高中数学课堂教学效率分析

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摘要：要提高高中数学的课堂效率，课堂教学必须围绕数学核心内容，充分挖掘数学本质；明确每节课的数学目标，使其细化具有可操作性；充分关注学生的主体，激发学生深层次的思考；有效驾驭课堂生成，适时概括和提升，潜移默化地给予学生帮助。

关键词：数学本质；数学目标；学生主体；概括提升

如何在有限的数学课堂时间内最大限度的完善学生的数学认知结构，提高学生的思维品质，这是我们每位教师研究的永恒课题。思维的升华从有价值的思考开始，学生良好的思维品质的培养，需要教师高水平的预设和高水平的驾驭生成。课堂教学既是艺术，更是科学，通过课堂观察，我觉得如下几个途径值得思考:如何围绕数学核心概念，充分地挖掘其数学本质；如何细化教学目标，使其具有可操作性；如何关注学生的认知基础和心理特征，创设合理的问题情境和结构；如何重视学生主体作用的探究课堂，充分发挥教师的主导作用。前三个方面是教学预设的关键，最后一点更多的体现教师的课堂驾驭能力。

一、围绕核心内容，挖掘数学本质

课堂教学的时间是极其宝贵和有限的，围绕核心内容，洞悉其数学本质，是完善学生认知结构的着力点，学生能力得以发展的增长点。高中课改以来，高中数学内容发生了很大的变化，尤其许多新增的知识是我们很多教师不熟悉的，比如算法、三视图、几何概型等等。这些概念的数学本质是什么，我们在课堂上应该设置什么样的问题，才能够激发学生卷入深层次的思维。是值得我们广大教师特别关注的。以《算法初步》为例，有专家指出算法的本质是程序化的解决问题或者说是解决问题策略的具体化。高中算法教学的实质是通过算法语言的学习，渗透算法的一步一步的思想，逻辑选择的思想，循环的思想，递推的思想，进而培养学生解决问题的能力。但是有一点特别值得注意，承载这些算法思想的是数学知识，所以在高中的数学课堂关键还是挖掘数学的本质特征。比如在《算法的概念》课题研究中，大多数教师能够利用二元一次方程组的求解步骤总结出算法的主要特征：顺序性、明确性、有限性，给出算法的描述性定义。但多数教师对探究问题的处理，对于含有重复步骤的算法，怎样用简洁而准确的数学符号语言展现算法，更确切的说对于引入变量的合理性和必要性剖析不深，没有很好的突破难点，对算法的概念停留在数学之外的表层理解。比如《算法的概念》探究环节：探究：你能写出“判断整数n（n>2）是否为质数”的算法吗？（可以设计一个具体问题，降低抽象性）例.设计一个算法，判断2011是否质数.学情：很多学生会设计出含有省略号的求解步骤，但这不是我们需要的算法。解题核心：怎样用简洁而又明晰的数学符号语言来表达这个算法.问题1.每一步有什么规律可循？设计意图：为引入变量的合理性和必要性创设问题情境。学生总结：均是用2到2010之间的整数除2011，得到相应的余数。问题2.什么样的数学符号可以概括这种重复的步骤。设计意图：将数学的变量思维方法渗透给学生。学生总结：引入变量i和r，用i除2011，得到余数r。教师提升：引入变量后，我们自然要研究它的范围，显然2臆i臆2010，当i>2010或r=0时停止重复。（而不应该在引入变量后，强说要给它一个初始值，还要给一个终止重复的条件）有了以上关于此题算法的主要步骤的分析，或者说明确了算法的算理，学生自己完成算法步骤，已经顺理成章。分析：算法概念这一节，强调算法顺序性、明确性、有限性固然重要，但是怎样用简洁而准确的数学符号语言展现算法，才是我们高中数学算法教学中研究的重点和难点，也是高中数学《算法的概念》这一节核心概念的体现。算法的本质是程序化的解决问题，高中数学算法的本质则是用简洁而明确的数学符号语言表达解决问题的程序化过程。怎样用数学的符号语言简明直观地表达算法的关键步骤，这是设计算法的突破口。从自然语言，到程序框图语言，再到高级程序语句的每一节，承载算法思想的是数学知识，算法教学的重点和难点，仍然是数学知识本身，确定好每一节的核心概念，让学生悟透，才能让学生在潜移默化中领会算法思想，提高解决问题的能力。

