二面角的平面角定位分析论文

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二面角的平面角的特征

α、β是由出发的两个半平面,O是l上任意一点，OCα，且OC⊥l；CDβ，且OD⊥l。这就是二面角的平面角的环境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角。

它有如下列特征：

（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；

（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；

另外，若在OC上任取上一点A，作AB⊥OD于B,则由特征（2）知AB⊥β.通过l、OA、OB、AB，之间的关系，便得到另一特征；

（3）：体现出三垂线定理（或逆定理）的环境背景。

2二面角的平面角的特征剖析

由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的平面角的定位可化归为“定点”或“定线（面）”的问题。

特征（1）表明：其平面角的定位可先在棱上取一“点”，但这点必须与问题背景相互沟通，给计算提供方便。

特征（2）指出：如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ与α、β的交线，则交线所成的角即为α-l-β的平面角，：

由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”。

特征（3）显示：如果二面角α-l-β的两个半平面之一，存在垂线段AB，由B作OB⊥l于O，连OA，由三垂线定理可知OA⊥l；或由A作OA⊥l于O，连OB。由三垂线逆定理可知OB⊥l。此时，∠AOB即为二面角α-l-β的平面角。

由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”．

以上三个特征提供的思路在解决具体问题时各具特色，其目标是分别找“点”、“垂面”、“垂线段”。事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而至．掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象力非常重要。

3二面角的平面角的定位分析

［例1］：已知E是矩形ABCD边CD的中点，且，CD=2，BC=1，现沿AE将△DAE折起至△D′AE，使得D′到B、C两点的距离相等，求二面角D′-BC-A的大小。

解析：取AE中点P，BC中点Q．则可得PQ⊥BC，又由D′B=D′C，得D′Q⊥BC，

∴∠D′QP是二面角D′-BC-A的平面角。

经计算得：∠D′QP＝23

找“点”，由定义确定二面角的平面角。

［例2］：矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线AC把△ABC折起，使点B在平面ADC内的射影B′恰好落在AD上，求二面角B-AC-D的大小。

解析：这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后“变”与“不变”。

在平面图形中过B作BE⊥AC交AC于O、交AD于E，则折叠后OB、OE与AC的垂直关系不变．但OB与OE此时变成相交两线段并确定一平面，此平面必与棱AC垂直。由特征（2）知，面BOE与面BAC、面DAC的交线OB与OE所成的角∠BOE，即为所求二面角的平面角。

另外，点B在面DAC上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在AD上,所以E点就是B′点，这样的定位给下面的定量提供了便捷条件。

经计算：OB=AB·BCAC=3×45=125，AO=AB2AC=95，OE=AO·CDAD=2720，

在Rt△BEO中，设∠BOE＝θ，则cosθ=OEOB=916，

∵0°＜θ＜180°，∴θ=arccos916，

即所求二面角B-AC-D为arccos916，

通过对［例2］的定性分析、定位作图和定量计算，由特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，依题目条件，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角。“平面图形”与“立体图形”相呼映，不仅便于定性、定位，更利于定量。由“垂线段”定位二面角的平面角。

［例3］：已知二面角α-a-β为，PA⊥α于A，PB⊥β于B，且PA＝8cm，PB＝10cm．求P点到a的距离。

解析：过PA、PB作平面γ，分别与α、β交于AO、BO，

由PA⊥α，aα，知PA⊥a，又由PB⊥β，aβ，知PB⊥a，因此，a⊥平面γ，

∵AO，BO，∴a⊥AO，a⊥BO，

∴∠AOB为二面角α-a-β的平面角，即∠AOB＝120°，

连PO，由PO，得a⊥PO．∴PO的长为P点到a的距离。

经计算：AO＝43（cm），PO＝PA2+AO2=82+（43）2=47（cm）．

由棱的“垂面”定位二面角的平面角。

［例4］：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，棱长为2，E为BC的中点．求面B′D′E与面BB′C′C所成的二面角的大小。

解析：面B′D′E与面BB′C′C构成两个二面角，由特征（2）知，这两个二面角的大小必定互补．通过特征（3）,我们只须由C′(或D′)作B′E的垂线交B′E于H，然后连结HD′(或HC′),即得面B′D′E与面BB′C′C所成二面角的平面角∠C′HD′(三垂线定理)。

经计算可得：H′C′＝455，在Rt△D′C′H中，∠D′HC′=D′C′H′C′=52，

故所求的二面角角为arctan52或π-arctan52．

二面角的三个特征，虽然客观存在，互相联系，但在许多问题中却很难通过直观图反映出来，这就需要我们培养良好的空间思维想象能力，正确定位。

［例5］：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求截面AD1E与底面ABCD所成角的正切值。

解析：图中截面AD1E与底面ABCD只给出一个公共点，没有直接反映出二面角的棱，因此还需找出它与底面的另一个公共点．通过补形作出棱，进而再求二面角的大小。

延长DC、D1E交于F，连AF，得截面AD1E与底面ABCD相交所得棱AF，AF交BC于G，过C作CH⊥AF于H，连EH，

∵EC⊥面ABCD，CH⊥AF，∴EH⊥AF（三垂线定理）

∴∠EHC即为所求截面AD1E与底面ABCD所成二面角的平面角．

可设正方体棱长为a，经计算得：EC＝CG＝a2，CF＝a，GF＝52a，CH＝，55a

∴tan∠EHC＝ECCH=52，

即所求二面角的正切值为52．

［另］：△D1FA在底面ABCD的射影是△DFA，

S△DFA=12DF×DA=a2，又D1A＝2，S△D1FA=12D1A×322a=32a2，

由射影面积法，所求角（记为θ）的余弦值为cosθ=S△DFAS△D1FA=23，

则所求二面角的正切值为52。

［另］：还可用向量法求二面角的平面角。

定位是为了定量，二面角的计算是通过其平面角所在的三角形计算而得．而作平面角也是由其基本定义出发，在棱上找一点，在半平面内找一点，或在二面角内找一点，从这点出发作棱的垂线或垂面而得。如果二面角的棱在图中没有出现，可采取补形等办法作出二面角的棱。

综上所述，二面角其平面角的正确而合理的定位，要在其正确其定义的基础上，掌握其三个基本特征，并灵活运用它们考察问题的环境背景，建立良好的空间思维，以不变应万变。

【摘要】空间角是立体几何中一个重要概念，它是空间图形的一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现。解决立体几何问题的关键在于“三定”：定性分析→定位作图→定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位、定性的深化。在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般来说，对其平面角的定位是问题解决的先决一步，故对二面角的平面角的定位是关键。

【关键词】平面角；定性分析；定位作图；定量计算;点;垂线段;垂平面