数学道思考题管理论文

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人教版小学实验课本《数学》第六册第144页有这样一道思考题：

“在钉子板上围图形。通过3个钉子可围几种不同的形状？通过4个钉子可以围几种不同的形状？”

（附图{图}）

对这道题，“教参”（人教版《小学数学第六册教师教学用书》）给的答案（下称“参考答案”）是：

“通过3个钉子：三角形（直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。其中可能有等腰三角形，但不可能围出等边三角形。）

通过4个钉子：四边形（一般四边形、正方形、长方形、平行四边形等。）

以上每种图形，由于大小不同，可能会有很多，只要学生围出即可。”

下面谈一谈，笔者对上述思考题及参考答案的几点思考。

思考一参考答案对不对？

笔者认为，参考答案是有毛病的。因为：第一，小学三年级学生还没有学习“直（锐、钝）角三角形”和“等腰（等边）三角形”等概念（这些概念是四年级的学习内容）。因此他们是看不懂上述参考答案的。第二、参考答案对“不同的形状”的含义有曲解之嫌。我们知道，形状相同（或不同）的图形一般是指相似（或不相似）的图形，因此，对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，就应该理解为“可以围几种不相似的图形”。而不应该理解为“可以围几种不同类别的图形”（因为同类别的图形不一定同形状。例如，图1中的3个三角形是同属“钝角三角形”这一类图形的，但却不相似即不同形状）。容易看出，参考答案就是这后一种理解的产物，这样的答案是难以令人置信的。第三、对思考题所提“可以围几种不同的形状”的问题，理当以确切的数据给予回答，但参考答案最后却以“可能会有很多”一言以蔽之，这也是不妥的。

思考二不同形状知多少？

前述思考题是一个颇为复杂的问题。下面我们来看，通过3个钉子可以围几种不同形状即不相似的三角形。

为叙述方便，我们把钉子板上的钉子记为点A［，ij］（下标i和j分别为行序号和列序号，i＝1，2，…6，j＝1，2，…，6。如点A［，32］即表示位于第三行第二列的那个钉子），并把同行（列）相邻两点间距离设为“1”。

可以看出，所围三角形可分为下列几类：

（Ⅰ）短边长为1的三角形

（附图{图}）

这类三角形为数甚多是显然的。我们关心的是：它们共有几种不同的形状？这可以通过寻找“代表”（每一种形状找一个三角形充当“代表”）的途径来解决。这个寻找“代表”的工作是一项十分细致且设计性很强的工作（要保证所寻“代表”不漏不重）。此处，我们可以取以线段A［，11］A［，21］为边、图2中的任一加圈点“⊙”为顶点的三角形为“代表”。容易看出，这样的代表共有10个，它们是互不相似即形状互不相同的。并且，在短边长为1的这一类三角形中，已不再存在形状不同于这10个“代表”的其它三角形了。由此可知，这类三角形共有10种不同的形状。

（附图{图}）

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也能找到10个（以线段A［，21］A［，12］为边、图3中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A［，22］A［，41］A［，13］、△A［，22］A［，61］A［，13］、△A［，23］A［，51］A［，14］、△A［，24］A［，61］A［，15］）。因此，这类三角形也有10种不同的形状。

（附图{图}）

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有12个（以线段A［，21］A［，13］为边、图4中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A［，14］A［，22］A［，51］、△A［，14］A［，22］A［，61］、△A［，16］A［，31］A［，24］、△A［，24］A［，41］A［，16］）。因此，这类三角形共有12种不同的形状。

（附图{图}）

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有7个（以线段A［，21］A［，14］为边、图5中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形以及△A［，15］A［，22］A［，61］、△A［，16］A［，23］A［，51］）。因此，这类三角形共有7种不同的形状。

（附图{图}）

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共有3个（以线段）A［，31］A［，14］为边、图6中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形）。因此，这类三角形共3种不同的形状。

（附图{图}）

在这类三角形中，不同形状的“代表”一共也有3个（以线段A［，21］A［，15］为边、图7中任一加圈点“⊙”为顶点的三角形）。

（Ⅶ）短边长为5的三角形

（附图{图}）

这类三角形只有一种形状，图8中的三角形是它们的“代表”。

容易看出，通过3个钉子的三角形只有上述七类。在这七类三角形中，我们一共找到了（10＋10＋12＋7＋3＋3＋1）即46个“代表”。现在的问题是：在这46个代表中，尽管“同类代表”（产生于上述某一类三角形中的代表）的形状是互异的，但那些“不同类代表”（产生于上述某几类三角形中的代表）的形状是否互异呢？细细审察可以发现：上述（Ⅲ）中的代表△A［，13］A［，21］A［，42］、△A［，14］A［，22］A［，51］分别与（Ⅰ）中的代表△A［，11］A［，21］A［，22］、△A［，11］A［，21］A［，32］相似；（Ⅴ）中的代表△A［，11］A［，31］A［，63］和（Ⅵ）中的代表△A［，15］A［，21］A［，62］均与（Ⅰ）中的代表△A［，11］A［，21］A［，22］相似。因此，就上述七类三角形之总体而言，不同形状的代表应该是（46—4）即42个。

至此即知，通过3个钉子一共可以围42种不同形状的三角形。

通过4个钉子围图形，情况会更复杂一些，此处就不细述了。

思考三如何处置这道题

由上述讨论显而易见，将前述思考题编排在小学三年级课本中是绝对不合适的。那么，这道题究竟如何处置为宜呢？笔者觉得，下列几点意见是值得考虑的。

（1）保持原题的文字部分，而将示意图中的点由36个改变为9个（三行三列）。将这一改编题仍旧放在前述课本的第144页作思考题；

（2）不改变示意图，而将原题所提问题改变为“通过3（或4）个钉子可以围出哪几类三角（或四边）形？”将这一改编题放在四年级第七册课本“练习四十一”的末尾（此时，学生刚好学习了“三角形的分类”、一般四边形和几种特殊四边形等内容）作思考题为宜；

（3）不改变示意图，将原题中“不同的形状”之文字改变为“互不相似的图形”之文字，这一改编题（实为原题，文字上的一点变动旨在使题意明朗而避免争议）只能编排到某些中学（甚至大学）课外读物上去才算适宜。