。可结合图形讲解，当自变量的变化∆x→0时，即：2x无限靠近1x，在此极限情况下∆x可表示为dx，因变量的变化∆yfalse可表示为dy。教师要强调的是1x处的导数，强调∆x与dx的区别与联系，即：dx是∆x的极限形式。在讲解的过程中没有必要过多地说明域和极限的存在的概念等。在此极限情况下x1处的导数可表示为：10limxxxyyx=∆→∆′=∆，导数也称之为微商。既要强调商，也要强调微。这样就很容易引出导数的定义和思想。在讲完导数的定义和思想之后，马上结合曲线的切线问题，结合变速直线运动的平均速度和某一时刻的瞬时速度问题进行实际的应用。没必要过多地纠缠极限的实际求法，但要强调极限的思想。结合导数的常用公式，强调这些公式只是一种工具。没必要过多去推导这些常用公式的由来。多年的教学实践证明，学生很快能接受导数知识。有了导数的知识，再来讲解微分的概念。微分的思想是在某一点，自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。例如在x1点，当自变量有微小的∆x变化时，函数大体上改变了∆y，当自变量的变化∆x→0时，即可表示为dx，函数在1x点的变化∆y可以表示为dy，导数与微分的关系是dy=f′(x)dx。强调f′(x)是导数，反映的是在点1x附近的变化率。同样，结合在讲导数时的二维曲线来说明。在讲完微分的定义和思想之后，马上结合正方形金属薄片受热后面积的改变量，从而具体说明微分的思想。假设正方形金属薄片初始边长为x0，受热膨胀后的边长由0x变为0x+∆x，边长增加了∆x，那么薄片的面积增加了多少呢？结合图形，薄片的面积增加量为222000∆A=(x+∆x)−x=2x⋅∆x+(∆x)，学生对这个问题很容易解答。当∆x为dx时，即：∆x→0，由于2(∆x)为二阶小量，可以忽略不计，因此，薄片的面积增加量可表示为0dA=2x⋅dx，很自然的理解导数与微分的关系dy=f′(x)dx。有了微分的知识接着讲积分的概念。此知识点中强调的是微元的思想。可结合曲边梯形面积来讲解积分的思想。计算曲边梯形的面积，一个简单的法子就是用矩形面积近似取代曲边梯形面积。矩形的数目越多，越接近于曲边梯形面积。教师要具体讲解好微元的概念。结合图形，第i个矩形的宽度为+1-iiii∆x（）∆x=xx，高度近似为()ifζ，其中iii+1x≤ζ≤x，则第i个矩形的面积为()iii∆A=fζ⋅∆x。至此，学生理解没有问题。当0i∆x→时，高度近似用()ifx代替，因此第i个矩形的面积为用微分来表示为()iidA=fx⋅dx，在此要让学生建立起微元idA的概念。曲边梯形总的面积即为这些微元的和1()niiiAfζx==∑⋅∆。当0i∆x→时，曲边梯形总的面积即为()baA=∫fxdx。体现了积分就是求和的思想，体现了微元叠加的思想。经过多年的教学实践证明，通过大约四个学时的高数知识补充，学生很快就能建立微积分、微元、矢量的思想，为开始讲解大学物理中的力学打下了一定的基础。（二）悟物穷理，突出高等数学思想的应用渗透。在大约四个学时的高数知识补充中，强调的是微积分、矢量的基本思想。在实际的大学物理教学中尽量做到具体的物理问题渗透高等数的学思想，做到高数与物理这两门课的融会贯通。在大学物理的具体问题中，微元的思想被广泛运用。从力学中物体的变速运动，变力做功，刚体的转动惯量到电磁学中的场强、电势、能量的叠加等都是微元思想的体现。有位移元、时间元、质量元、电荷元、电流元等等。微元的作用就是无限分割，取极限，分割成一个个无穷小的单位，即将物理量分解为单位元，即：高数中自变量的变化∆x→0时的微元dy，从而达到近似的、等效的“理想”状态。微元近似为稳恒量或离散量。物理的整个过程就是这些微元的叠加，叠加过程就是求和过程，也是积分过程。例如：求轴与盘平面垂直并通过盘心，质量为m、半径为R、厚为l的均匀圆盘的转动惯量。质量离散物体的转动惯量的定义为：2=iiJ∑rm，根据补充高数时所讲的求和就是积分的思想，质量连续物体的转动惯量可表示为：2J=∫rdm。对于此题连续物体的转动惯量，首先要求学生理解转动惯量的微元dJ，而2dJ=rdm，这样微元又变为dm，dm=ρdV=ρldS。对于微元dS的求解，在此关键运用了极限的思想。在讲解时结合图形，取一个半径为1r的内圆，当内圆半径1r增加一个微量∆r时，形成的外圆半径为r+∆r，这样形成一个内半径为1r，外半径为1r+∆r的圆环。整个圆盘的面积就是这些无限多个圆环的叠加。最后，落脚点就是求这个圆环的面积1∆S。运用微分极限的思想，当半径增量∆r→0时，∆r可表示为dr。圆环的内、外半径都近似为1r。将这个圆环用剪刀剪断，拉直，近似形成一个长度为12πr，宽度为dr的矩形。这些无穷小的圆环单位，等效于“理想”状态的矩形。关键是要学生明白这个矩形是如何在极限情况下得到的。这个圆环对应的近似矩形面积为：11dS=2πrdr。一般地，去掉角标，任意内半径为r的圆环所对应的面积微元为dS=2πrdr。可以让学生根据此面积微元公式计算整个圆盘的面积：202=RS=π∫rdrR。结果与以往的、求圆的面积公式获得一致。学生对此非常惊讶！也更加明白微分的极限思想。将面积微元dS、质量微元dm、转动惯量的微元dJ代入公式2J=∫rdm中，同时根据密度公式：2mmVRlρ==π，即可得到圆盘的转动惯量为：320122RJ=∫ρπlrdr=mR。还有，例如：速度、加速度等等，这些例子充分体现了高数中微元、极限、叠加的思想，是解决复杂物理问题的手段，做到了高数与物理这两门课的融会贯通。教师要引导新生勤于思考，悟物穷理；在教学中要始终体现微元思想，时刻提醒学生注意微元思想。

三总结

总之，大学物理课需要用高等数学来描述，而通过对大学物理学的学习可以对高等数学知识的思想和方法会有着更深层次的理解，两者相互促进，相互渗透。教师要做好大学物理学与高等数学的衔接,以消除大学生学习高等数学和大学物理时的障碍，从而激发学生的学习积极性，提高教学效益。

参考文献

[1]苟立云,袁威威.高等数学与大学物理课程融合研究[J].黑河学院学报,2012,3(4):53-55.

[2]朱玉华,雷庆.高等数学和大学物理课程的认知学习过程比较[J].北京航空航天大学学报(社会科学版),2001,14(4):61-64.

[3]谌雄文,施振刚,杨朋.大学物理教学的数理融合方法探讨[J].教育教学论坛,2017(30):198-199.

[4]杨海彬.浅谈大学物理教学中数学知识的运用[J].安徽文学月刊,2007(5):101-102.

作者:邓文武 单位:湖北科技学院