剖析尚未成功的突破

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坦率说，在我个人的解题经历中，“尚未成功”乃至失败，实在是比激动人心的成功多得多．但是，“尚未成功”并非只给笔者留下消极的结果，而面对偶尔的顺利笔者也总是要继续寻找当中的“解题愚蠢”（见文［1］、［2］），我不知道这些说来见笑的个人体验是否对广大读者有点帮助，但我能肯定地说，这是我本来就少得可怜的解题财富中的主要资产，并且我的看法（包括本刊1998年开始的解题分析连载以及《数学解题学引论》一书）已引起了一部分同行的关注与共鸣，需要致歉的是，二三年来，关于解题与解题分析的大批读者来信我不能一一作复，今天的话题很大程度上是一种有意的弥补．下面，笔者要进行3个解题个案的分析，以展示如何由失败走向成功，又如何对浅层的成功进行深层的调控．

1．个案1—由失败中获取有用的信息

例1若a、b、c为互不相等的实数，且x／（a－b）＝y／（b－c）＝z／（c－a），求x＋y＋z．

解：由等比定理得

x／（a－b）＝y／（b－c）＝z／（c－a）

①

＝（x＋y＋z）／［（a－b）＋（b－c）＋（c－a）］．

②

但是，②式的分母为零

（a－b）＋（b－c）＋（c－a）＝0，③

我们的解题努力失败了．

评析：这是一个失败的解题案例，文［3］谈到了调整解题方向后的一些处理，其实都用到③式．所以，失败的过程恰好显化了题目的一个隐含条件，这是一个积极的收获，当我们将不成功的②式去掉，把目光同时注视①式与③式时，①式使我们看到了两条直线重合：

xX＋yY＋z＝0，④

（a－b）X＋（b－c）Y＋（c－a）＝0．⑤

而③式又使我们看到了直线⑤通过点

X＝1，Y＝1．作一步推理，直线④也通过点（1，1），于是x＋y＋z＝0．

与文［3］相比，这是一个不无新意的解法，其诞生有赖于两点：

第1，从失败的解题中获取一条有用的信息，即③式．

第2，对①式、③式都作“着眼点的转移”，从解析几何的角度去看它们．

有了这两步，剩下来的工作充其量在30秒以内就可以完成．

2．个案2—尚未成功不等于失败

设f（n）为关于n的正项递增数列，M为大于f（1）的正常数，当用数学归纳法来证不等式

f（n）＜M（n∈N）①时，其第2步会出现这样的情况：假设f（k）＜M，则

f（k＋1）＝f（k）＋a（a＝f（k＋1）－f（k）＞0）＜M＋a，②

无法推出f（k＋1）＜M．

据此，许多人建议，用加强命题的办法来处理，还有人得出这样的命题（见文［4］P．32及文［5］P．12）：

命题设｛f（n）｝为关于n的正项递增数列，M为正常数，则不等式f（n）＜M（n∈N）不能直接用数学归纳法证明．

评析：不等式①没能用递推式②证出来，有两种可能，其一是数学归纳法的功力不足，其二是数学归纳法的使用不当．把“不会用”当作“不能用”，其损失是无法弥补的．

我们分析上述处理的“尚未成功”，关键在于递推式②，这促使我们思考：f（k＋1）与f（k）之间难道只有一种递推关系吗？

确实，有的函数式其f（k＋1）与f（k）之间的关系很复杂，无法用数学归纳法来直接证明；而有的关系则较简单，仅用加减乘除就可以表达出来．但无论是“很复杂”还是“较简单”，其表达式都未必惟一，文［6］P．278给出过一个反例，说明上述“命题”不真：

例2用数学归纳法证f（n）＝1＋（1／2）＋（1／22）＋…＋（1／2n－1）＜2．

讲解：当n＝1时，命题显然成立．

现假设f（k）＜2，则

f（k＋1）＝f（k）＋（1／2k）＜2＋（1／2k），

由于2＋（1／2k）恒大于2，所以数学归纳法证题尚未成功．

然而，这仅是“方法使用不当”．换一种递推方式，证明并不困难．

f（k＋1）＝1＋（1／2）f（k）＜1＋（1／2）×2＝2．

下面一个反例直接取自文［4］的例2．

例3求证（1／1！）＋（1／2！）＋（1／3！）＋…＋（1／n！）＜2．

证明：当n＝1时，命题显然成立．

假设n＝k时命题成立，则

（1／1！）＋（1／2！）＋…＋（1／k！）＋［1／（k＋1）！］

＝1＋（1／2）＋（1／3）·（1／2！）＋…＋（1／k）·［1／（k－1）！］＋［1／（k＋1）］·（1／k！）＜1＋（1／2）｛1＋（1／2！）＋…＋［1／（k－1）！］＋（1／k！）｝＜1＋（1／2）×2＝2．

