培养数学直觉的试验

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摘要：本文从直觉思维谈起，分析了直觉思维的特点以及数学直觉思维的几种存在形式，同时谈到了直觉思维在数学学习中的重要意义，并从实践的教学经验分析了如何在数学教学中培养学生的直觉思维，以达到更好的学习效果，同时增强学生的数学思维能力和各方面的品质。

关键词：数学教育、直觉思维

数学教学的首要任务是开发学生的智力，培养学生的能力，特别是要培养学生具有一定的数学思维能力。数学思维的能力是多方面的，其中最重要的是创造性思维能力的培养，而直觉思维又是创造性思维乃至数学思维里面的一个重要内容，所以需要我们给予适当的重视。

直觉思维通常是指人脑对客观世界及其相互关系的一种非直接的认识、分辨或猜想的心理状态，是一种间接的心理反应（张俊、罗馥，2002）。直觉作为一种很普遍的心理现象存在于人们的日常生活、学习和研究之中。很多人都承认直觉的存在，但是由于目前我们对于直觉的认识还非常有限，所以我们还只能从直觉思维的一些表现特点上来认识它。

直觉思维概括起来有以下几个特点：第一，直觉思维具有直接性。这里的“直接”是指在没有经过详细分析和推理下，直接获得的结果。某些时候直觉似乎没有表现出连贯的逻辑，而是表现出中断的逻辑，然而在断裂的背后却是理性思维的“凝炼”。第二，直觉思维具有迅速性。直觉出现的速度是非常快的，多数时候都是一闪而过，这种瞬间的辨别和判断是凭借大脑中积累的大量知识和经验发生作用，所产生的一种结果。（王秀泉，2001）第三，直觉过程似乎是无须努力而自己完成的。直觉的过程往往具有很强的个体性，而且很难用言语清楚地表达出来，因而也很难被他人理解和研究。

在数学里面，直觉思维是人脑对数学现象及其结构关系的一种迅速的判断与敏锐的想象，其思维的主体是根据已有的知识和经验，对数学对象及其规律性关系的迅速的识别、直接的理解、综合的判断与想象的过程。与分析思维相比较，直觉思维很少会有清晰的和确定的步骤，它更倾向于通过对整体问题的理解为基础进行思维，随后通过联想、猜想等直觉的判断方法先获得问题的答案或者进行求解的过程。这无疑会激发人们对已有的答案用分析的手段进行归纳和演绎，从而对所得到的结论加以检验。历史上的数学家无一不肯定“逻辑是证明的工具，而直觉是创造的工具”这一伟大想法。

谈到数学直觉思维的基本形式，大体上有这样几种：第一，直觉观念。我们在研究某一数学问题时，即使没有纸和笔，脑子里也会构思起生动直观的模型或形象，表现为图形、文字、符号等。这种以数学模型、空间图形作为想象载体进行直觉思维的形式，我们称其为直觉观念。第二，直觉推理。直觉观念开始建立时只是简单的、单个的，而不足以对一个数学问题进行思维，多个直觉观念按照一定的秩序联接、变换之后就会形成一定的结构，从而可以逐步接近要认识的对象。这一过程不同于逻辑思维的进行方式，它是由想象力牵引着前进同时又起着与逻辑推理类似的作用，因此我们通常把由想象联接直觉观念的运动过程称为直觉推理。第三，直觉判断。直觉判断是人脑对于客观存在的实体、现象、符号及其表征的相互关系的一种迅速的识别或直接的理解。数学直觉判断常常在学习和研究过程中表现出来。例如，题目刚一出现，老师还没有解释完毕，学生就说懂了，就是因为结论已被直觉地判断出来。非欧氏几何的诞生正是罗巴切夫斯基和黎曼具有这种整体的直觉判断能力的伟大成果。第四，直觉启发。数学家沉思于某一问题，还没有在头脑中搜索到固有的模式，而在某种外部信息的刺激下，由于联想而使问题豁然贯通，称之为直觉启发，也就是我们常说的“灵感”。数学直觉思维中的直觉观念、推理、判断和灵感是难以截然分开的，它们常常结合于一个统一的思维过程中。

