数形结合思想在高中数学的作用

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摘要：数形结合作为一种重要的数学思想方法，将抽象的、复杂的数学问题具体化、简单化，从而达到“以数解形”和“以形助数”的目的。在高中数学教育中渗透数形结合思想，有利于培养学生的数学思想，拓宽学生解题思路，对于学生理解和解决数学问题具有重要的意义。

关键词：高中数学；数形结合；渗透途径

一、以形助数，抽象问题具体化

和抽象的数学语言相比，数学图形具有较强的直观性，对于一些解决方法太过复杂的、运用代数方法难以解决的、数学问题非常抽象的代数问题，这时可以利用数学结合思想将数转为形，然后利用图形的几何性质及几何意义来对问题进行求解。这样可以有效锻炼学生的观察能力和思维能力，提高学生的解题效率。例如，教师讲解“已知<<10a，关于x的方程xaax=log的实根有几个？”这一例题，首先可以引导学生将上述方程转变为两个函数x)(axf=和xxgalog)(=，要求方程xgxf=)()(实根个数，就是函数xf)(和xg)(图像交点的横坐标。图像交点的个数就是实根的个数，为此，做出函数图像是关键。如图1所示，两个函数图像有两个交点，为此，关于xgxf=)()(的实根个数有2个。根据上述例题可知，我们可以借助数形结合思想来解决方程求解或函数交点个数的问题，让学生通过对图形的直观观察，启发解题思路，帮助学生快速的解题[1]。

二、以数解形，图形问题代数化

图形虽然具有形象、直观等优势，但是不具备精确的数量关系和逻辑性。当解决图形问题需要进行定量分析时，就需要借助数形结合的思想，通过仔细观察图形中的几何性质和运动特点，用代数问题来表述图形问题，然后利用所学公式或代数定理来求解问题。例如，讲解“设22)(2axxxf+−=，当)(1>−≥axfx时，，求a的取值范围？”这一例题时，教师可以首先引导学生对题目中的已知条件进行分析，当)(1>−≥axfx时，有，即222>+−aaxx，令22)(g−+−=aaxxx2。则有当x−≥1时函数xg)(图像位于x轴上方。要保证不等式成立，分为两种情况：（1）当0)12(442a<−−=∆时，a(−∈1,2)；（2）当a2≥−−=∆0)12(44且g<−0)1(时，a(−∈1,3)。根据上述例题可知，当对图形中某个参数进行定量分析时，我们无法利用图形来进行求解，而需要根据题目中所给出的条件，进行全面的考虑，这样才能确保答案的正确性和完整性[2]。

三、数形互变，提高解题能力

在求解数学问题过程中，“以数解形”和“以形助数”都有着其各自的奇特功效，但不能完全的解决所有问题，有时在一个数学题目中可能同时需要结合这两种方法，需要“以数解形”的逻辑性、精准性和严密性，也需要“以形助数”的直观性。在解决此类问题时，需要对题目中的数、形及隐含条件进行认真的分析，通过两者的运用，确保求解结果的准确性和全面性。数形互变的思想方法在高中数学中应用非常广泛，常见于求函数的定义域、值域、最值问题；解方程和解不等式问题；三角函数和复数问题中。例如，教师在讲解“已知x，y满足1251622=+yx，求y-3x的最大值与最小值”这一题时。首先引导学生分析对于求解二元函数y-3x在特定条件下1251622=+yx的最值问题，可以采用构建直线截距的方法。设y-3x=b，则有：y=3x+b。那么原问题就可以转化为：在1251622=+yx求一点，使得过该点的直线斜率为3，同时在y轴上的截距b最大或最小。根据已知条件，做出函数图像，如图2所示。当椭圆曲线与直线相切时，有最大截距b1和最小截距b2。将直线方程带入椭圆方程中有：04001696169125)3162222=−++⇒=++bbxxbxx（。由于相切，有0)40016(1694)9622（bb=−××−=∆得到：b=±13，故y-3x的最大值与最小值分别为13和-13。根据上述例题可知，求解此类题目应该从函数本身的形式入手，引入直线的斜率，直线与椭圆相切时利用一元二次方程根的情况来确定参数值。运用数形结合思想，不仅实现了抽象知识和形象知识有效转换，拓展了学生的解题思路，同时也避免了复杂的数学计算及推理，大大简化了解题过程，对于学生数学思维及数学成绩的提高具有积极的促进作用。

四、结语

总而言之，数形结合思想在高中数学教育中的渗透，将“数”与“形”二者之间的变化、联系及运动巧妙的进行转化，将复杂的数学问题直观化与简单化，为学生快速、有效的解答数学问题提供了极大便利，同时也促成学生养成多角度思考问题及放射性思维的良好习惯。为此，教师应该灵活的运用数形结合思想，引导学生在学习的过程中不断领悟并掌握这一重要思想，从而拓展学生的解决思路，提高学生的数学思维及解题能力。

参考文献

[1]魏宁波.渗透数形结合思想,优化高中数学教学[J].数理化解题研究,2014,(1):23-24.

[2]陈荣辉.渗透数形结合思想,提高高中数学教学效果[J].数学学习与研究,2015,(9):58.

作者:徐凤 单位:重庆市万州区龙驹中学