这表明n＝k＋1时命题成立．

由数学归纳法知，不等式已获证．

3．个案3—对尚未成功的环节继续反思

文［7］有很好的立意也有很好的标题，叫做“反思通解·引出简解·创造巧解”，它赞成反思“失败”并显示了下面一道二次函数题目的调控过程：

例4二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象经过点（－1，0），是否存在常数a、b、c使不等式

x≤f（x）≤（x2＋1）／2①

对一切实数x都成立？若存在，求出a、b、c；若不存在，说明理由．

讲解：作者从解两个二次不等式（x2＋1）／2－f（x）≥0，f（x）－x≥0．

开始（解法1），经过数形结合的思考（解法2）等过程，最后“经学生相互讨论后得到巧解”（解法4）：由基本不等式

（x2＋1）／2≥（x＋1）／22≥x②

对一切实数x都成立，猜想f（x）＝（x＋1）／22．③

经检验，f（x）满足条件f（－1）＝0，所以f（x）存在，a＝（1／4），b＝（1／2），c＝（1／4）．

我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出a、b、c”应该理解为“若存在，求出一切a、b、c”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的逻辑疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在x与（x2＋1）／2之间的二次函数很多，如

f1（x）＝（1／2）x＋（1／2）（x2＋1）／2，

f2（x）＝（1／3）x＋（2／3）（x2＋1）／2，

f3（x）＝（1／4）x＋（3／4）（x2＋1）／2，……

这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了f1（x）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？

也就是说，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”．究其原因，是未找出x与（x2＋1／2）之间的所有的二次函数．抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，①式可以改写为

f（x）＝｛［（x2＋1）／2］＋λx｝／（1＋λ）（λ＞0），④

或f（x）＝λ（x2＋1）／2＋（1－λ）x（0＜λ＜1）．⑤

一般情况下λ应是x的正值函数（文［8］默认λ为常数是不完善的；同样，2000年高考理科第20题（2），对cn＝an＋bn设

an＝cncos2θ，bn＝cnsin2θ

是错误的），但由于f（x）为二次函数，λ只能为常数．为了在④中求出λ，把f（－1）＝0代入④即可求出λ＝1（或⑤中λ＝1／2）．

②式与④式的不同，反映了特殊与一般之间的区别，反映了“验证”与“论证”之间的区别．其实，原［解法1］出来之后，立即就可以得出②式，与是否应用“基本不等式”无关．同样，原［解法1］中作者思考过的“推理是否严密”在“巧解”中依然是个问题．这种种情况说明，我们不仅要对解题活动进行反思，而且要对“反思”进行再反思．下面一个解法请读者思考错在哪里？

解：已知条件等价于存在k＜0，使［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝k≤0，

把x＝－1时，f（x）＝0代入得k＝－1，

从而［f（x）－x］［f（x）－（x2＋1）／2］＝－1，

即f2（x）－［（x＋1）2／2］f（x）＋（x3＋x＋2）／2＝0．

由此解出的f（x）为无理函数，不是二次函数，所以本题无解．

作为对反思进行再反思的又一新例证，我们指出文［9］例2（即1997年高考难题）第1问，可以取λ＝a（x2－x）∈（0，1）（λ是x的函数），则

f（x）＝a（x1－x）（x2－x）＋x＝λx1＋（1－λ）x，

据定比分点的性质有x＜f（x）＜x1．

参考文献

1罗增儒．解题分析—解题教学还缺少什么环节？中学数学教学参考，1998，1～2

2罗增儒．解题分析—再谈自己的解题愚蠢．中学数学教学参考，1998，4

3罗增儒．解题分析—人人都能做解法的改进．中学数学教学参考，1998．7

4李宗奇．调控函数及其应用．中学数学杂志（高中），2000，3

5王俊英．一类数学归纳法能否使用问题的判定．中学数学，1987，9

6罗增儒．数学解题学引论．西安：陕西师范大学出版社，1997，6

7曹军．反思通解·引出简解·创造巧解．中学数学，2000，6

8陈雪芬．刘新春．定比分点公式在代数中的应用．数学教学通讯，2000，6

9罗增儒．解题分析——分析解题过程的两个步骤．中学数学教学参考，1998，5