直觉思维的培养对全面提高学生思维能力，特别是创造性思维发展有重大的推动作用。随着教育观念的不断深化，作为创造性思维的重要组成部分，直觉思维越来越被人们所注重。直觉思维是人类基本的思维形式之一，它是对于一些现象或事物，在未经过严密的逻辑程序之前，直接地认识到其内在本质或规律的思维活动。数学直觉是对数学对象内在的和谐与关系的直接洞察或顿悟，是一种敏锐的想象和迅速的判断，是突发性的也是科学的。数学中的发现往往在最开始是直觉性的而非逻辑性的，例如牛顿发现万有引力，法拉第发现磁力线与磁场等等。同样，直觉在数学领域中也有广泛的应用，怎样才能有效地培养，发展学生的数学直觉呢？我们虽然尚未完全明白直觉的心理和生理机制，只是从外部特征上有一些描绘性的认识，但我们并不能因此而放弃对学生直觉思维的培养。在教学工作中，我们应引导学生掌握这种天赋。直觉是人凭借自身的经验和信息而产生的一种心智活动，它不像逻辑思维那样有完善的架构和模式，因此直觉的培养更需要创设情景、及时把握时机进行启发和诱导。在日常教学活动中，我们可适当改变纯演绎的教学方式加以引导。结合自己的教学实践，我想谈谈对这个问题的认识和做法。

一、打好基础、优化思维、培养意志

虽然数学直觉的产生具有突发性和不可预期性，但实践表明具有良好直觉思维的人一定是具备一定数学素养的人，在努力探索数学问题的过程中，突然爆发出来的如同闪电那样的灵感会瞬间出现在他的脑海中，于是疑团一下子被解开了。同时，数学直觉的涨力是可以在学习数学的过程中逐步成长起来的，其中特别重要的一环是：在学习数学的过程中要当达到“真懂”或“彻悟”的境界。由此可见，具有坚实的数学基础知识、富于探索精神和渴望解决问题的顽强意志，是产生数学直觉的必要条件。所以，在平时的数学教学中应该善于启发学生认识和理解所学的知识，并能熟练地掌握数学的基本方法和基本技能，通过培养学生的发散性思维能力，优化学生的数学思维品质，让学生对所学的知识达到“真懂”的地步。

二、依据直觉特征、设计数学情境、培养数学直觉。

数学直觉是一种不包括普通逻辑推理过程的直接悟性，所以它的思维方式是有其特别之处的。只要我们根据它的特点，并且结合数学学习的实际来对学生进行有意识的训练，同时做到坚持不懈，那么学生的数学直觉一定会被逐步培养起来。培养直觉思维，我们还要从数学的发现过程入手证明问题。现行的数学教材都是经过逻辑加工好的数学形式，定理的证明以及公式的推导一般都是按照编排好的逻辑演绎方式进行讲授。其实，数学知识与其它人类知识一样，它们的发现也是经过反复的猜测和论证才获得的。在证明问题前，老师如果能先将数学结论获得前的推测简要地重现给学生，或者将自己对结论的猜测告诉学生，又或者创设情景让学生去猜测、提出疑问等引导学生探索“发现”结论将有助于开启学生的数学直觉。如此通过引导学生探索、大胆地去猜测、不断提出疑问而最终发现结论，这一过程将有助于培养学生的创造性思维能力。

1、根据直觉思维考察问题，还要重视各个元素之间的联系以及系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向并选取数学问题供学生训练，同时引导学生利用已有的知识去猜想、发现、最后论证。

例一、椭圆的焦点F1、F2，点P是椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围。

分析：点P在椭圆上运动、要使利用直觉，首先想到当时，点P的位置哪里呢？又根据平面几何知识可知点P又在以F1F2为直径的圆周上，所以当时，点P为圆和椭圆的交点，由对称性有。

