数学建模课程教学探索

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摘要：数学建模课程案例教学由现实问题驱动，借助数学方法寻求解决方案。大数据背景下需要适当增加与时下热点问题紧密结合的新颖选题，充分调动学生学习的主动性，培养学生的创新意识与团队协作精神。数学建模过程与论文撰写是引导本科生从事科研和实践活动的有效途径。通过学习和训练，学生具备了基本的科学研究能力，创新能力得以提高，并提升对数学类课程的总体认识。

关键词：大数据；问题驱动；研讨式教学；案例教学；数学建模

由于计算机和互联网先进技术的飞速发展，各个行业都产生大量的数据，而数据建模是推动大数据技术前进的动力之一。数学建模是实际问题驱动的，课程教学应与时俱进，注重新型数据处理方法。培养学生应用数学方法解决实际问题的意识和能力已经成为数学教学的一个重要方面，也是培养创新型人才必不可少的环节，而数学建模是把数学与实际问题联系起来的主要桥梁，是数学实现科学技术转化实践的主要途径。数学模型教学案例中可直接提出待研究的现实问题，激发学生的兴趣和积极性，分析讨论后进行适当的简化假设，建立数学模型，弱化模型求解的数学理论推导，注重数学模型与建模的思想讲解，加强运用数学软件解决研究问题的能力。数学建模课程注重综合运用数学方法和计算机技术解决实际问题能力与创新能力的培养，可以作为以大学生创新与实践能力培养为核心的数学课程教学改革的突破口。

1实际应用问题驱动的教学方法与案例式教学模式

基于实际案例采用启发式、研讨式教学改革，不同于传统数学教学方法遵照教材按部就班地介绍课程内容，案例教学将由现实中的问题驱动，借助数学知识寻求解决方案；研讨课上将改变传统的以教师为中心的教学模式，在教学过程中充分发挥学生的主观能动性，启发学生主动思考、参与讨论和解决问题。研讨式教学强调学生的主体地位，最早由18世纪德国教育学家提出，已成为欧美大学普遍使用的重要教学模式[1]。美国大学的教学设计强调以学生为中心，寻找能够激发学生兴趣的主题，引导学生进行思考是教师的重要任务[2]。2003年，宋银桂与许峰进行的研讨式教学的实践表明，教师的正确指导是实现学生主体性的前提，在教学中应打破教师一言堂，吸引学生参与教学过程[3]。2015年，刘婷与张韵风的研究中，运用研讨式和启发式教学有效解决教学中的重点、难点内容，运用案例式教学解决理论与实际结合的问题[4]。2016年，马小军与夏立文针对软件工程课程给出了启发式、研讨式案例教学的实施流程[5]。传统的教学模式使部分学生对数学产生抵制情绪，导致对数学学习缺乏热情，对学习的根本目的没有一个直观的认识；被动接受学习模式没有及时转变，制约了学生数学思维和数学应用能力的提高。数学建模课程教学方法和手段的改革、学生创新与实践能力的培养，主要问题体现在以下两方面。一是教学案例如何选取才能引发学生的学习兴趣与热情。针对每个教学模块，如何选取切合实际、与时俱进、趣味性强、能借助前续课程解决的实际问题作为教学案例。在经典案例的基础上，如何适当增加大数据背景下与时下热点问题紧密结合的新颖选题。二是研讨环节怎样设计能达到良好效果，如何启发学生针对问题进行适当的简化假设，选择适当的数学模型，得出合理的结论；怎样让学生成为课堂的主体，充分调动学生主动思维，激发学生的兴趣。

