数学教学两种思维形式分析

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摘要：在人们的初始印象中，学习数学主要是训练逻辑思维能力。在以往的教学中，特别强调数学的“三性”，即抽象性、严谨性、系统性。这固然是一个重要的方面，但我们也不能忽视生动活泼的形象思维在数学教学中的重要作用。该文分析了这两种思维形式的特点、作用和相互关系，从而对数学的创造性思维有一个更全面的认识。

关键词：数学教育；逻辑思维；形象思维

数学是最讲究逻辑思维的，而形象思维多见于文学艺术领域，但两种思维并没有不可逾越的界线。数学的最终表达形式必须严格按照逻辑规则书写出来，不能有丝毫的含混。从某种意义上说，全部的数学是可以从用少数的逻辑公式推演出来的。因此，人们经常强调数学的抽象性、严谨性和系统性。这种把丰富的数学内容归结为简单的逻辑规则就叫做“收敛思维”。但是，数学的学习、理解、讲授和创作过程又充满着形象思维的特点，不拘一格地进行由此及彼、由表及里、去粗取精、去伪存真的体会和感悟。这种思维是开放的、自由的，因而叫做“发散思维”。因此，成功的教学必须是这二者的有机结合。自从出现了数学的公理化方法之后，数学理论的表述都要遵循严格的逻辑规则，一步一步地进行演绎推理，否则就不能保证结果的正确性。但是，丰富多彩、生动活泼的创造性思维绝不是一些形式化的逻辑规则所能包容的。一个数学定理的诞生往往要经过一个从不合逻辑到合乎逻辑的酝酿过程：观察—直觉—猜想—修正—证明。这里存在着形象思维的要素：联想、类比、暗示、启发、预感和意会。数学的书面形式，就像一幕剧的最终演出，总是那样有条不紊、天衣无缝；而产生这最终形式的创作过程，却有如后台的排练，经历设想与修改的多次反复，思路纵横，不拘一格。这种“前台演出”与“后台创作”的思维方式是不同的：前者以逻辑思维为主，后者更多地表现出形象思维的特色。数学教学则是往返于这两者之间的活动：它把抽象的原则、原理、公式溶解于丰富的直观想象；反过来又把粗糙的感性理解凝练成严谨的理论。这种教学活动的目的是培养学生从想象到理论的创造能力，不只是让学生去记忆和复述书本的推理过程和计算方法。[1]

1数学教学中存在的主要问题

想要培养学生的思维能力，就必须分析当前数学教学中存在的主要问题，只有这样才能从问题出发来解决问题，帮助学生培养良好的思维能力。下文中笔者从教师和学生两个方面出发，分析了当前数学教学中存在的主要问题，希望能够提高数学教学的质量，帮助学生更好地学习数学。

1.1教师教学存在的问题

很多教师进行数学教学时，还是选择以往的教学方式，教师依然是课堂教学的中心，这种情况下，教师的教学不但无法激发学生的学习兴趣，课堂教学的效率也很难提高。随着新课改的不断深化，中学教育也更加重视学生综合能力的提高，但现在很多教师开展数学教学时，依然比较重视知识的传授，对学生解题能力以及综合能力的培养不够重视。

1.2学生学习存在的问题

数学教学要求学生具有基本的抽象思维能力以及逻辑思维能力，而能力培养对于学生而言是比较困难的，想要解决这个问题就要帮助学生转变学习方法。数学课后习题往往比较注重学生运用知识的能力，要求学生掌握数学解题的思路。但是现在很多学生还是选择传统的学习方法，对于数学思路的养成不够重视，这也给学生的数学学习造成极大的影响。学生学习的积极性较差，也是当前的一个重要问题，以往的填鸭式教学很难激发学生学习数学的积极性，教师一味地讲课，学生被动地听课，枯燥无味。这种情况下，教师可以给学生一定的时间，让学生去讲台上解答相关问题甚至是教学，这也能让学生更好地参与数学学习，拉近师生的距离，更好地开展课堂互动。

2数学教学中两种思维能力的培养

如何在数学教学中培养逻辑思维和形象思维能力，是一个需要着力研究的大课题。下面谈一些体会和认识：

2.1教师要起示范的作用

基础课教师在课堂教学中，严谨的语言、清晰的表达、规范的板书对学生的影响极大。如果教师在讲课中的每一步推理都有理有据、一环扣一环；分析问题层次分明、切中要害；所用的术语记号准确简练，对做学问的态度严肃认真；这样日复一日的耳濡目染，便会逐渐使学生养成形成良好的思维习惯，因此，要对学生进行严格的逻辑训练，必须先从教师自身做起。另外，现在学生普遍存在的问题是动手写得少。应该提倡用“写读法”读书，按照规范的格式写笔记、写作业、写总结、写札记、写小论文。[2]

