数学案例分析论文

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在1999年上海召开的“’99数学教育高级研讨班”上，北京教育学院的王长沛教授演示了他所制作的一些“个案”（更为准确地说，即关于学生解题活动的一些录像）．由于这些录像生动地呈现了学生是如何进行学习的，从而引起了与会者的极大兴趣．

从理论研究的角度看，王长沛教授的这些工作应当说有着更为重要的意义．因为，这正是中国数学教育研究的一个严重弊病，即在相当程度上只是一种纯思辨的研究，而缺乏必要的科学论据，也正因为此，相关的研究往往就不能得到国外同行的承认或重视．从而，在这样的意义上，就如张奠宙教授所指出的，王长沛教授的上述工作确实可被认为代表了我国数学教育研究在方法上的一次革命性突破，更值得大力提倡和推广．

当然，这方面的工作又只是刚刚开始，要真正搞好“案例分析”，应当说还有很多工作要做．以下就从这样的角度，特别是围绕如何通过案例分析促进实际的教学工作提出一些初步的意见．

第一，“案例分析”当然以案例的收集作为实际出发点．但是，除去“以生动活泼的形式呈现学生做数学的真实过程”以外，笔者以为，我们又应在案例的分析上花更大的力气．因为，如果忽视了后一环节，那么，即使人们可以由所制作的录像获得一定的启示，诸如“难道我们的学生具有如此巨大的潜能？”“难道我们的学生连这些简单的数学都不懂？”等等；但这主要地仍只是一种即时的、素朴的反应，更是与教师的实际教学活动相分离的．从而，即使我们积累起了众多的案例，但最终却很可能获得这样的结果：现场的演示引起了强烈的反映，人们纷纷做出各种各样的评论，但是，由于缺乏必要的引导与深化，这些反映就始终是分散和零乱的，这样，对相当一部分人来说，最后就很可能没有从中得到任何真正的启示或教益，另外一些人在当时可能领悟到了某些东西，但由于未能得到及时的强化，更由于所说的案例又“聚集在学生做数学上”，因此，这些认识也就往往不能在头脑中真正得到确立，更未能对改进实际教学产生持久、稳定的积极效果．

作为一个反例，笔者在此并愿提及以下的事实：在对美国进行学术访问期间，我曾参加过一个数学教育博士研究生的论文答辩会．当被问及其所做的工作时，这位研究生展示了她所制作的近百盘（关于学生学习活动的）录像带，并说：“这就是我的工作．”这些录像带的制作当然不是一件很容易的工作，但是，人们还是要问：“所有这些录像带又究竟说明了什么呢？”显然，如果我们不能对后者做出明确的说明，那么，单纯的数量积累就是毫无意义的！

综上所述，相对于案例的收集而言，我们就应更加注意对于案例的深入分析，特别是，就案例在教师培养活动中的应用而言，我们不能消极地期待教师会由观看录像等而在教学观念上发生迅速的转变，而应发挥积极的引导作用，以使之由一种自发的行为转变成为自觉的行为．

第二，从根本上说，我们之所以要深入地去了解学生在数学学习活动中真实的思维活动，无疑是为了更好地去进行教学．也正因为此，笔者以为，我们关于学生学习活动的案例分析，主要地也就应当集中于如下的问题：这对于我们改进教学有什么启示？

为了清楚地说明问题，可以联系王长沛教授在上海所演示的以下案例进行分析．

三个小学生被要求解决如下的问题（凭记忆复述，因此不很准确）：

一个抽屉中放有80个红色的小球，70个白色的小球，60个黑色的小球，50个兰色的小球．小球的外形完全相同．一个小孩在看不见的情况下从抽屉中随意取出一些小球，问他至少要从中取出多少个才能保证其中一定有10对颜色相同的小球．

