数学建模教学操作与领悟

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摘要：在中职数学教学中如何培养学生自觉地运用数学知识去考虑和处理日常生活、生产中所遇到的问题，把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。从而形成良好的数学应用意识，造就一代学以致用的新人。笔者认为在中职数学教学中培养学生数学建模能力疑是我们中职数学教学改革的一个正确方向。

关键词：数学应用意识数学建模能力学以致用

我们的中职数学教学是一种“目标教学”。我们一直想教给学生有用的数学，一方面为其所学专业打下必要的数学知识，另一方面，也为学生今后进一步深造储备必要的数学知识，但是大部分同学学了十几年的数学却没有起码的数学思维，学生往往碰到联系实际的问题却又不会用数学的方法去解决它。由此看来，中职数学教学与学以致用的矛盾显得特别尖锐。加强中职数学建模教学正是在这种教学现状下提出来的。

一、数学建模是什么？

数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是一种具有创新性的科学方法，它将现实问题简化、抽象为一个数学问题或数学模型，然后采用恰当的数学方法求解，进而对现实问题进行定量分析和研究，最终达到解决实际问题的目的。简而言之，数学建模就是用数学的方法解决实际问题。当我们遇到一个实际问题时，首先对其进行分析，把其中的各种关系用数学的语言描述出来。这种用数学的语言表达出来的问题形式就是数学模型。一旦得到了数学模型，我们就将解决实际问题转化成了解决数学问题。然后，就是选择合适的数学方法解决各个问题，最后将数学问题的结果作为实际问题的答案。当然，这一结果与实际情况可能会有一些差距，所以我们就要根据实际情况对模型进行修改完善，重新求解，直至得到满意的结果。为解决一个实际问题，建立数学模型是一种有效的重要方法。

二、数学建模的作用

数学模型的根本作用在于它将客观原型化繁为简、化难为易，便于人们采用定量的方法去分析和解决实际问题。当我们建立一个数学模型时，我们从现实世界进入充满数学概念的抽象世界。在数学世界内，我们用数学方法对数学模型进行推理演绎、求解，并借助于计算机处理这个模型，得到数学上的解答。最后我们再回到现实世界，将模型的数学解“翻译”成现实问题的实际“解答”，如给出现实对象的分析、预报、决策、控制的结果。这些结果还必须经实际的检验，即用现实对象的信息检验得到的解答，确认结果的正确性。我们始于现实世界而终结于现实世界，数学模型是一道理想的桥梁。如，当生物医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型后，他可以用来分析药物的疗效，从而有效地指导临床用药。厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益。正因为如此，数学模型在科学发展、科学预测、科学管理、科学决策、驾控市场经济乃至个人高效工作和生活等众多方面发挥着特殊的重要作用。

从教学的角度来看，数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力；有助于学生对数学方法的掌握、数学思维的建立，使学生将学习过的数学方法和知识同周围的现实世界联系起来，甚至和真正的实际应用问题联系起来。不仅能让学生知道数学有用、怎样用，更能使学生体会到在真正的应用中还需要继续学习。

三、课堂教学中如何贴近生活、贴近专业，适当引入数学建模

要突出数学应用，就应站在构建数学模型的高度来认识并实施教学，结合教学任务，根据所教班级的专业和学生的生活实际，教师在教学中要善于捕捉“生活素材”，采撷生活生产中的数学实例，为课堂教学服务。如集合论与决策中的模型；不等式中的有关最佳决策、合理调配、统筹安排最优化模型；数列中的有关产量增长、资金增长、存贷利率、工程用料等模型，；二次函数的商场或者工厂的最大利润、最小成本、最少材料等模型；利用三角函数的性质构造三角模型；概率与统计的中奖概率模型；指数对数的增量问题、国民经济翻番、增长率、人口控制、环境与资源、森林覆盖、铁路提速等等，都能让学生真切感受到生活和工作中到处有数学，数学与“生活”同在。