2数字时代数学建模课程教学内容的扩展与更新

2.1大数据背景下案例教学中传统方法的扩展应用。数据导向的数据分析方法是数字时代数学应用无法回避的一个重要趋势[6]，有些数学模型可以扩展应用到大数据领域，如从传染病模型到网络谣言传播模型。在数学建模案例中，微分方程模型可以描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律。思考传染病的传播规律后，将人群划分为感染者（病人）、未感染者（健康人）、移出者（治愈者有免疫力）建立SIR模型，利用Matlab软件求解微分方程，结合图形理解传播过程。在此基础上，可以进一步结合大数据背景和学生感兴趣的社交网络，将微分方程模型的应用进一步扩展到舆情传播领域，对于谣言的传播，仿照传染病模型把人群划分为无知者、传播者、知谣但不传谣者，建立SIR谣言传播模型。当无知者遇到传播者，无知者以一定的概率转化为传播者；当传播者遇到知谣但不传谣者，会以一定的概率变为知谣但不传谣者。另外，可以引导学生结合实际考虑的更全面，比如一部分人由于具有丰厚的知识和理智的头脑，第一时间意识到传播的信息是谣言，直接成为知谣但不传谣者，模型如何进一步修正。2.2开放数据、大数据背景下教学内容的更新。计算机高速发展的时代，如何从大数据中挖掘出有价值的信息是普遍面临的问题。大数据时代来临，社交网络、电商交易、视频网站等产生大量非结构化、高噪音、实时的数据。大数据对数据分析最直接的冲击是数据收集方式的变革，个人消费、网页浏览、地理位置、社交平台交流等各种数据通过数值、文本、图片、音频、视频等形式的数据格式被记录下来。教学过程中关于各种形式数据的采集方法需要加强训练，通过实践使学生了解Python、R、Hadooop和数据库等[7]。聚类分析、主成分分析、模糊逻辑和贝叶斯网络等用于系统体系还原与智能计算的方法可以适当引入[8]。在教学内容设置中不能忽视数据的巨变，增加关联规则、聚类、决策树、神经网络等方面的案例教学，适应社会需求[9]。数学建模课程需要增加介绍处理这些问题的数学和算法思想，注重数据预处理、数据可视化、数据挖掘常用算法的软件实现、结果的理解和解释。另外，建模时若冗余特征过多会导致维数灾难，降低算法运行效率。因此，可增加主成分分析、线性判别分析、小波分析和拉普拉斯特征映射等降维方法的讲解，进一步阐明数学与统计学在实际应用中的重要性。

