化归思想在高中数学教学的应用

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【摘要】在数学解题过程中，巧妙地运用化归思想，能够将深奥、复杂的问题变得简单化、明朗化，进而方便学生逐层求解，大大提高了解题效率和准确率。基于此，介绍了化归思想在中学数学教学中的应用，以期为一线教师的教学工作提供理论指导。

【关键词】化归思想;高中数学;教学对策

教师在授课过程中，为了让学生顺利地掌握化归思想，首先要重视基础知识教学，包括数学概念、定理、公式，以及知识的推导、证明过程，只有扎实地掌握基础知识，才能为化归思想的运用奠定良好基础。同时，教师也要注重数学模型的构建和讲解，尤其是对于一些复杂、深奥的数学理论，可通过简单的数学语言将其数学逻辑呈现出来，使学生准确抓住数学理论的内涵和实质，切实将其内化为自己的知识。另外，在构建数学模型的基础上，教师要有意识地引导学生用数学模型来解决不同类型的数学问题，使学生形成独立思考的能力和习惯，这对于学生全面、系统地理解化归思想的数学实质也有很大的帮助。

一、化未知为已知

一般来说，学生对于比较熟悉的问题大都掌握了一定的解题套路，能够快速地得出问题的答案。但面对比较新颖、陌生的题目时往往无从入手，不得其门而入。事实上，很多新题目都是一些老题目经过变形、包装之后的产物，只要学会运用化归思想，就能将其返本还源，然后按照已知问题的解题策略求解即可。美国数学家和教育家波利亚在其所著的《怎样解题》一书中列出了一个解题表，在解决某问题时，先让学生回想与该问题相似的题型的解答策略，这样就能调动学生已有的经验和方法来解答问题，进而发现解题的突破点，这其实就是运用了化未知为已知的解题方法。例1：（2013全国新课标卷I，理科第16题）若函数f（x）＝（1－x2）（x2＋ax＋b）的图像关于直线x＝－2对称，则f（x）的最大值为。解析：该题涉及四次函数，且乍一看比较陌生，需要将函数中的高次整式进行变形处理，转化为我们熟悉的形式。首先，题干给出了函数图像的对称轴，可先根据这一条件求出a、b的值：因函数f（x）的图像关于直线x＝－2对称，故有f（－4）＝f（0），f（－1）＝f（－3），即：b＝－15（16－4a＋b）（1）0＝－8（9－3a＋b）（2）联立（1）和（2），可得a＝8，b＝15，则：f（x）＝（1－x2）（x2＋8x＋15）＝（1－x）（1＋x）（x＋3）（x＋5）＝－（x－1）（x＋5）（x＋1）（x＋3）＝－（x2＋4x－5）（x2＋4x＋3）＝－［（x2＋4x）－2（x2＋4x）－15］令t＝x2＋4x，则f（x）＝－t2＋2t＋15，t∈［－4，＋∞］故f（x）在对称轴t＝1处有最小值16。

二、化复杂为简单

复杂问题简单化是中学数学中经常使用的一种解题方法，对于乍看起来十分复杂的数学问题，只要细细观察和分析，通常都可以分解转化为几个简单的问题，然后再解答起来就简单得多。这种解题策略在中学数学中的应用范围很广，手段也多种多样，如各类公式的恒等变形、不同图形的初等变换、正向思维的逆向转化等。尤其是逆向思维的运用，不但能够提高学生对知识的理解程度，还能锻炼学生的思维灵活性，对于学生深刻掌握化归思想有很大的帮助。例2：（2014浙江卷，文科第16题）已知实数a，b，c，满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值为。解析：这是一道最值求解题，但题目包含的字母参数较多，看起来比较复杂，学生如果以通常的最值求解思路进行解答，很容易迷失方向。实际上，只要把待求最大值的a视为常量，将b和c视为变量，则题目条件就可以转化为其他的形式，如解析几何、方程、函数、三角函数、不等式、平面向量、数列模型等，再解答起来就简单得多，下面仅列举其中一种思路，即将原条件转化为解析几何模型，然后用化圆法求解。令b＝x，c＝y，则：x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2，若要使直线x＋y＝－a和圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的最大距离不能大于槡1－a2，即│a│槡2≤槡1－a2，可得：a2≤23，故a的最大值是槡63。

三、结语

化归思想是中学数学教学的重要内容，其不仅能够提高学生的解题能力，而且能够促进学生的思维发展。在教学过程中，教师应以实际教学内容为基础，利用化未知为已知、化复杂为简单的方法，巧妙地将化归思想融入到教学内容体系中，使学生逐渐领略到这门思想的重要作用，进而促进其数学素养的不断提升。

参考文献：

［1］任卫兵．当“第一思路”阻滞之后———例谈转化与化归思想在解题教学中的运用［J］．中学数学教学参考，2015，（11）．

［2］余祚鉴．展示中学数学“化归思想”神奇魅力［J］．中学理科园地，2015，（02）．

作者:锋 单位:湖北省蕲春县第三高级中学