二、明确教学目标，使其具体可测

教学目标确定了教学活动实施的方向和预期达到的结果，它是一切教学活动的出发点和最终的归宿，课时教学目标的有效确立与规范表述，是主导课堂教学从经验性设计走向科学化教学设计的关键。课时教学目标是在课程的三维目标指导下确定的具体目标，应该是适合学生先前经验，具有可操作性和可评价的清楚的教学目标。明确、具体、可测是课时教学目标的基本特征。听课视导过程中发现了一种现象，一些老师的教学是盲目的，教案上所写的教学目标随意和形式化，没有认真思索和研究，导致实际教学效果不佳。比如《高三圆锥曲线复习课》：作课老师直接给出一道“以椭圆和直线为背景”的圆锥曲线的综合题。大概给了学生15分钟的时间独立思考和解析此题，然后学生辨析和研讨各种解法（关注学生参与，值得提倡）。因为所设直线方程的形式不同，学生出现了几个解法，老师更多地分析哪种解法容易遗漏、出错的地方和叮嘱学生一定要计算准确。最后临近下课老师总结：解圆锥曲线的解答题一定要方法得当，计算准确。下课后，我和这位教师有一段交流：问：通过这节课，学生收获了什么？教师思索后回答：解圆锥曲线的解答题一定要方法得当，计算准确。问：那么学生体会到怎样的方法是得当的，怎样计算就准确了呢？教师在思索……分析：解析几何解答题一直是高考重点考查的问题，大纲教材版的解析几何试题多是体现两大问题，以点的运动性质确定轨迹的方程，以轨迹方程反过来更深入的研究曲线。解题也有了一套比较固定的解题程序：联立方程，韦达定理求解。但新课改后的高考试题也注重了几何直观的考查。解析几何和向量几何、函数充分发挥了高中数学代数和几何的桥梁作用，是高中数学课程中数形结合思想的主要载体，用代数的方法解决几何问题是解析几何的基本思想，数形结合是解决解析几何问题的突破口。自2007年开始，对解析几何的考查进行了积极而有意义的尝试，其中最具核心思想的是更注重考查考生数形结合思想基础上的图形探究能力，强化自主探究，淡化数值推理运算，对圆锥曲线部分突出了定义和图形几何性质的研究。所以我们在解析几何的教学中除了关注以往大纲教学中圆锥曲线的“数”的特征，还要关注它“形”的特征。解析几何的课程目标：学生能够借助几何直观，运用图形描述和表示问题；能够充分挖掘几何图象的本质特征，把几何条件准确的代数化，尽量减少变量的个数；能够明确算理，关注量与量之间的关系，注重求解模型应用，及时的转化与化归。针对某一节课，我们还应再细化和具体，具有可操作性。没有关注解析几何课程的目标，也没有关注本节课课堂目标的盲目教学只能是低效的。

