深究高等数学教育需要过程化

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一、问题的提出

高等数学是理工科院校的一门重要的基础课程,它不但为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用的数学方法。而且在培养学生的创新思维能力方面也起着重要的作用。高等数学教学质量的好坏,直接影响着学生对后继课程的学习,也直接影响着学生的学习质量。

长期以来，许多工科院校的高等数学教学已形成了一种默认的方式：在遇到需要讲解公式、定理时，教师自认为对学生讲公式、定理的证明有浪费时间的嫌疑，索性简单地介绍一下，要求学生记住公式、定理，然后把课堂的大部分时间都用在讲解例题，带领学生做关于此公式、定理的各种各样的题型，这种教学即不讲定理、公式是如何发现和提出的，也不说明它们是如何证明的，更不讲定理、公式是如何发展和应用的，各个定理、公式之间有何联系等等，学生只要知道公式、定理的结论，能熟练的运用公式、定理就意味着他们已掌握教学内容，从而教学任务也就完成了，至于其推理过程讲起来费时费力，再加上学时的限制，大家都只好走马观花了。这种教学的效果如何呢？请听一听过来学生的心声吧！一个已考上研究生的学生这样评价自己的高数学习：让我们背公式、记定理，做计算题，我们毫不含呼，但如果让我们做证明题，一点办法都没有。还有一个同学对我讲，老师，我们为什么要学习泰勒公式，泰勒公式对今后的工作有用吗？泰勒公式的证明是如何想到的？其实有类似想法的学生也许还有许多。那么造成这些后果的原因到底出在哪里？从实质上看，问题主要在于我们的教学主要是呈现前人发明的结果和状态，完全或部分丢掉了数学发明的过程，不妨称它为“结果教学”，如果教学仅仅为了系统传授知识，仅仅为了提高学生的运算技能，这种教学就足够了，但在大力倡导提高民族创新精神的今天，结果教学已完全落后于时代，它使学生“只见树木，不见森林”，只知其然，而不知所以然，只学到了静态的、刻板的知识，而没有掌握数学思想方法，其实质是降低了对学生数学能力的要求，也是无法实现高等数学的教育目标的。而方法才是具有活力的要素，如何解决上述两个同学的困惑和疑问，使学生掌握鲜活的知识，如何提高和培养学生的创造能力？现代数学教学论认为数学教学是思维活动的教学，只有按照思维活动过程的规律进行教学，才能优化学生的思维品质，提高学习的质量。而伟大的数学家莱布尼兹也曾说过：“没有什么比看到发明的源泉（过程）更重要了，比发明本身更重要”②。因此笔者认为教学应按照数学思维活动的规律,既教给学生数学发明创造的成果，又向学生展示知识的形成、发展、前进的过程，只有这样才能有效的解决我们当前高数教学中存在的问题的。这种教学不妨称为“过程教学”。

二、过程教学的理论依据

(一)现代建构主义教育观认为学生的学习是在自己原有认知结构的基础上的一个主动建构过程，能够使学生的思维始终处于积极状态的教学才是有效的教学，而过程教学正是在教学中通过展现数学家的思维过程（创造过程）、教师自己的思维过程，使学生在重新经历数学知识的发现、形成、改造、发展中和数学家同思考、共发现，师生之间的交流也实现了心灵与心灵零距离的有效碰撞，从而使学生能真正体会到数学家是如何选择问题的突破口？如何合理选择发明创造的方法，如何调整研究问题的方向？面对错误是如何修正的等等，这样的教学不但有利于发挥学生的主动性，而且更有利于培养学生的创造性，使学生学到活生生的创造整理方法，同时学生的心灵也可以受到潜移默化的影响，而这种影响则是永久的，终生的留在了学生的记忆里，是学生生命的需要。

(二)从心理学的角度来讲，过程教学中全体学生的不同思维展现，使不同的思考方法异彩纷呈，更易在同学之间产生影响，好的方法更易被采纳，失败的教训更易接受，从而更有利于解决他们将来遇到的新问题，因此在教学中暴露思维活动的过程应是高数教学贯穿的生命主线。