2、鼓励学生大胆猜想，使学生学会猜想。

获得直觉的过程须经历一个认识的过程，然后逐步提高深化发生“顿悟”，进而产生直觉。对某类事物的部分对象进行考查，从中寻找可能存在的规律，将这种认识加以推广形成一般性的结论，即对这类事物的某种猜测。不论这个结论正确与否，我们对这类事物的认识都前进了一步，许多重要的数学结论，如勾股定理、二项展开式、杨辉三角形和欧拉公式等都是在观察和实验的基础上，通过猜想得到的。因此，猜想在培养直觉思维方面功不可没。想象是根据头脑里已有的表象，经过思维加工、改造，从而形成新形象的心理过程，想象无拘无束，易于产生创造性的突破。获得直觉更大程度上依赖于想象，而相同的数学结构特征往往孕育着相同的数学本质特征。由条件或结论的外表形象与结构特征,想到熟知的定义、定理、公式和图形，从而直觉解题的途径。

数学猜想是根据已知数学条件和数学原理对未知量及其关系的推断，是一种探索性思维，它与数学直觉有密切关系。牛顿认为：没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。波利亚说：“先猜后证——这是大多数的发现之道”；“预见结论，途径便可以有的放矢”。所以，加强数学猜想的训练对提高学生的直觉思维能力是十分有益的。因此，在给学生分析实际数学问题时，老师不妨向学生剖析自己的解题心理，曾经对问题所作的猜测，以此开启学生的思路，引导学生凭敏锐的直觉、深刻的洞察力进行大胆猜测。

例二在等差数列{an}中若a10=0，则a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n成立（n∈N,n<19），类比上述性质，相应地在等比数列{bn}中，若b9=1，则有_____________。

分析：利用直觉，注意到在等差数列中“和差”，在等比数列是“积商”。所以猜想所求等式为b1?b2?…?bn=b1?b2?…?bx，如何确定x呢？由a10=a1+9d=0，10+9=19，b9=b1?q8=1，9+8=17，所以x=17–n。

所以所求等式为b1?b2?…bn=b1?b2?…b17–n(n∈N,n<17)。

3、由于数学直觉的产生是自发的，是想象出来的瞬间推断，所以丰富学生的想象、扩展学生的视野同时开拓他们的思维空间也是相当重要的一环。同时还要做到联系实际生活、实际生产以及联系数学在其他领域中的各种应用，这样才能在关键的时候有灵感的闪现。

例三，从地面以6m/秒的初速度将物体竖直上抛、物体掉四地面碰撞后速度变为原来的反弹，求该物体运动的总路程（不计空气阻力）

分析：由物理知识有

4、正确处理数学直觉与逻辑思维的关系。

直觉思维与逻辑思维两者之间是相辅相成的关系，如前所述，没有坚实的数学理论和数学基础知识，数学的直觉是不可能凭空产生的。但是，如果仅有严格的逻辑思维而没有直觉思维的能力，在实际研究问题时，尤其是遇到新的知识时，就会缺乏预见的能力从而缺乏开拓性和创新性，也就难有新的发现或创造产生。但是，由直觉获得的东西有时是真的，有时却是假的，不可能获得百分之百的保证。所以，凡是直觉获得的真实结论最终是可以用逻辑推理的方法进行证明的，而非真实的结论则会得到证伪。因此，我们在注意培养学生数学直觉能力的同时，还应该重视逻辑思维的训练。既要教给学生如何猜想，又要教会学生怎样证明，只有这样才能得出科学的结论。

例四，已知异面直线a、b所成的角为50°，P为空间一点，则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有（）

A．1条；B．2条；C．3条；D．4条

分析：由异面直线所成角的概念。经过平移变换如图。利用直觉、猜想答案是选B，为什么呢？由直观与想象过点P的直线L与直线a’，b’的夹角发生变化，则L与平面α，则射影PO是a’，b’夹角的平分线，即∠OPE=25°。

如图：由余弦积定理得cos∠MPE=cos∠MPO?cos25°，因为∠MPO是过点P的直线L与平面α所成的角，由0<cos∠MPO<1，∴cos∠MPE<cos25°，∴∠MPE>cos25°，由此得出过点P引直线L与a’、b’成等角，则该角应大于a’、b’所夹角的一半。若设L与直线a、b所成的角都是θ，则：

当θ=25°时有且仅有1条。

当θ∈（25°，65°）时有且仅有2条。

当θ=65°时有且仅有3条。

当θ∈（65°，90°）时有且仅有4条。