独家原创:多元函数的极值及教学探究

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摘要：讨论了工科高等数学中多元函数极值的教学间题,将多元函数极值的一个判定方法移植到工科高等数学教学中去。

关键字：多元函数，极值，二次型，正定，负定

1.引言

由于自变量的个数大于3时,多元函数极值存在性的判定比较繁复,现行工科高等数学中关于多元函数极值存在性判定问题,局限于讨论二元函数,这是远远不够的。因此,寻求能被学生接受的自变量个数大于3时多元函数极值的存在性的判别方法是十分有必要的。本文介绍了运用线性代数的相关知识判定多元函数极值的存在性的方法。这些知识都是成熟的结果,并非作者的创造发明,但将这些知识经过整理移植到工科数学教学中去却是一个十分有意义的工作。这种方法能为大学生们十分自然地接受,而且能扩大工科学生的知识容量,提高学生运用学得的知识解决实际问题的能力,激发学生学习数学的兴趣。

2预备知识

定义1含有个变量的二次齐次函数

(2-1)称为二次型，取，则（2.1）可写成

当为复数时,称为复二次型；当为实数时,称为实二次型。记

，

则二次型可表示成

,

其中A为对称阵。二次型与对称阵A之间存在着一一对应关系,A称为二次型的矩阵,而称为对称阵A的二次型,对称阵A的秩称为二次型的秩。

定义2设有实二次型,如果对任何,都有,则称为正定二次型,并称对称阵A是正定的,记作A>0;如果都有,则称的负定二次型,并称对称阵A是负定的,记作A<0;如果都有,则称为半正定的,称对称阵A是半正定的,记作;如果都有,则称了为半负定的,称对称阵A是半负定的,记作；如果既不是半正定也不是半负定的,则称为不定的,相应地,对称阵A称为不定的。

由定义,实二次型的正定性与它的矩阵的正定性是等价的。

关于对称阵的正定性有如下判别法:

定理2.1对称阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正;即

或A的各阶主子式都为正。

对称阵为负定的充分必要条件是奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即

定理2.2对称阵A为正定的充分必要条件是A的特征值全为正,对称阵A为负定的充分必要条件是A的特征值全为负。

定义3设有n元函数，在区域内具有一阶和二阶连续偏导数，对，记

分别称和

为在的梯度（grad）和在的海森矩阵（Hessianmatrix）

3多元函数极值的判别法

定理3.1（必要条件）：设多元函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的梯度必然为零,即

证：反证法。不妨设为极大值，而，则有某一i，使。不妨设，则存在的某一邻域，使得在这一邻域内当时，有，矛盾。

定理3.2（充分条件）：设多元函数在点的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且，则

（1）正定时，取得极小值；

（2）负定时，取得极大值；

（3）不定时，在处不取极值；

（4）半正定或者半负定时，在点处可能取极值也可能不取极值。

证：由连续性，存在点的某一邻域，使当时，与同号，于是当时，记

注意到，由一阶泰勒公式，

可知，（1）当正定时，，取得极小值；

（2）当负定时，，取得极大值；

（3）当不定时，不恒大于或不恒小于，因而不是极值；

（4）研究函数，显然，为半正定阵，而却不是的极值

由定理3.2可得如下推论

推论1设二元函数在某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,又，记，则

（1）当在点处取得极小值；

（2）当，在点处取得极大值；

（3）当时，在点不取极值；

（4）时，在点可能取极值也可能不取极值。

证由定理3.2及定理2.1既得。

推论2设多元函数在点的某一邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且，则

（1）的特征值全为正值时，取得极小值；

（2）的特征值全为负值时，取得极大值；

证由定理3.2及定理2.2既得。

例1求函数的极值

解：，

由，解得或。

当时，

因，，

正定，取得极小值；

当时，

，，

不定，在(0,1,1)点不取极值。

4结束语

上述提出的关于多元函数极值的判定方法的教学方案需同时开设高等数学和线性代数,在多元函数极值的教学中采用上述教案则是水到渠成,得心应手的事。如果按照传统的课程设置组织教学,采用上述教案也是可行的,没有多大困难,只需引进n维向量、矩阵及相应概念。这些概念在多元函数极值后面的教学中也很有用,并能激发学生的学习兴趣和积极性,激励学生去自学一些诸如线性代数,经济数学等课程,提高人才素质,并使后续的线性代数教学更得心应手。

参考文献

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