建模能力培养高中数学教学研究

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摘要：高中数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。其中，数学建模作为核心素养之一，要求学生善于运用数学语言表述问题，用数学知识构建模型解决问题，求解结论。文章分析高中数学核心素养之建模能力培养现状，指出高中数学核心素养之建模能力培养策略主有有函数模型建构能力，几何模型建构能力，向量模型建构能力，不等式模型建构能力，最值模型建构能力。

关键词：高中数学；建模能力；核心素养；学习效果

数学建模强调“想用、能用、会用”的“用”数学意识，提倡给学生创造自主学习空间，引导学生在个性化学习过程中学会学习，且能够达到学中用、用中学的学习效果，有效解决实际的数学问题。因此，在高中数学教学中，数学教师应加强对学生建模能力的培养。

一、高中数学核心素养之建模能力培养现状

在高中数学课堂上，仍有一部分教师倾向于为学生设计文字应用题，这些文字应用题通常条件清晰，不需要学生多加思考。长此以往，学生会对数学建模渐渐生疏。《普通高中数学课程标准（2017年版）》已经明确指出：“数学建模、直观想象等数学核心素养是数学课程目标的集中体现，可在数学学习过程中逐渐形成。”因此，数学教师要重视对学生建模能力这一核心素养的培养。

二、高中数学核心素养之建模能力培养策略

1.函数模型建构能力。在高中数学教学中，函数是重难点，数学教师应教会学生用建模方式解决这方面的数学问题。而三角函数建模主要是通过“形”的问题借助“数”来突破、“数”的问题借助“形”来突破两种建模方式来实现。在数学课堂教学中，教师让学生掌握三角函数模型建构方法，不仅利于学生掌握正弦型函数模型、余弦型函数模型、正切型函数模型的应用，也利于实现学生建模能力这一核心素养的培养。例如，在“解三角形”的教学中，为了教会学生正确选取解三角形过程中的定理与公式，让学生能够综合运用解三角形与函数性质，养成一定建模能力的数学核心素养，教师在学生已经掌握了三角函数基础知识，会用正弦型、余弦型、正切型函数模型以后，设计这样一道数学题：已知函数f（x）=sin2x-cos2x-2姨3sinxcosx（x∈R），求f（x）的最小正周期和单调递增区间。在这道三角函数“数”的问题解决过程中，教师可指导学生构建已学过的函数模型，再结合ω=2，f（x）的最小周期是2π2，得到f（x）的单调递增区间。整个问题的解决过程中，学生会牢牢把握住如何用三角函数模型解决实际问题，形成一定的建模能力。2.几何模型建构能力。立体几何模型与实际生活联系紧密，数学教师应善于引导学生亲自利用立体几何模型知识解决实际生活中的问题，并通过解决实际生活中的问题感受数学建模的重要意义，进而保持积极情绪学习数学。如在高中数学课堂上，时常会遇到几何体油箱、水坝等与现实生活有关的数学问题，教师应多引导学生通过构建立体几何模型解决问题，简化问题解决过程。这样，学生在立体几何模型建构的过程中，会逐渐养成数学模型建构意识，提升数学核心素养。例如，在“空间几何体的体积”的教学中，为了发展学生立体几何模型建构能力这一核心素养，教师可设计这样的题目。如图1所示，已知ABCD-A1B1C1D1是一个平行六面体，AB、AD、AA1的长分别是5、4、3，AB垂直于AD，∠A1AB与∠A1AD相等，是π3，求证点O在∠BAD平分线上和平行六面体的体积。在上述问题的求解过程中，教师可指导学生构建起一个立体几何模型。如图2所示，连接A1O，作OM垂直AB且相交于点M，作ON垂直于AD且相交于点N，再连接A1M和A1N。然后，可由三垂线定理得出点O在∠BAD平分线上。接着，可由AM=AA1cosπ3=3×12=32导出AO=32姨2，再由A1O2=AA12-AO2=92求得体积是30姨2。在本题的解决过程中，要求学生结合已知条件构建立体几何模型，再得出最后结论。整个过程，学生能掌握立体几何模型的构建方法，形成一定的建模能力。3.向量模型建构能力。平面向量知识也是高中数学中的重点学习内容，在这方面内容的教学中，教师应指导学生学会用向量模型解决空间角度问题，运算空间向量。但是，为了加强学生向量模型建构能力的培养，教师应先注意训练学生的直观想象，培养学生理性思维，再引导学生运用自己已掌握的数学知识科学建立解决空间向量问题的典型模型，从理性思维角度入手深入分析问题，并发挥模型优势提高数学问题解题效率，强化对空间向量的感知力。整个过程，学生不仅能够深刻记忆课堂所学知识点，也能够形成一定的建模能力。例如，在“向量的应用”的教学中，为培养学生向量模型建构能力这一核心素养，教师可设计这样一道数学题：已知M軖A、M軖B满足|M軖A|2+|M軖B|2=4，M軖A•M軖B=0，M軖C=13M軖A+M軖B，求|M軖C|的最大值____。在上述问题解决过程中，教师应引导学生建立起一个平面直角坐标系，在平面直角坐标系中进行求解，设M点的横纵坐标为x、y，再结合x2+y2=1这个已知条件，最终得出|M軖C|最大值是43这个正确答案。通过这一道数学问题的系统化训练，学生会掌握一定的向量模型构建方法，学会在典型的平面直角坐标系模型中解决空间向量问题，快速求出问题答案。4.不等式模型建构能力。在高中数学课堂上，会涉及不等式方面数学知识的讲授，数学教师应尝试引导学生通过构建函数模型解决不等式问题，引导学生运用数形结合思想找到问题解决思路，并通过函数模型的多次构建，简化复杂的数学题目运算。这种教学方式能够培养学生建模意识，让学生的建模能力得到更好的发展。例如，在高中数学课堂上，为发展学生的建模能力，锻炼学生熟练应用模型解决实际问题的能力，教师设计了这样的数学问题：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，a>0，b∈R有极值，且导函数的极值点是f（x）的零点，证明b2>3a。在上述不等式问题求解过程中，教师可引导学生通过构建函数模型解决不等式问题，先求出b关于a的函数关系式，再构建一个函数模型：g（t）=2t9+3t。通过导函数研究函数单调性，证明结论是正确的。整个问题解决的过程中，学生学会了运用函数模型解决问题，形成了良好的建模意识。5.最值模型建构能力。在高中数学课堂上，培养学生的建模能力十分重要。建模过程将体现学生的数学运算、逻辑思维、空间想象等数学学科核心素养，让学生的核心素养得到更充分的发挥，并慢慢养成良好的数学知识应用意识，不再停留于数学理论学习上。例如，在“直线斜率”的教学中，教师可在直线斜率取值范围的讲解过程中引导学生将问题迁移到最值模型上，再利用导数和斜率计算公式等求模型中的最值，获得最终的答案。在这种教学模式下，学生的建模能力会得到进一步的训练，牢牢地掌握数学建模方法的运用。

综上所述，建模能力是高中数学核心素养中的关键能力。数学教师应在考虑学生实际、贴合学生日常生活的基础上，对学生的函数模型建构能力、几何模型建构能力等各类模型建构能力进行培养，让学生通过系统训练慢慢形成良好的建模能力，对数学学习产生浓厚的兴趣，提升数学解题效率。

参考文献：

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[3]何忠贤,刘均锋.构建数学模型培养建模能力[J].高中数学教与学,2013(04).

[4]骆桦,徐映红.提高班拔尖创新人才数学建模能力培养问题探索[J].佳木斯教育学院学报,2012(02).

作者:任井兵 单位:江苏省启东市第一中学