高中校本课程“数学文化”思考

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摘要：文章阐述了高中校本课程“数学文化”的实践与思考．开发与实施该课程时，应着力凸显“四性”：趣味性、人文性、应用性、思想性，呈现凸显“四性”的教学案例，并将其作为开发与实施高中数学文化类课程的参考．

关键词：数学文化；校本课程；课程开发；教学实践；数学任务

1校本课程“数学文化”研究缘起

《普通高中数学课程标准（2017年版）》倡导把数学文化融入课程内容，不断发展学生的数学素养．当前的教学实践普遍存在着数学文化缺失的现象，因此开发与实施高品质的“数学文化”校本课程具有重要的教学实践价值．鉴于这样的认识和考量，近年来，笔者依据学校的办学特色和学情，在高一年级进行了开发与实施校本课程“数学文化”的实践性探索，取得了良好的教学效果．现将相关实践与思考整理成文，敬请同行指正．

2着力凸显“四性”，构建精品课程

2．1趣味性：引人入胜，品味数学之趣在很多学生眼里，数学抽象乏味，并无趣味可言．因此作为校本课程的数学文化课，首要任务就是引领学生品味数学之趣，以数学之趣引人入胜，激发求知之欲．以“漫话解析几何”为例，笔者将守株待兔、笛卡尔之梦、蜘蛛网轶闻、爱心曲线和数学情书等5个饶有趣味的文化素材串联成章，学生无不觉得数学有趣，陶醉其中．以“常数传奇”为例，在讲圆周率π时，笔者以一则故事引出一段谐音妙语收尾：“山巅一寺一壶酒（3．14159），尔乐苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒杀尔（932），杀不死（384），遛尔遛死（6264），扇扇刮（338），扇耳吃酒（3279）．”稍等片刻，笔者询问学生是否能够记住圆周率，话音刚落，就有学生站起来迅速背出圆周率小数点后30位，引发全体学生的喝彩．2．2人文性：超越时空，经历数学之旅追求文理交融、贯通数学古今是数学文化课的内在追求．数学史是数学文化课的重要载体，通过引领学生超越时空疆界，经历数学之旅，体悟数学知识的发生、发展过程，并以数学家的励志故事，培养学生的科学精神和人文精神［1］．以“人生相遇几何”为例，在讲欧氏几何时，笔者作了如下设计：首先，从欧氏几何谈起，引导学生分析公理化方法的优势，感受作为理性思维典范的数学学科的强大威力；其次，分析、比较中西传统数学思维方式的差异，即中国古代数学重实用和算法，西方古希腊重理性演绎；最后，进一步从中西文化差异的大视野下探求背后缘由．这样的设计层层推进，使得略显枯燥的公理化体系别开生面，拓宽了学生的视野，给学生思想以震撼．以“常数传奇”为例，在研究自然常数e时，教师引领学生一起走近数学大师欧拉，学习了解“数学英雄”欧拉不平凡的生平和贡献，之后教师以欧拉身残志坚、百折不饶的精神激励学生发扬学校所倡导的求进精神，珍惜大好青春，不断奋发求进．2．3应用性：探因析理，认识数学之用“学习数学到底有什么用”，这是困扰学生的大问题．不解决这个问题，学生很难对数学感兴趣，只能是为应付考试而被动地接受数学教育．事实上，数学广泛应用于社会生活的方方面面．以“数学和数学文化”为例，在谈到为什么要学习数学文化时，通过“企业招工中的数学问题”“巧用方程思想解决3根导线的问题”“作为数学教授的大学校长”等案例展现“唯有良好的数学素养才能使人终身受益”，引发了学生的共鸣和沉思．以“数据与人生设计”为例，教学流程如下：先从生活在大数据时代说起，继而感受身边的数据“谎言”，包括“骗人”的平均数、“蒙人”的绝对数、“虚幻”的相对数；再以语言学字频研究和二战史实为例讲述统计学的应用；最后以案例“公说公有理，婆说婆有理”和选举悖论结尾，课堂气氛达到高潮．纵观整个教学流程，以数学应用为主线，帮助学生充分感受统计学的广泛应用．2．4思想性：追根求源，领悟数学之魂数学文化课不能脱离数学谈文化，仍要凸显课堂的“数学味”，着力提升数学素养．通过精心设计本真问题驱动学生火热的思考，追根求源，领悟数学知识背后内隐的数学精神、思想和方法．以“走进无穷的世界”为例，笔者的设计融入苏教版高中数学教材必修1的阅读材料［2］，从教师点名时对应思想的应用谈起，再到古人朴素的对应思想，继而自然地将对应思想引入到无限的世界．以“不可思议的无理数”为例，笔者设计了以下教学环节：1）从勾股定理说起；2）万物皆数学说；3）无理数的发现；4）第一次数学危机（西方数、形分离，中国却有截然不同的处理）；5）数系的扩张和危机的解决，感受有理数和无理数的区别；6）强大的反证法．在“无理数的发现”环节，引导学生初步感知、运用反证法证明槡2是无理数，在“强大的反证法”环节，再次回归、研究反证法，感受、理解、运用反证法，体现了浓厚的“数学味”．