另一方面，结合中职学校开设专业，体现数学知识在职业岗位中的实际应用，可以选择以下几种模型的训练：

1、经贸、商贸、日商、财会类专业的学生接触到社会经济模型较多，可以多选择有关有奖销售、折扣、利润、成本、税收累进、银行利息调整、分期付款、公积金贷款、产值及财务管理、财产核算、再投资与储蓄、股票走势图表等模型。

2、.化工、环保、生化、电子电器、计算机等专业的学生可以多训练拟合模型，数据的分析、利用、预测、线形回归、曲线拟合等问题。

3、房地产、办公、建筑设计、农业等专业的学生可以建立优化模型、科学规划、劳动力利用、工期效益、合理施肥、最短路、最小流等问题。

4、.电子商务、金融证券专业类学生较多地应用概率统计模型，彩票与中奖、市场统计、评估预测、风险决策等问题。

5、边缘学科模型，来自理、化、生、地、医等方面的问题。

四、如何开展数学建模教学

在课堂上如何开展数学建模教学，是一个有待我们广大数学教师探讨和学习的问题。其实我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练，也可结合专业课程、学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题（如利息、股票、利润、人口等问题），稍加引用、补充和改编，就能成为一个个鲜活的数学建模问题。下面我结合自己在课堂教学中尝试过的数学建模例子，来探讨数学建模教学的有效途径。

（一）联系实际，发现生活中的数学问题，强化应用意识

每年新生入学，联通、移动等单位都会到我校摆摊设点，向新生推荐各种优惠套餐。许多学生根本就不懂得如何选择。结合这个生活例子，在数学课堂教学中我特意编制如下例题：

例1、学生甲购买了一部手机想入网，联通营业员介绍他加入联通130网，收费标准是：月租费30元，每月来电显示费6元，本地电话费每分钟0.4元，移动营业员向他推荐移动的“神州行”储值卡，收费标准是：本地电话每分钟0.6元，月租费和来电显示费全免了，学生甲的亲戚朋友都在本地，他也想拥有来电显示服务，请问该选择哪一家更为省钱?

简析：设学生甲每月通话时间x分钟，每月话费为y元。

则y1=0.4x+30+6=0.4x+36，y2=0.6x，

∴y1-y2=-0.2x+36，当x=180分钟时，y1=y2；当x>180分钟时，y1<y2；当x<180分钟时，y1>y2。

即若学生甲每月通话时间为180分钟时，可选择任何一家，若学生甲每月通话时间超过180分钟，应该选择联通130网，若学生甲的每月通话时间不到180分钟，应选择移动的“神州行”储值卡。

生活中处处存在着数学，处处存在着要用数学解决的问题，如生活中的用水和用电问题、利息问题、彩游戏的中奖率问题、获取利润的最大值问题等都是学生熟悉的现实问题，如果教师能利用学生生活中的事情作背景，编制应用建模专题，使学生掌握相关类型的建模方法，不仅可以使学生树立正确的商品经济观念，而且有助于他们日后主动以数学的意识、方法、手段处理问题；既活跃了课堂教学活动，又激发了学生的学习兴趣。

（二）结合常规的数学内容和学生的专业，培养学生初步的建模能力

在中职教育中，明确要求，文化课要为专业课服务，文化课应当与专业课连接。教师应根据所教班级的专业，大致了解专业课的内容，以便适当地安排教学内容和进度为专业课服务。所以数学教学要特别注重与所学专业知识的相互渗透，结合常规的数学内容尽量选择与所学专业相关的问题建立模型。这样，既学会了必要的数学知识，又让学生了解所学知识在专业课中的应用。