三、过程教学的实施

在教学中如何开展过程教学呢？拟从下面几个方面进行：

(一)概念、定理、公式的教学中，引导学生经历概念、定理、公式的发现、形成及证明思路的形成过程，让学生掌握不同定理、公式之间的联系和区别。

数学概念、定理的教学是数学教学中一个十分重要的环节，它是深刻理解、掌握教学内容，成功解决问题的基础。教材中一般只给出了概念的定义、定理的内容，省略了概念、定理提出、证明方法的形成过程，从而给学生的学习造成了一定的困难，如何让学生深刻理解概念、定理的本质，体验概念、定理提出的必要性和可行性呢？笔者认为教师应向学生提供数学概念、定理形成的有效情景，引导学生利用自己已有的知识和经验，通过主动探索和积极思考，亲身经历概念是如何发现、形成的，最终由学生自己发现相应的概念与定理，这样，学生才能真正领悟概念的本质，弄清概念的外延，从而避免在后继的学习中出现概念性错误。比如在讲解微积分学基本定理，有两条方案可供选择：

其一是直接给出变上限的定积分的概念，接着推出微积分学基本定理，

评价：这种方法是大多数教师采用的方法，它能按时完成教学任务，也能使学生会用此公式进行定积分的运算，但由于缺乏对学习此公式的必要性和可行性的认同，因而学习没有兴趣，另外，这种教学也使学生缺少了一次数学思想方法和创造发明方法洗礼的好机会。其二是教师可在第一节定积分的概念和性质的基础上创设如下两个问题情景：

情景1：计算及。

评价：在计算时，同学们能够用定积分的定义计算出来，但在计算时，却无论如何无法进行，此时他们深刻体会到利用定义计算定积分是多么复杂的，寻求计算定积分的简单方法此刻已成为他们内心的需求。也许此时有的同学认为可利用定积分的中值定理来解决，在刚讲过中值定理的情况下，学生有这种思考是自然的，此时教师可留出时间让学生来尝试，通过尝试他们会发现在中由于不知道ξ的值，而无法进行下去。（注：学生对问题尝试解决的受阻又进一步提高解决问题的积极性。）

下面教师就可出示第二个问题，

情景2：有一物体在x轴上运动，设时刻t时物体所在的位置为s(t)，速度为v(t)(v(t)≥0），请讨论物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程。

此时教师可引导学生利用导数、定积分的物理意义及物理学中路程的含义得出物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程，而，于是就有式子成立，由此引导大家得到猜想：速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于其原函数s(t)在该区间上的增量，这样的结论是否具有普遍性呢？这样引出变上限定积分就有了合理性。

评价：采用上述方式教学，情景1的设计首先从思想上解决了学习微积分学基本定理的必要性，让学生体会到问题是如何提出的，更引发了学生的学习兴趣，“变要我学，为我要学”，接下来通过不同学生的探索过程，又让学生体验到问题是如何解决；情景2的设置使学生体验到当问题解决不下去时，如何寻找出路，达到柳暗花明的境界，那就是利用特殊化的思想把研究的问题先特殊化，变成我们熟悉的、能够解决的问题，从特殊问题的解决中找出规律，寻求一般问题解决的思路，这种解决问题、思考问题的方法正是进行科学研究经常采用的，对学生进行科学研究方法的训练，也正是教学要达到的一个较高境界。

（二）在解决问题时向学生展现问题的提出、思路的形成、发展，调控以及修正过程。

“问题是数学的心脏”，如何通过问题解决的教学优化学生的思维品质，使他们学会如何提出、发现和解决问题，应使每一个教师认真思考的问题，我们认为教师应采用适当的方法来暴露、揭示教师和数学家真实的解决问题的思维过程，如，当教师遇到问题时是如何寻找突破口？在问题的解决过程中如何调控自己的思维？如何发现和提出新的问题？等等。我们知道证明“∈(a,b)，使f(ξ)=0或f′(ξ)=0是微分中值定理应用中的两类重要问题，常常利用Rolle定理来解决，对于第一类问题往往通过找出f(x)的原函数F(x)，对F(x)在[a,b]利用Rolle定理证明F′(x)在(a,b)内存在零点即可，对于第二类问题也可类似解决，可见两个问题都转化为求f(x)的原函数F(x)。而学生面对此类问题往往却束手无策，不知如何下手，历来是教学的重点更是难点，如何使学生通过例题的学习掌握规律、找出通法，掌握解决问题的实质和关键应是提高解题教学质量的有效途径。

例1：设证明在(0,1)内至少有一个x满足方程

师：讨论方程f(x)=0在(a,b)内的根的存在性问题，一般有两种途径：（1）利用连续函数的零点定理，（2）寻找f(x)的一个原函数F(x)，使F′(x)=f(x)，且F(a)=F(b)利用Rolle定理就可找到原方程的根。下面利用第二种途径来解决。如何利用罗尔定理了解决这个问题呢？（注：在问题思路的探讨过程中，教师一定要留出时间和空间，让学生利用所学的知识通过自己的思考，探讨思路是怎样发现的。）