3校本课程“数学文化”案例———“走进无限的世界”教学目标

感悟数学源于生活，高于生活；经历对若干悖论和问题的思考，了解从有限到无限的质变，深化对集合和对应思想的理解；发展数学抽象、创新思维等数学素养；培育数学探究、数学阅读的兴趣．教学过程1）无限：从感知到证明．著名数学家外尔曾说：“数学是关于无限的科学．”可是人的感知是有限的，生命是有限的，日常接触的数字也是有限的，如何能感觉到无限的存在？但确实也有人感到了无限：中国古代《庄子》：一尺之锤，日取其半，万世不竭；古希腊德谟克利特：一条短短的线段由无数多个点（原子）构成．问题1证明有无限多个正整数．探究1尝试证明有无限多个素数．设计意图以数学名言和日常生活的思考引入课题，凸显人文性，激发学习兴趣，初步感知无限的世界．再通过无限问题的反证法证明，初步理解反证法，感悟数学证明的应用性．2）嬗变：从有限到无限．阿基米德与乌龟赛跑的故事阿基米德是古希腊传说中跑得很快的神，芝诺却称他可以证明：如果让乌龟先爬出一段距离，那么阿基米德永远追不上乌龟．伽利略的困惑平方数集｛1，4，9，…，n2，…｝是正整数集的真子集，但伽利略知道平方数集中元素个数并不比正整数少．你能给出解释吗？问题2两集合一一对应，推出两集合的元素个数相等；“部分小于全体”，推出两集合的元素个数不相等，形成悖论．该怎么解释这个悖论？教师引导教室里有50个座位，教师走进教室，看到坐满了人，无需点名便知听课人数为50．因为每个人坐一个座位，每个座位都坐一个人，两者一一对应，从而听课人数与座位数相等．远古时代，人类还不会记数．比如养了7只羊，但是羊少了却能及时发现，你知道他们是怎么做到的吗？可以用石头与羊对应，一个石头对应一只羊，如果不能一一对应，则说明羊少了．反思小结在有限集中，部分总是小于全体（《几何原本》中的公理）；在无限集中，部分可以等于全体（无限的本质）．设计意图以两个饶有趣味性和人文性的悖论引发认知冲突，激起求知欲，引发学生的思考讨论，再从最朴素的简单事实出发引导学生打破思维定势，用对应思想看问题，初步小结出有限与无限的本质区别，凸显数学文化的思想性．问题3构造一个从（0，1）到（0，＋∞）的一一对应（函数）（如y＝x1－x，y＝21x－2，y＝log12x等）．问题41）1＋（－1）＋1＋（－1）＋1＋（－1）＋…＝；2）1－12＋13－14＋15－16＋…＝．反思小结实数加法的结合律在“无限”的情形下不再成立．推而广之，“有限”时成立的许多命题，或许对“无限”不再成立．问题5正整数集是无限集，有理数集也是无限集，那么这两个无限集哪个元素更多？教师引导正整数在数轴上的相应点是稀疏的，而有理数则是密密麻麻的，于是人们猜想：有理数的元素比正整数元素的个数多得多，可是一直未能证明．后来康托尔证明：两集合可以建立一一对应，即元素个数一样多．教师鼓励学生课后查阅资料，自主阅读．设计意图问题3是一个构造性问题，日常练习中很少见，可发展创新思维；问题4再次引发认知冲突，问题的解决有助于深化对无限的理解，体现数学文化的“数学味”；问题5有较大难度，可谓第3次引发学生的认知冲突，主要起到激发好奇心、引导课外阅读的功效．3）革命：从初等数学到高等数学．建立联系从有限到无限，从初等数学到高等数学，存在诸多重大区别，那么两者是否有联系呢？答案是肯定的，如①数学归纳法；②极限：通过有限的方法，描述无限的过程；③无穷级数：通过有限的步骤，求出无限次运算的结果．希尔伯特旅馆一个拥有“无限个房间”的旅馆，并已客满．对于下列3种情形，旅馆主人能否安排客人都住进旅馆（“无限个房间”“客满”分别是什么意思）？1）若客满后又来了1个客人；2）若客满后又来了1个旅游团，且该旅游团有无穷多个客人；3）若客满后又来了1万个旅游团，且每个旅游团都有无穷多个客人．设计意图从有限和无限的区别再回归到两者的联系，帮助学生认识数学知识的关联性，凸显数学文化的趣味性和思想性．最后以希尔伯特旅馆问题作为趣味思考题结尾，引导学生学会阅读、学会抽象、学会思考．

参考文献

［1］周燕，朱哲．让理性的数学课堂开出感性之花：浅谈数学文化在函数概念教学中的应用［J］．中学教研（数学），2017（9）：7－9．

［2］单墫．普通高中课程标准实验教科书•数学（必修1）［M］．南京：江苏教育出版社，2012：15．

作者:黄荣 单位:无锡市第一中学