数学直觉思维养成及特征

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现代数学教育不仅是传授数学知识,更重要的是培养学生的创新意识。因此,目前在数学思维活动中,人们非常注重非逻辑思维(形象思维、直觉思维、数学美感等)的培养,特别是直觉思维能力的培养,因为它具有鲜明的灵活性与创造性,常常成为提出数学新思想、创立新理论的重要前提,是数学创造的另一个重要因素。对于数学直觉的探讨和培养,有助于充分发挥学生的主体作用,提高其创造力、观察力、直觉力、想象力。

1数学直觉思维的概念

数学直觉思维就是人脑对数学及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象,是直觉想象和直觉判断的统一。这种想象和判断没有严格的逻辑依据,也没有经过明显的中间推理过程,思维者对其过程也无清晰的意识。

2直觉思维的主要特点

2.1简约性

直觉思维是对思维对象通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断,它省去了推理的中间环节,采取“跳跃式”形式,往往出现在长久沉思后的突然“醒悟”,具有下意识性和偶然性,没有明显的根据和思索的步骤,而是直接把握事物的整体,洞察问题实质,跳跃式地迅速指出结论,而思维怎样出现的过程陈述不出来。它是一瞬间的思维火花,是思维者的灵感和顿悟,是思维过程的高度简化,但却清晰的触及到事物的“本质”。

2.2创造性

现代社会需要创造性的人才,但我国的教材由于长期以来借鉴国外的经验,过多的注重培养逻辑思维,所以培养的人才大多数习惯于按部就班、墨守成规,缺乏创造能力和开拓精神。直觉思维是基于研究对象整体上的把握,不专意于细节的推敲,是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性,它的想象才是丰富的、发散的,使人的认知结构向外无限扩展,因而具有反常规律的独创性。伊思•斯图加特说:“直觉是真正的数学家赖以生存的东西,许多重大的发现都是基于直觉”。欧几里得几何学的5个公式都是基于直觉,从而建立起欧几里得几何学这栋辉煌的大厦;哈密顿在散步的路上激发了构造四元素的火花;阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法;凯库勒发现苯分子环状结构更是一个直觉思维的成功典范。

2.3随机性

随机性,也称偶然性,即在数学活动中,数学直觉思维受什么启迪而一触迸发,且数学念头来去又那么“短暂”,令人难以寻觅,无论是产生还是其结果都带有很大的偶然性,数学直觉的产生从开始到结束,是在解题者对所给问题有意识地进行思索,发散式地提供与该问题相近的信息,调动脑中的对此问题有用的信息而打开思维的大门,获得数学直觉。所以启发数学直觉的信息,从时间、地点、条件、机缘来看,都表现出某种随机性。

3数学直觉思维在解决问题中的作用

数学直觉思维在问题解决中有着重要的作用,许多数学问题都是先从数与形的直觉感知中得到某种猜想,然后再进行逻辑证明的。法国数字家庞加勒曾指出,“逻辑是证明的工具,直觉是发明的工具。”数学直觉思维的运用有助于提出数学新概念、新理论和新的数学思想,特别是当逻辑思维方法无能为力时,常常靠直觉来洞察本质直达核心。多年的数学教学实践表明,直觉思维起着不可忽视的作用,主要表现在以下几方面:

3.1有利于加强对概念的理解和洞察力在学习异面直线时,学生易把分别在两个不同平面内的直线,错误地认为是异面直线,这就是由于缺乏对概念的本质属性的直觉洞察力与判断力所致,若加强对学生的直觉思维训练,此类错误就能避免。

3.2有利于引导学生的判断和想象能力一个成功的数学证明是许多基本运算或“演绎推理元素”的成功组合,逻辑可以帮助到达目的地,但是逻辑却不能告诉我们,为什么这些路径的选取与这样的组合可以构成一条通道。这就需要引导学生必要的直觉判断和想象力,将积存在大脑里的思维元素充分调动、组合、变换,迅速地作出决策。

3.3有利于快速搜索数学解题路径直觉的形成离不开思维的迅速概括与高度浓缩,因此解题中直觉思维的形成常常是多种逻辑思维方法的综合转换、反复应用、高度压缩产生质变的结果。例如:设单位正方形内有任意的五个点,试证明其中至少存在两个点,它们之间的距离不大于(1/2)0.5。解本题的关键是用抽屉原则,把此问题与抽屉联系起来,这个过程要借助直觉来判断。

3.4有助于培养学生的自信力学生对数学产生兴趣的原因有2种:一是教师的人格魅力,二是来自数学本身的魅力。成功可以培养一个人的自信,直觉发现伴随着很强的“自信心”。相比其它的物资奖励和情感激励,这种自信更稳定、更持久。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉获得,那么成功带给他的震撼是巨大的,内心将会产生一种强大的学习钻研动力,从而更加相信自己的能力。高斯在小学时就能解决问题“1+2+……+99+100=?”,这是基于他对数学的敏感性的超常把握,这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。而现在的中学生极少具有直觉意识,对有限的直觉也半信半疑,不能从整体上驾驭问题,也就无法形成自信。

4数学直觉思维的培养

4.1扎实的基础是产生直觉的源泉直觉不是靠“机遇”,直觉的获得虽然具有偶然性,但决不是无缘无故的凭空臆想,而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底,是不会迸发出思维的火花。阿提雅说:“一旦你真正感到弄懂一样东西,而且你通过大量例子以及通过与其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验,对此你就会产生一种正在发展的过程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉”。

4.2加强哲学及审美观念是培养的关键直觉的产生基于对研究对象整体的把握,而哲学观点有利于很好的把握事物的本质。包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等。例如(a+b)2=a2+2ab+b2,即使没有学过完全平方公式,也可以运用对称的观点判断结论的真伪。美感和美的意识是数学直觉的本质,提高审美能力有利于培养数学事物间所有存在着的和谐关系及秩序的直觉意识,审美能力越强,则数学直觉能力也越强。狄拉克1931年从数学对称的角度考虑,大胆的提出了反物质的假说,他认为真空中的反电子就是正电子,他还对麦克斯韦方程组提出质疑,他曾经说,如果一个物理方程在数学上看上去不美,那么这个方程的正确性是可疑的。

4.3对学生进行预测、猜测的训练是培养的重要形式教师应在数学的概念、定理的结论推断中,尝试着让学生进行非逻辑的直接预测、猜测,从而渐渐提高学生的直觉思维能力。教师应把直觉思维在课堂教学中明确提出,制定相应的活动策略,分析问题的特征,渗透直觉观念,发展思维能力。重视直觉思维的解题研究,选择适当的题目类型,诸如换元、数形结合、归纳猜想、反证法等,有利于培养、考察学生的直觉思维。再如选择题,由于只要求从四个选择项中挑选出来,省略解题过程,容许合理的猜想,有利于直觉思维的发展。

4.4设置直觉思维的意境和动机诱导对于学生的大胆设想给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,以免挫伤学生直觉思维的积极性和学生直觉思维的悟性。教师应及时因势利导,解除学生心中的疑惑,使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。“跟着感觉走”是一句时尚用语,其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽,只不过没有把它上升为一种思维观念。教师应该把直觉思维冠冕堂皇的在课堂教学中明确的提出,制定相应的活动策略,从整体上分析问题的特征;重视数学思维方法的教学。