3基于数学建模课程加强学生实践创新和科研能力的培养

3.1研讨式、实践性教学活动的实施措施。高质量问题驱动的研讨有助于激发学生的思维，提高学习主动性。教师根据每个教学模块设计相应的研讨问题，布置学生课下提前查阅资料，寻求适当的数学方法。课上组织学生参与讨论，引导学生互动交流，对学生的方案进行合理的评价，最终给出解决问题的思路，并在此基础上，进一步提出新问题，引发学生深入思考。在这个过程中，学生的批判性思维、积极思考能力与课堂参与能力会发生较大的改变。学生通过亲自设计和动手，体验解决问题的全过程，从数学建模中去探索、学习和发现数学规律，提高了学习的主动性，培养了创新意识与团队协作精神。例如，商品销售量的预测问题，以牙膏销售量为例，可以建立牙膏销售量与价格、广告投入之间回归模型。但如果要研究消费者是否会购买某品牌的牙膏，因变量为二分类变量，如何处理？这就需要引入logistic回归模型，可以引导学生理解不同模型的适用性，并讨论需要考虑哪些影响因素，演示logistic回归如何通过软件实现，及输出结果怎样解读，直接从问题出发，解决问题，尽量略去原理的讲解，而留作课后文献阅读作业，让学生先对模型和应用有直观的认识，再带着问题去学习理论部分。给出logistic回归在数据挖掘中的应用，并且进一步提出相关的一类方法作为课后泛读材料，如logistic回归、决策树、贝叶斯分类器有什么共同之处和不同之处，有哪些应用案例。3.2以学生为中心，任务驱动的课外自主学习模式。数学软件的实现使得学生能够了解数学知识的实用价值，开拓思维，进而加深对数学理论和方法的理解和掌握。对数学方法的思想、案例和软件实现讲解之后，向学生介绍该模块比较有代表性的研究工作，提供相应模块的数学建模案例研究文章作为学生课后选读资料。在课后任务设置环节，给定选题，让学生组团队寻找数据，如：从网络爬取社交媒体数据、采集网络销售量及价格数据等，对数据进行分析、评价，逐渐掌握数据的挖掘和统计分析，并能通过文字、统计图表或动画等方式直观展现数据与分析结果。激发学生的兴趣和积极性，使得学生能够了解统计方法的实用价值，开拓思维。教师整理归纳任务中遇到的知识点、重点、难点，使学生能在教师归纳总结的引导下，进一步优化任务的解决方案，并从任务分析过程中学习统计理论的相关知识点，加深对所学知识的理解和掌握。实现统计从“以教为主”到“以学为主”的转变，以实际问题为任务，强调统计方法中的应用背景和统计思维，让学生在完成任务的同时学习新软件、掌握所需理论知识，从而培养学生自主探索能力。3.3科研融入教学实践，提高学生创新能力。随着高等教育改革的不断深化，培养创新型人才的本科教育教学体系的构建日益迫切。中共中央、国务院印发《国家创新驱动发展战略纲要》提出到2020年进入创新型国家行列、2030年跻身创新型国家前列、到2050年建成世界科技创新强国“三步走”目标。创新型国家所需人才的教育模式要求从“记忆力教育”模式转换为“创造力教育”模式[10]。创新背景下教学改革的目标具体体现在培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生了解数学方法在实际中的强大与直接应用，从而激发学习的主动性和积极性，提高学习其他课程的兴趣；同时提高学生查阅文献的能力，培养学生的创新与科研能力以及团队协作精神。数学建模过程与论文撰写是引导本科生从事科研活动、培养创新能力的有效途径。比如，安排学生分小组围绕实际确定选题，完成一篇数学建模学术论文[11]。研究过程中可以使学生掌握资料检索和学术论文数据库的使用方法，通过使用查阅到的与待解决实际问题相关的文献，可以了解待解决实际问题的相关背景、研究现状和最新的研究方法，在此基础上进行深入探讨，建立更加优化的数学模型，撰写专业论文。从而实现学生基本科研能力的训练。在数学建模训练的基础上，结合实践性教学环节、大学生创新项目和挑战杯竞赛，学生逐渐组成比较成熟的团队，以独特视角选择新颖的实践性选题，采集数据，运用软件完成分析，得出有意义的研究结论。这些科研内容，在老师的指导下，提炼出主要研究内容，按照期刊论文的写作范式进行修改后投稿。在以往的教学过程中，每个班在毕业时都有两三个团队的在学术期刊或学术会议上，这些科研成果在推免生面试、考研复试、出国学校申请和求职就业时都起到重要的作用，在反映学生的科研、创新、应用和团队协作能力上极具说服力。

4结论

数学建模课程教学改革的探索具有较好的研究实践基础，通过参加数学建模活动，很多学生的自主学习、自主探索和科研创新能力得到了显著提高，在本科毕业论文设计、实习和研究生阶段的学习中表现出了明显的优势，得到用人单位和研究生导师的普遍认可。同时也为数学建模案例式、研讨式教学改革的实施积累了经验。问题驱动的案例式、研讨式教学，按照不同的数学方法将课程教学分成不同的模块，针对每个模块选取案例、组织研讨课。通过案例展示与研讨，学生将学会怎样建立模型解决实际问题。案例教学过程中，教师直接给出实际问题，让学生进行思考，教师进行讲解，通过解决问题的过程给学生介绍建模的过程与意义；让学生感受到数学的广泛用途，启发、引导学生自主学习、思考和探索，推动本科教育、教学质量的提升，培育优秀创新人才。

作者:闵素芹 张贝贝 单位:1.中国传媒大学 2.首都经济贸易大学