数学复杂应用题解答论文

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应用题历来是小学数学教学的难点，但也是发展学生思维能力的重要工具。对于小学生解答应用题的困难原因分析，既有利于改进教学方法，提高教学质量，也有利于对差生的学习障碍进行诊断，提高他们的思维技巧。

对于造成一步或两步计算应用题困难的原因，国内早有研究。研究者认为，解一步应用题困难的原因主要是学生对应用题的结构、类型以及对应用题中时间、空间的叙述不能正确理解；解两步应用题困难的原因主要是没有学好一步应用题和没有掌握好分析应用题的方法。

我们针对三步以下应用题的困难原因进行了研究。在两所小学的六年级各选取2名最优秀的学生和2名中等偏差学生，采取个别测试的方法，让他们每人分析6个应用题并列出算式（题目附后），要求他们解题时自言自语“出声思维”，以研究他们的思维过程。每个题限思考8分钟。

结果列于下表。

表1各题的有关特征及正确人数题类型分数应用题行程应用题归一应用题题号123456步骤数343535优生（4人）340144中下生（4人）100023合计（8人）440167

显然，总的来说，优生的成绩明显高于中下生，但差别最明显的是中等难度的题（第1、2、5题），在最容易的题目上（第6题）正确率都很高，最难问题上（第3、4题）正确率都极低，差异均不显著。这可能是因为优生和中下生都具备了一定的解决应用题的技巧，在解决较复杂的问题上，优生显然具备了更高的解题技巧，但即使是优生，在解决第3、第4这样的题目时，也会显得一筹莫展，正确率极低。这充分暴露了应试教育在思维技能培养上的缺陷。

小学生解答复杂应用题困难的主要原因是什么？我们原先设想，解答步骤越多，难度越大，但本实验的结果证明，无论对于优生和差生来说，第1、2、3、5题（均为三步计算）的难度并不小于第2、4、6题（均为四至五步），步骤多少不是造成复杂应用题困难的主要原因。那么主要原因在哪里？我们请有经验的数学教师（数学教研组长、副校长）就这6个题的“典型程度”打分（每个题的典型程度是指该题在学生教材例题和习题中出现的可能性大小），结果表明，典型程度和困难程度（正确率）呈高度相关（没有经验的教师“典型程度”评分与困难程度相关系数偏低）。或许这能说明复杂应用题困难的最主要原因：小学生习惯于在解题时生搬硬套教材中的例题和习题，缺乏创造性的思维技巧，因此出现对“不典型”的应用题的束手无策现象。

那么，对于典型程度不高的应用题，小学生感到困难的原因是什么呢？我们详细分析了学生解题过程中的“出声思维”的记录，发现至少存在以下四个原因：

一、基本概念并未真正形成或熟练程度不够，所以容易错误

地判断题的类型

这一问题主要表现在中下生身上，下面是一位中下生解第4题的部分思维过程：

……用速度乘以时间，时间怎么求呢？

……不对，把整条水渠看成单位"1"

可以把甲队每天修的米数看成1/35，把乙队修的看成1/38，……知道怎么做了，用35与38的和去除以1/35与1/38的和……

该生起初的思路是对的，可以把“每天挖35米”看成是速度，但由于“总长”不知道，因此无法求“时间”，所以该生很快否定了自己的正确思路，开始设想把整条水渠看成单位"1"，接下来又错误地把甲队每天修的米数看成1/35。显然，该生头脑中的分数概念关未真正形成，至少分数概念并未达到熟练程度。1/35的真正含义是“每米占全天工作量的1/35”，或者进一步理解为挖1米所需时间是全天时间的1/35，而不能理解成为“每天能完成总工作量的1/35”。由于分数概念未牢固掌握，所以错误地把这个题看成是“工程问题”。

格式塔心理学家韦特海默尔(M.Weitheimer)早在1959年就发现，学生只要照搬老师的例题，就能运用“底×高”的公式来解决平行四边形面积计算问题，但头脑中并未真正行成“平行四边形面积”的科学概念，所以遇到和老师画的平行四边形不同的奇特的非典型的平行四边形时，就束手无策了。他批评传统教学方法阻碍了学生创造力的发展。

值得一提的是，运用传统方法进行教学时，学生往往凭生搬硬套就能解决基本概念问题（表现为一步计算的应用题），而且多数情况下能得到正确答案。这样，教师无意之中强化了学生机械模仿与不深入思考的思维习惯。

如何解决这一问题？我们认为最根本的措施是改革传统的应用题练习方法，应该用大部分时间练习那些单凭机械模仿不能奏效的习题形式，如根据题意补充已知条件、删除多余条件，自己提出未知条件，依据数学运算式自编应用题，说明在特定题意前提下的一个算式（或一个分数）的意义，等等。

二、不善于从整体上把握题目中的数量关系，因此不能正确

识别题的类型

当代认知心理学家西蒙(H.A.simon)认为，解决应用题的过程是“模式识别”的过程。例如，当学生识别出眼前的应用题是“相遇问题”，就能调用有关相遇问题的解题方法来解决眼前的题。因此，识别问题的类型就成了解题的关键。然而，困难的题往往“伪装”得很巧妙，让人难以识别其真面目。例如，第3题，表面上看是个“相向问题”，而实质上是个“相遇的题”。尽管此题只需三步便能计算出来，然而在我们的实验中没有一个学生能正确列出算式。下面是一位“优生”的思维过程：

