深究阴影部分面积的求法

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近年中考中频频出现求阴影部分面积的考题.这类试题主要考查同学们的观察分析能力、图形变换能力和综合运用知识的能力,不少同学对此类问题往往展不开思路,因找不准图形之间的关系而无法解答.下面介绍几种常用的方法,供大家参考.

一、和差法

例1如图1所示,在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,∠C=90°,分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆,那么阴影部分的面积为(平方单位).

解析:由题意得:在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,S△ABC=12AC×BC=12×6×8=24,故S阴影=S半圆AC+S半圆BC-S半圆AB+S△ABC=π(AC2)2+π(BC2)2-π(AB2)+24=24.

二、类比法

例2如图2,已知A、B、C、D、E是反比例函数y=16x(x>0)图象上5个整数点(横、纵坐标均为整数),分别从这些点向横轴或纵轴作垂线段,由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成如图所示的5个橄榄形(阴影部分),则这5个橄榄形的面积总和是(用含π的代数式表示).

解析:由题意,首先根据能够整除16的正整数,求出图象上的五个整数点分别为(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(16,1),其次利用扇形面积公式求弓形面积,即每一个橄榄形面积的一半.当点P位于点(4,4)时,S橄榄形=2×(90π×42360-S等腰三角形)=8π-16,其余四个计算方法同上.它们的面积从左到右分别为12π-1,2π-4,12π-1.所以橄榄形面积总和为13π-26.

三、割补法

例3如图3,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,若以AB为直径的圆交BC于点D,则图中阴影部分面积是.

解析:连接AD,由题意得AD⊥BC,又在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,所以AD=BD=CD=2,从而有S弓形BD=S弓形AD,即把弓形BD割下后恰好补到弓形AD的位置,从而阴影部分的面积补成△ACD的面积.

故有S阴影=S△ACD=12×AD×CD=12×2×2=1.

四、代数法

例4如图4,长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形,求其阴影部分面积.

解析:此题阴影部分面积直接求解难度较大.若根据图形的特征,能求出小长方形的面积,则阴影部分的面积易求.

设长方形的长为x,宽为y.根据题意得解得

7+3y=x+2y,x+4y=22.解得x=10,y=3.

S阴影=(7+9)×22-9×10×3=82.

五、平移变换法

例5如图5,⊙P内含于⊙O,⊙O的弦AB切⊙P于点C,且AB∥OP.若阴影部分的面积为,则弦AB的长为().

A.3B.4C.6D.9

解析:仔细观察图形的特征,就会发现若把⊙P向右平移使点P与点O重合,两圆成为同心圆,如图6,则阴影部分面积没有变.连接OA、OC,则有OC⊥AB,由垂径定理得AC=BC.

∴S阴影=S大圆-S小圆=π(OA2-OC2)=πAC2=9π.

∴AC=3,AB=6.

答案为C.