例如我在电子类专业的数学教学，在学习了二次函数后，结合学生专业我选用了下面的建模例。

例1、如图所示，已知电源电压为E，内阻为r，问负载电阻R多大时，输出功率最大？

这是一个电工学问题，但只要具备了基本的电路知识，就可以借助数学模型解决问题。

数学模型：由欧姆定律知，电流

因此，输出功率，即

∴

这是一个关于的一元二次方程，其中应为实数……（数学模型已建立，以下解题过程略）

数学结果：得，即当负载电阻与电源内阻相等时，输出功率最大。

这个例子体现了中职数学教学为专业课服务的宗旨和要求。

（三）选好素材，激发学生建模兴趣

从广义讲，一切数学概念、公式、方程式和算法系统等都是数学专家从现实生活实践中总结出来的数学模型,可以说，数学建模的思想渗透在数学教材中。特别是现在使用的中等职业学校《数学》教材中，每章后面都已经有一段“阅读材料”（介绍数学家的生平事迹、数学方法、重要数学知识的产生过程等数学史知识）。尽管不入正文，但我们不妨好好地利用起来，并适当补充一点。因此，只要我们深入钻研教材，挖掘教材所蕴涵的数学模型，并从中总结提炼，就能找到数学建模教学的素材。

例如结合数列知识，在学习了等差数列、等比数列的基础上，选择一些简单的、离学生生活较近的或从专业课程上改编的数学建模题目，结合建模的一般含义、方法和步骤进行讲解，以便使学生有初步的建模能力。

例1、某种电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由原来的174元降到58元，这种产品平均每次降价的百分率大约是多少？

简析：这是针对现实生活中销售的一道建模题。设平均每次降价的百分率是，则每次降价后的单价是降价前的（1-）倍，这样将原单价与三次降价后的单价依次排列，就组成一个首项为174，第4项为58，公比为1-的等比数列模型，利用等比数列的通项公式就可求出每次降价的百分率。

又如学完函数知识以后，我用课后习题，改编如下建模题：

例2、建筑一个容积为8000米3，深为6米的长方体蓄水池，池壁每平方米的造价是a元，池底每平方米的造价为2a元，把总造价y元表示为底的一边长为x米的函数，并指出函数的定义域。

此题背景是与我们生活密切相关的工程造价问题，学生对此不会陌生，应该对每一个同学都有一定的吸引力，问题是学生如何把这一应用题抽象化为数学模型。题目降低难度，预先设出变量x和y，并指出把总价y表示为底的一边长为x的函数，对学生的思路有提示作用，同时题目要求指出函数的定义域，这一点很多学生容易忽视，而对函数问题来说又是必不可少的条件。

这一题目用来训练学生利用函数的知识点建模是具有代表性的。该题虽然不算复杂，但是却有相当的综合性，内涵丰富。利用它可以改编出很多有较高思维价值的题目。

实践证明，数学教师在课堂教学中如果能结合常规教学内容，以教材为载体，把建模训练融入到数学知识的学习之中，从自然、社会和学生身边的“生活素材”中选择建模材料，让学生在学中用，在用中学，使数学成为看得见、摸得着、用得上的生活科学，从而激发学生的建模兴趣。

五、数学建模教学存在的问题

数学建模教学的核心工作在于根据学生的生活实际情况以及专业学习的需要自编一套适合中等职业学校学生学习的校本教材。但是，知识体系的合理性与专业课程需要的矛盾，学生的数学基础以及教学时间的限制，教学内容的编排体系中存在的主要问题（如立体几何向量化问题、函数与三角函数编排顺序问题等）。目前的办法是以现有大纲为线索，以学用结合为指导，在课时允许的情况下，教师适当引入建模课题。我相信，在开展“目标教学”的同时，大力渗透“建模意识”必将为中职数学课堂教学改革提供新的思路。希望在不久的将来，广大数学同行能组织、构建出为中职生普遍接受的数学教学内容，最终形成一套学以致用，渗透建模意识，适合中职生水平的数学教材。

【参考文献】

1、《数学模型与数学建模》刘来福曾文艺编著北京师范大学出版社（1997）

2、《数学建模方法与范例》寿纪麟西安交通大学出版社

3、《数学建模》徐全智杨晋浩编著高等教育出版社