生1：令，而f(x)的哪一个原函数可满足F′(x)=f(x)且F(0)=F(1)？

经过几分钟的观察……,生2：取，则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)可导，且F(0)=F(1)=0故有Rolle定理知，至少存在一个x∈(0,1)，使得F′(x)=0，

评价：解题教学重在引导学生找到解决问题的思路、方法，通过上述问题的学习让学生明白寻找原函数是解决此类问题的关键。

（三）在结论的完成阶段向学生展现结论的延伸、联系及新问题的发现过程。

一个问题的结束是否意味着教学任务的完成呢？在大多数情况下，教师迫于教学时数的限制，在解决完一个问题后就开始了另一个问题的讲解，这样的教学看似学生学习了许多东西而实质上这种教学充其量只完成了知识目标的教学，对于学生能力的养成，特别是数学意识的养成关注很少，更不要说学生创新能力的培养了。我们知道一个问题的解决往往意味着新的问题的提出和发现，因此我们在一个问题讲解完之后，不要急于提出另外一个问题，应引导学生对原有问题的反思、消化，从旧的结论中提出新的见解，比如可启发学生思考如下问题：这个问题的解法和前面类似问题的解法有什么联系和区别，我们如果把原有问题的条件加强或减弱，结论将如何变化，在此题的条件下还能得到哪些结论，各个结论之间是如何联系的等等，这种通过学生自己的思考来寻求结论的延伸，新问题的发现，以及新旧问题之间的联系的教学，既能培养学生发现问题，提出问题的能力，更能增加学生的成功心理体验，提高他们的学习兴趣，从而为他们的终身学下坚实的基础。

四、“过程教学”与“结果教学”的协调统一

(一)既展现成功的思维过程，也暴露失败的思考过程。

在我们的教学过程中，一般整理向学生展示的都是解决问题的正确的思维过程，然而“数学的发展并非是无可怀疑的真理在教学中的简单积累，而是一个充满了猜想与反驳的复杂过程”，在教学中适时的暴露教师或学生失败的思考过程，也许更能启迪学生的思维，使学生在自我反省中优化思维品质。在教学中暴露教师是如何从失败走向成功的全过程，学生学到的是真正的研究问题的方法，同时还学到了数学家百折不挠的品质和精神。每堂课一开始要花点时间纠正作业中典型错误,每次布置1-2道富有思考些的题目,让同学回去思考.下堂课再讨论，套公式的题目,课堂上不讲。因此暴露思维过程即要展示成功的过程，更要适当体现一些错误思维的暴露、调控及纠正过程。

例2：设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，

分析：结论可转化为证明：，使(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。

生1：在(a,b)上运用Rolle中值定理来解决呢？

生2：由于不知道f(x)在x=a,b的值，不能直接运用。

生3：我们可以构造一个函数F(x)，使F(x)在x=ξ的导数正好是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0，

师：哪一个函数在x=ξ的导数是(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)]=0。

生3：取F(x)=(b-x)[f(x)-f(a)]，则F(a)=F(b)=0，而由已知条件可知F(x)在[a,b]上连续、在(a,b)可导，所以由罗尔定理知：∈(a,b)F′(ξ)=(b-ξ)f′(ξ)-[f(ξ)-f(a)=0，既∈(a,b)，使。

在上述问题的解决过程中，通过生1的思维受阻，启迪其他学生的思维，为正确思路的形成奠定了基础。

(二)选择恰当的教学内容。

并不是所有的教学内容都适合运用过程教学，我们知道教材中有些内容，其发现过程是极其艰难和漫长的，比如在讲解数列极限概念时，要求学生在较短的时间内，去想象和发现，是不现实的，而有些内容发现则来自于数学家突然间的灵感，这些内容发现的思维过程连科学家自身都不能很好的说清，何况我们的学生呢，因此在进行过程教学时，教师要认真钻研教材，选择恰当的内容通过过程教学使学生掌握研究问题的方法，近而培养学生发现问题、解决问题的能力。

(三)展现合理有效的问题情景。

我们知道并不是所有问题都能引发学生的积极思考，比如，“这样做对不对？”“是不是？”，“你能把定理内容叙述一下吗？”等问题只能引发学生低水平的思考，并不能真正激发学生潜在的创造性，从而使学生以饱满的热情投入到教学中来，因此在设置问题情景时，一定要从学生原有的认知结构出发，提出一些使学生通过积极思考和探索才能解决的问题来。