三、关注学生主体，激发深层思考

数学的基本特征是：高度的抽象性与严密的逻辑性；应用的广泛性与描述的精确性；数学研究对象的多样性和内部的统一性。所以有数学家指出：数学是可以浓缩的，你可以奋力拼搏很长一段时间，一步一步地从不同角度透彻地研究某个方法或概念。可一旦你切实理解了它，并且产生了一种心智的洞察力能把它看成一个整体，那常常就是高度的智力的浓缩。这时你无妨把它存档到记忆的某个角落里，需要用时就能飞快的全部的回忆起来，并且把它当做另外某个智力过程的小小一步。这种浓缩的顿悟就是做数学最真切的乐趣之一。数学在各个层次上都充满了这类现象，永无止境。而在教学中，我们发现很多教师更多的是利用知识的逻辑次序展开，先讲概念和规则，然后给出例子和问题。其实，就数学教学而言最适宜的心理学次序与最高效的逻辑次序往往截然不同。那么如何在学生思维的最近发展区，创设揭示数学本质的，符合学生认知的问题情境，引发学生积极和深层次的思考呢？以《三角函数的周期性》为例，师生通过正弦函数的图象得到周期函数的概念：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有发f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。紧接着教师给出两个问题：问题1：T是f（x）的周期，kT也是f（x）的周期吗？问题2：若f（2x+T）=f（2x），则函数f（2x）的周期是T吗？读者朋友，可以考虑这两个问题是否设置的得当？我们观察的课堂，学生是不知所措的。分析：教师作为数学研究的先行者，应该保护学生的学习兴趣和热情，低下身来，关注我们的学生，关注他们的认知基础和心理特征，在学生思维的最近发展区内围绕当前学习的核心内容，创设低起点的、层层递进的、有逻辑联系的问题串，引导学生通过类比、推广、特殊化等思维活动，促使他们找到研究的问题，形成研究的方法，促进学生在建立知识之间的内在联系的过程中领悟本质。四、驾驭课堂生成，适时概括引领课堂是一个以学生为主体，教师为主导的教和学的统一。听课视导中发现，观念上很多老师能够以问题引领教学，充分发挥学生的主动性，给予他们足够的思维空间和思辨的机会，但在探究性的课堂教学中，教师的主导作用，概括引领的意识和水平还有待加强。（1）思想方法的渗透以《对数函数的单调性》为例：例1.比较下列各组数中两个值的大小：淤1og23.4，1og28.5；于1og0.31.8，1og0.32.7盂1oga5.1，1oga5.9（a跃0，且a屹1）此题看似简单，其实蕴含着重要而丰富的数学思想：转化与化归，函数思想，分类讨论，数形结合等等。但有的教师的教学过程就是“就题论题”，没有深层分析思维的来龙去脉，使得学生在处理教材中的例2时，没有思考的切入点。而有的教师这样引导例1：当我们难以用常规的方法（比如作差法）解决问题或解决起来比较麻烦时，我们可以利用转化与化归思想，借助函数思想，将其看成了某个函数的两个函数值，根据函数的某种性质（比如函数的单调性），利用函数的性质解决问题。通过这种教师的概括与提升，先使学生潜意识中解决问题的方法逐渐地结构化、明晰化，学生才能够合理的迁移和运用它.解决例2也就轻松自然。学生展示：问题：若1oga34约1（a跃0，a屹1），求实数a的取值范围。利用转化与化归的思想：1oga34约1ogaa函数的思想：看成y=1ogax的两个函数值，分类讨论的思想：根据底数a的范围分情况进行讨论。当a跃1，1oga34约1ogaa，34约a，则34约a约1，当0约a约1，1oga34约1ogaa，34跃a，则0约a约34，所以实数a的取值范围为34约a约1或0约a约34.分析：只有在平时的课堂教学中逐渐渗透数学的思想方法，才能转化为学生解决问题的能力，比如高考最后一题运用最多的就是转化与化归和函数思想，我们不能仅靠练习难题提升解题能力，而忽视课本上最能体现数学本质的典型题。（2）通性通法的提炼解决一个问题有很多的角度和方法，教师要能够收放有度，在学生最需要帮助时，明确指出解决此类问题的数学本质和通性通法。比如，“如何将三视图还原为空间几何体”。应从三视图的数学本质出发去思考：三视图就是在三个两两互相垂直的平面中所作的正投影。构造长方体是我们解决这个难点的突破口。任何复杂的问题，利用长方体的切割，均可以解决。长方体具体化了“通过平面图形构想空间图形”这样一个抽象的问题。再如，“如何解决符合几何概型特征应用问题”。应从几何概型的数学本质出发去寻找解决问题的途径：所有试验结果均匀分布或者等可能分布在区域内（线段，平面或者是几何体，角度）。解决几何概型问题的关键步骤为：找出等可能基本事件；找出所有等可能基本事件所在的区域D和随机事件中等可能基本事件所在的区域d，由区域确定测度。教师的概括提升能力，是教师学科素养的体现，合理的概括提升，能够完善学生的学科体系，完善学生的认知结构。

作者:卢艳华 单位:石家庄市教育科学研究所

参考文献：

［1］波利亚.徐泓，冯承天译.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2007.

［2］郑毓信，肖红.从数学哲学到数学教育———数学观的现代演变及其教育含义［J］.课程•教材•教法，2012，（12）：39耀40.