先求甲车走完AB所用的时间：205÷48，

然后乙车速度乘以这个时间就是乙车所走的路程，205÷48×52，

然后再减205就是甲车……（发现不对），

205减去乙车沿原路返回的路程……不对，怎么做呢……

甲每小时48、乙每小时52……

52×(205÷48)－205……（又发现不对）

乙车每小时比甲车多行4公里(52-48)，

甲车行了几小时？每小时多行4…

205÷4就是乙车行的时间，……乙车返回……

很显然这位“优生”未能识别这个题“实质是相遇问题”的根本原因在于他未能形成对这个问题的“整体把握”，只是就单个的句子进行联想或推理。如果画出下面一个示意图，就能从整体上理解题意，并因此很容易识别出题的类型和相应的解题方法。

（附图{图}）

由此看来，如何训练学生准确理解题意，特别是从整体上把握题目中的数量关系，是提高学生解答复杂应用题能力的重要任务之一。我们认为，在这方面应该注意两个问题：第一，是研究学生把握题目整体数量关系的特点，总结出把握题目整体数量关系的思维技巧并进行专门的训练，第二，必须使这种思维方法“条件化”。所谓条件化，就是指知道这种思维方法在什么条件下使用。以上述第3题的“画图示”的思维方法为例，优等生应该具备了画图示的能力，却不知道什么时候应该画图示，结果该画图时，却不去画图，从而难以从整体上把握该题的题意及数量关系。

三、未能把解题模式抽象成为一种思维策略，所以难以识别

非典型的复杂应用题

国内的一项研究发现，许多能顺利解决下述例1问题的小学生却不能解决例2这样的问题。

例1师傅完成某件工作需6天时间，而徒弟则需要8天才能完成，若师徒二人同时干，需多少天才能完成？

例2妈妈上街买布，她选中了两种布，如果买第一种布，她的钱只够买6米，而买第2种布则可以买8米，现在她决定两种布买相同数量，问两种布各可以买多少米？

这两个题是“同型的题”，为什么解第2个题困难得多呢？这是因为第一个题“典型得多”，一看便知是“工程问题”。但是，一些优生能顺利地解决例2，他们的思维方法是：“如果总体不知道，又要对总体按一定比例进行划分，那么设它为"1"。很显然，在他们的头脑里，已经将“工作效率×工作时间＝工作总量”的应用题解题模式上升成为一种抽象的思维策略，并且，这种策略已经条件化了，表述为“如果……那么……”，或“当……的时候，就……”。

再以本研究的第4题为例，如果学生头脑中能够将追击问题的解题模式上升为一种更抽象的模式：行程距离之差÷速度之差＝行程时间，那么，他们实质上已经掌握了一种思维策略，就很容易识别出第4题的解题方法。因此，我们在教学中，不仅要让学生掌握基本的解题类型或模式，而且要在基本模式熟练化的基础上，不失时机地逐步进行思路上的抽象，发展起更抽象，更复杂的“解题模式”（或叫思维策略）。我们提倡教给学生解题后的反思技巧（思路概括的技巧）：在遇到困难的新的习题时，解题之后要反思该题和过去见过的题有什么不同之处，在解法上有什么特点，这种解法还可以用于其它什么场合？这样做，就能确保学生头脑中积累的“思路”越来越多，且概括程度越来越高，真正做到练习效率高，能够举一反三，触类旁通，思维的灵活性和创造性不断得以提高。遗憾的是在传统教学中，学生的注意力往往集中于寻找习题的正确答案，一旦找到正确答案，思索便停止了。这样的做法，很不利于思路的反思和概括，不利于解决复杂应用题能力的提高。

四、不能进行双向推理，所以难以接通已知条件和未知条件

的关系

可以说所有的习题都是先提供已知条件，然后提出一个未知条件（问题），要求学生利用已知条件来求未知条件的数量或证明未知条件的成立。在解题时，思考的方向分为顺向和逆向推理方式。

顺向推理由于思维方向不明确，容易推导出众多的起干扰作用的中间变量，并且易使学生一旦走上错误的思维方向就迷途难返，本实验中的中下生尤其如此。而逆向推理虽方向明确，始终把未知量作为思维的出发点，但由于未知量与已知量的关系很难接通，也容易造成学生解题失败。

在多数情况下，特别是解难题时，最好采用双向推理。顺向推理可以推导出更多的供选择使用的“已知条件”，逆向推理使我们始终明确思维的方向，双向推理有助于顿悟和灵感的突然出现，能有效地缩短已知和未知之间的距离，更有助于我们在心理视野范围内“看穿”已知和未知之间的路径。遗憾的是，本实验所选取的被试（不论是差生还是优生）都不具备这种能力。看来，双向推理能力的训练已不能再忽视了。

我们认为，要想提高小学生解答复杂应用题的能力至少应采取以下三条措施：改革教学方法，确保学生准确、熟练地掌握基本概念，并形成基本模式；教学生解决困难问题之后进行思路反思和概括的技巧，抽象出高级的模式；教学生分析题意、整体上理解数量关系的技巧，以确保能识别出高级模式，并调动头脑中有关模式灵活地解决眼前的复杂的题。

附录：测验用题

1.小明读一本课外读物，4天读了总页数的1/4，照这样的速度读了8天后，还剩45页没有读完，这本书有多少页？

2.有一段路，一辆自行车第一天走了全程的1/4，第2天比第一天少走了5千米，还剩20千米没有走完，这段路共有多少千米？

3.A、B两站相距205千米，甲乙两车同时从A站出发，向B站行驶，甲车每小时行48千米，乙车每小时行52千米，乙车到达B站后立即沿原路返回，两车从出发到相遇经过了几小时？

4.甲、乙两队开挖一条水渠，两队从两端同时挖，甲队每天挖35米，乙队每天挖38米，结果在距中点3.75米的地方接通，这条水渠共有多少米？

5.一辆自行车，4小时行72千米，现在要沿着一条环城路跑三圈，每圈18千米，需几小时？

6.一个修路队8个人5天可修路2160米，照这样计算如果增加10人，要修4860米，需几天完成？