尽管这一问题有一定的难度，但是，这三个学生通过积极探索，包括相互合作，最终成功地解决了这一问题．从而，这就清楚地表明了学生中的确存在有巨大的潜能．

但是，从教学的角度看，我们在此又可引出什么样的结论呢？特别是，在充分承认学生具有创造性才能的同时，教师在此又应发挥什么样的作用呢？

具体地说，笔者以为，在上述的解题过程中教师应当发挥积极的启发或引导作用，包括在学生遇到困难时通过给予适当的启示以帮助学生克服困难，以及在学生成功地解决了问题以后帮助学生做出必要的总结，从而使之从不自觉的行为上升为自觉的行为，特别是在思维方法上更能有所收获．

例如，上述问题的求解事实上包括了两个关键点：一是以5作为考虑的基本单位，二是应当考虑每次配对后的余数——只需要把这两者很好地结合起来，我们就可成功地解决上述问题．

由录像可以看出，这三个学生事实上就是依据这样的方法解决问题的．但是，在此要强调的是，尽管学生通过主动探索成功地解决了这一问题，但这并不意味着他们对其中的关键点已经有了清楚的认识，因此，这就应当被看成教师的一项重要工作，即是在所说的情况下应当帮助学生对解题过程做出认真的总结，以清楚地认识其中的关键点，从而也就可能在新的不同场合加以推广应用．

当然，后者并非是指教师在此应当直接去点明所说的关键点；与此相反，笔者以为，更为恰当的做法是，教师可以对原来的问题做出适当的变形，借以启发学生建立起自觉的认识．例如，如果我们将问题变化为抽屉中放有五种或六种（而不是四种）颜色的小球，就可帮助学生清楚地认识第一个关键点，也即实现由不自觉行为的重要转变．

另外，与所演示的情况不同，如果教师所遇到的是这样的情况：尽管学生进行了积极的探索，但却始终未能解决问题．这时教师可提出这样的问题：我们能否首先解决较为容易的问题？即如至少要从中取出多少个才能保证其中一定有一对（而不是十对）颜色相同的小球？又至少要从中取出多少个才能保证其中一定有二对颜色相同的小球？事实上，在所演示的录像中，那三个学生也正是通过特殊化而发现了上述的两个关键点．从而，这也就清楚地表明了这样一点，无论在哪种情况下，在问题最终得到解决以后，我们又应帮助学生在思维方法上做出总结，即如加深对于“特殊化”这一方法的认识．

值得提及的是，王长沛教授在会上并曾提到以下的事实，即他的合作者曾要求高中学生求解同一个问题，而所得到的结果则是“完全出乎预料的”，即高中学生的实际表现并不明显优于小学生．在笔者看来，这事实上也就清楚地表明了思维方法的重要性，这就是说，如果我们忽视了这样一点，那么，即使他们曾经成功地解决了成千上万个问题，但其解决问题的能力却并没有得到很大的提高．

第三，笔者以为，以上的分析事实上也为我们深入地开展数学教育研究提供了重要的思路，这就是说，与所提及的“纯自然状态”下的学习情况的真实记录相对照，我们也可以教师指导下的学习作案例，并通过两者的比较分析引出进一步的结论．

例如，对于以上所说的两个建议，即在学生成功地解决了问题的情况下，教师可以通过问题的适当变形启发学生对其中的关键点与相应的思维方法建立自觉的认识，以及在学生遇到困难时通过方法论的启示以帮助学生掌握解题的关键，我们都可作为案例进行仔细的研究．另外，我们还可通过比较研究对不同的教学方法及其后果做出深入的分析．即如什么是教师进行干预的适当时刻和方式？这种干预又有什么样的实际效果，包括短期效果和长期效果？

笔者相信，深入的研究必定会表明这样一点：我们既应充分肯定学生的巨大潜力，同时则又应当肯定教师对学生的发展有着不可或缺的重要作用；另外，在积极鼓励学生主动探索的同时，我们又应充分发挥教师的促进和指导作用．当然，后者的关键则又在于适当的方法和时机．

最后，笔者以为，如果我们能使所说的“案例分析”成为教师培训者和接受培训的教师的共同活动，那么，这就不仅将使教师培训活动变得更加生动活泼，也可使教师从中获得切实的收益．