不定方程3+2y3=3解析

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摘要：本文用初等方法，对不定方程+2=3的整数解进行探究，得到了方程++=3的若干整数解。

关键词：不定方程；整数解；整除；初等方法

一、引言

文[1]对许多不定方程作过探讨，其中不定方程

++=3（1）

的整数解问题是遗留问题之一。

显然，若不定方程

+2=3（2）

有整数解，则（1）一定有整数解。

因此我们先对不定方程（2）的整数解进行探究，然后导出不定方程（1）的若干整数解。

二、关于不定方程+2=3的整数解

将方程（2）变形为

-1=-2(-1)（3）

即

(-1)[(-1)2+3(-1)+3]=-2(-1)[(-1)2+3(-1)+3]

则

(+3+3)=-2(+3+3)

易知，=0当且仅当=0。

此时方程（2）的一组整数解为()=(1,1)。

下面我们考虑≠0的情形。可设=+3+3=-2(+3+3)

这里为非负有理数。于是有(23+1)+3(22+1)+6+3=0（5）

考虑到方程的判别式

€HU=9(22+1)2-4(23+1)(6+3)

=-3(44+83-122+8+1)≥0

得44+83-122+8+1≤0（6）

记=44+83-122+8+1，有=163+242-24+8=2(83+1)+6(2-1)2

当≥时，>0，

故在[,+∞)上递增。

但=1>0，因此，若（6）成立，必须<0。

又由方程（3）知，当>1,>1及当≤0,≤0时，方程均无整数解。

(一)设>1且≤0，当=-2,3,4…20时，方程（2）均无整数解，故>20。

由（4）中=，即=-+1，得=-1>0，这说明关于递增。当≤-1时，≤|=-+2<-0.9。若方程（2）有整数解，则=3-2>3-2(-0.9)3，即0.458+3<0。这与为正整数矛盾。

（二）设≤0且>1，由（4）中=，即=-+1，得=-1<0，这说明关于递减。当≤-1时，≥|=-+2<-。若方程（2）有整数解，则=3-2>3-2(-)3，即+3>0。这与为负整数矛盾。

综上，若方程（2）有整数解，则有理数必须满足-1<<0。

如取=-，代入（5）解得=-6。这时方程（2）的又一组整数解为()=(-5,4)。

因此，由不定方程（2）的整数解()=(1,1)，(-5,4)可导出不定方程（1）的四组整数解为(,)=(1,1,1)，

(4,4,-5),(4,-5,4),(-5,4,4)