略论求极限的教学方法

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摘要通过民办本科院校高等数学求极限的教学，培养学生的学习信心，学习兴趣，学习能力，激发学生自主学习的愿望，培养学生透过现象看本质的意识。

民办本科院校是我国较为年轻的一支教育教学力量，由于受到诸多方面的限制和影响，生源大多是基础相对薄弱，学习愿望相对不高，学习动力不足的学生群体。如何教好这类学生，经验丰富的重点大学教授（兼职或退休后受聘于民办院校）也一筹莫展，刚毕业的硕士、博士生老师更是哀其不争，怒其无用。如何才能使这群家庭条件相对好，生活相对丰裕的学生用心学习，为学习专业课或开发学习能力奠定良好的基础，带着这样的认识笔者开始尝试下面的教学方法：

1利用学生中学已经熟练掌握的初等数学公式求极限，培养学生的自信心

（1）计算

解：∵2+4+6+…+2n==(n+1)n（等差数列前项和公式）

∴==1

（2）计算

解：分析本题分子，分母都符合等式数列前n项和的公式。

1+（）2+…+（）n=

1++（）2+…+（）n=

这两个题目让学生尝试到中学基础知识在高等数学求极限中的重要性，同时学习难度不大，很容易激发学生的求知欲望和自信心，有利于培养学生的求知欲，找到学习的成就感，找到学习的乐趣，点燃学习激情。

2例题讲解后布置的思考题：

①设f(x)=31-x，求{f2(1)+f2(2)+…+f2(n)}

②计算{}

留给学生5分钟左右的思考时间，通过课间巡查，观察有思路的学生，让有思路的学生大胆发言或上堂演算，鼓励其表现，与学生建立良好互动的平台，教学信任度的建立，有利于教学工作的开展，教学效果趋于良好。

思考题①的解答即：

∵f(x)=31-x

∴f2(1)=(31-1)2=1，f2(2)=(31-2)2=（）2，f2(3)=(31-3)2=()2

…………（类推），f2(n)=(31-n)2=()2

∴{f2(1)+f2(2)+…+f2(n)}

={1+()2+()2+…+()2}==

2利用两个重要极限及变量代换求极限，培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力

（3）计算=

解：分析当x→0时,分子n-1,分母x都是以0为极限

可设=u，则1+x=un

即x=un-1，∴当x→0时，u→1

∴==

===1

（4）计算()x+1

解法一：令x+1=u，当x→∞时，u→∞

∴原式=()u=(1+)u=e

解法二：原式=()x·()1=·1==e。教育学生深刻理解(1+)x=e公式及变量替换的方法可以培养学生的新思维。

3利用极限存在的准则求极限

（5）求(4n+3n+2n)

解：∵4n＜4n+3n+2n＜3·4n

∴4＜(4n+3n+2n)＜·4（夹逼准则的应用）

而=1∴(4n+3n+2n)=4

教育学生通过有效的放缩法，利用极限存在的准则有利于极限的求解，培养学生在今后的学习，工作中能够利用有效放缩的变通思想解决实际问题。

4利用函数的连续性求极限，培养学生解决复杂问题及因势利导的能力

（6）设yn=b，求(1+)n

解：因为指数函数是连续函数

∴（函数运算和极限运算可交替进行）

5利用幂指函数的公式求极限

（7）计算(1+sinx)

解：(1+sinx)=eln(1+sinx)（幂指函数改写指数形式）

=（利用连续函数求极限的性质）==e

6利用罗必答法则求极限

（8）计算解：

（9）若f''''''''(a)存在，求

解：====2f''''''''(a)-f''''''''(a)=2f''''''''(a)

培养学生掌握罗必达法则的条件及应用，解决幂指函数及抽象函数求极限的方法。

7综合分析题

（10）计算(++…+)

解：设Sn=+++…+

2Sn=1++++…+

2Sn-Sn=1+(-)+(-)+…+(-)-=2+++…+-

∴Sn=2+(++…+)-

又∵=(++…+)=1=0

∴Sn=3

此题着重培养学生解决复杂问题的能力，本题分子呈等差数列，而分母呈等比数列，若要求此极限，必须先求前n项和，然后再求极限，利用2Sn-Sn的方法可将它变成只含有等式数列的前n项，这样有利于求极限。

总之，通过对极限的教学培养学生的自信心，激发学生的求知欲，培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力，利用极限存在的准则（夹逼准则）培养学生变通的逻辑思维，利用函数的连续性求极限培养学生因势利导的能力，利用幂指函数的改写，连续函数求极限的性质：1∞型的结果，告诫学生必须熟练掌握所学知识的重要性；培养学生对抽象函数求极限，求导数的方法。教育教学必须注重教育对象的特质，利用被教育对象的潜质，来开发学生的潜能，培养其学习兴趣，达到完成教育教学任务的同时，更主要是让学生自己认识到学习的乐趣，从而成为学习的主人，变被动学习为主动学习。