2.2重视原始思想的阐发

课堂教学要着力于分析各种理论的原始思想，以便认识抽象思维的根基。人们常说要重视“引论”的教学，这就是要讲清楚一些重要理论建立之前的背景、动机和思想的萌发。而在理论的阐述过程中往往会出现思维的“断层”或“倒置”，如猛然给出一个定义或一个构造，然后推出所需的结果来，从书面表达上说，这是为了简练；但在学生学会这种跳跃式思维之前，我们必须做一些铺垫，或者把思考过程颠倒过来。[3]这就是说，我们经常跑到“后台”去，看看那些跌宕起伏的情节是怎么排演出来的，这种在“后台”里讲的台词也许不严谨、不完整、不成熟，但有启发作用。

2.3寻找恰当的直观解释和形象启示

对具有抽象性、严谨性和系统性的数学理论的理解，应该通过直观的例子、生动的联想和具有启发的类比，使之过渡到形象思维的境界，达到一种体味和感受的效果。[4]在这一点上，常常借助于几何直观与物理模型的描述，有时还借鉴各种自然和社会的现象，设法给学生一个易于接受的整体印象。有时对一个艰涩的定义进行连篇累牍的注释，不如一个恰当的比喻更能切中要害；有时一个定理的周密证明不如一个具体的例子更能揭示其实质。在这个意义上，有人说：“例子比定理更重要”。例如，在微积分中，“极限”“导数”“积分”等，都是一些抽象的概念，我们在给出它们的正式定义之前，一定是从它们的几何意义和物理意义的介绍入手，通过实际的例子引出导数的极限定义。当然，形象的理解最终仍复归于严谨的理论，它只是作为更牢固的掌握理论的过程。按照惯用的三段模式，我们的教学过程应该是“抽象—直观—抽象”或“逻辑—形象—逻辑。从书本的抽象表述出发，经过讲解达到形象的理解；再从形象的理解上升为更深层次的逻辑思维成果。这后一转化往往体现在解决问题（做习题、做研究）的进程中———从理解、想象、设想、猜测出发，经过清洗、提炼、升华，到达逻辑的实现，这就是数学的创造性过程。所谓培养分析问题和解决问题的能力，就是要培养这种转化的能力。

2.4将数学知识和学生生活结合在一起

数学知识本身便来源于生活，生活化教学能够将抽象复杂的数学问题生活化，让学生对数学知识有更加直观和形象的理解，这对学生逻辑思维能力和形象思维能力的养成非常重要。[5]这便要求教师在教学时必须重视生活化教学方式的运用，将生活化方式合理地运用到数学知识教学中，给学生营造一个良好的生活教学情境，帮助学生更好地理解相关知识点，增强数学教学的有效性。

2.5两种思维方式的有机结合

逻辑思维方式和形象思维方式在人们的思想中是相辅相成的，二者缺一不可。忽视数学的逻辑表现形式，稀里糊涂、漏洞百出，这不叫数学。而只强调数学的抽象性和严谨性，轻视其比比划划、拼拼凑凑、凭直觉印象进行综合推理的酝酿构思过程，这也是片面的。逻辑的方法与非逻辑的方法应该有机结合，从它们之间的相互转化中不断提高数学能力。[6]抽象的理论经过消化理解之后，将会变成更高层次的直观；而这又将成为消化理解更深层次理论的依据。逻辑思维能力的提高，将促进直觉判断和机敏思维的发展；而这又将为创造更深刻的逻辑思维成果铺平道路。一个数学工作者的成长，是与这两种能力的交互发展分不开的。在文学艺术领域，有些人认为逻辑思维会使文学艺术“索然败兴”，而在数学中的一些流派也同样排斥形象思维。实际上，逻辑思维使人思想更严密、更有条理；形象思维使人思想更开阔、更丰富。只有把两种思维方式有机结合，才能取长补短、相互促进，达到更高的境界。

参考文献

[1]波利亚.数学与猜想：数学中的归纳和类比(第一卷)[M].北京:科学出版社,2020.

[2]徐利治.数学方法论[M].辽宁:大连理工大学出版社,2018.

[3]波利亚.怎样解题:数学思维的新方法[M].上海:上海科技教育出版社,2011.

[4]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].3版.北京:北京大学出版社,2009.

[5]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].上海:华东师范大学出版社,2019.

[6]张世斌.数学建模的思想和方法[M].上海:上海交通大学出版社,2015.

作者：林浩 单位：河南工业大学理学院