数学思维方法培养

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一,数学方法的培养

如何加强数学方法的培养,我认为应做到以下几点:

(一)教师从思想上重视数学方法的培养.

在备课时把它与数学知识一同纳入教学目的,既要注意数学知识的学习,又要注意数学方法的培养.数学知识,如概念,定理,公式,都明显地写在教科书上,不会被人忽视,而数学方法是无形的东西,容易被忽视.这就需要教师在备课时注意有关的数学方法,留意从知识中发掘,提炼出数学方法并明确地告诉学生,阐述方法的作用,引起学生思想上的重视.

例如在讲到函数应用时,教师不能只满足教学生解出题目结果,而应在解题中教给学生建立数学模型的方法及其目的,意义,并在整个解题过程中培养学生的分析,综合,比较,抽象,洞察等多项能力.我们来看下面一道例题.

【例1】某人有5000元存入银行,准备x年后才取出使用.它有两种方式可供选用

(1)存x年期定期储蓄,当时年利率6.66%,单利计息.

(2)一年期定期储蓄,当时年利率5.22%,到期把利息转入本金一并续存,这样反复进行,x年后结算,即复利计息(假定x年内利率不变).

试比较哪种方法在x年后结算时的本利和要高并求出5年后的本利和.

解:从本题可以看出随着年数的增加,本利和也将不断增加,这样就确定了一种函数的关系,即:年数是自变量,本利和是因变量.

我们设年数为x,设本利和为y.

(1)本金5000元,单利计息x年后的本利和:

y=5000(1+6.66%x)

(2)复利计息各年本利和分别为:

x年后的本利和为:.

这种对实际问题舍去其具体内容,从中抽象出数量关系的方法就属于"建立数学模型"的方法.其中(1)建立的数学模型为一次函数模型;(2)建立的数学模型为指数函数模型.这样再解决x年后的本利和的计算问题就十分清楚了.

我们要将两种计息方法进行比较,分别计算5年后的本利和:

当x=5时,代入一次函数中,y=6665(元).

当x=5时,代入指数函数中,y=6448.54(元).

分析比较结果发现,单利计息的本利和要高出复利计息的本利和.这样,我们又通过不同的数学模型对现实的问题进行了解释,达到了解决问题的目的.

最后给出学生解决此类问题的方法,以此题为例,解决单利,复利计息问题的思路框图是:

数学抽象

(转化为数学问题)

数学证明

实际解释

(返回)

又如下题:

求:

解:要消去被积函数中的根式,可以利用三角公式:

设,

那么

于是,通过变量代换可将被积函数转化成变量t的表达式,即

=

由于所以

利用辅助直角三角形,可得,

所以,

恒等变换不仅在初等数学中有重要作用,在高等数学中也有重要意义.在解题中逐渐渗透恒等变换的数学方法,使学生掌握将复杂问题通过变换转化成简单的问题,将难的问题通过变换转化成容易的问题的数学方法.而幂级数变换,拉普拉斯变换等也都是符合这种基本思想方法的.

在教学过程中,每当遇到这类情形时,教师就应尽力提炼出解决的思想实质,不失时机地告诉学生,使其思路开阔,胸怀全局,不把眼光只局限于枝节的,具体的变换技巧和运算过程.

数学方法不只是证题的技巧性的方法,还要留意那些思考问题的带有一般性的认识论的方法.例如,从特殊到一般,先具体后抽象,先简单后复杂,局部与整体相连系等,把这些思想贯穿于日常的教学中,使其日渐熏陶,理解体会.这样,就会逐渐使学生能站在较高的地位上考虑问题.

(二)在解题的过程中多采用对比的手法以显示方法的优越性.

对比最具说服力,能明显地显示出一种巧妙方法地优越性,并能给学生思想上留下较深的记忆痕迹.

例如:证明,对于任意的正数x,y,z,总有

证明:如果直接去证则难度较大.但若用换元法,令

则原题变为:"如果a+b+c=0,则ab+bc+ca"

由于,所以

从而使原题得证.

又如:求抛物线上与焦点的距离等于6的点的坐标.

解:对此题,大部分学生会想到设点的坐标为(x,y),据题意列出一个二元二次方程组,在去解出x,y的值.这样做运算复杂,容易出错.如果应用数形转化的思想方法,借助于抛物线的图象,在根据抛物线的定义,就会想到抛物线上任意点到焦点的距离与它到准线的距离相等,这样,就得到所求点的横坐标为,再代入抛物线方程,这样就可以求出纵坐标为,则这个点的坐标为.

通过解题方法的对比,可起到示范的作用,使学生看到灵活运用适当的数学方法的优越性,从而引起自觉的注意.同时,教师应当引导学生进行回忆,一方面可以显示方法的作用,另一方面更可使其从联系,对比中学会更灵活地运用这种方法.

(三)对不同类型的数学方法应有不同的教学要求并采用不同的教学方法.

对逻辑性的数学方法,应着重讲清逻辑结构,要求正确使用逻辑推理形式;对容易混淆的地方,如某些命题的否定,某些命题成立的充分条件,必要条件的表述与判定,要反复强调,并用通俗的例子来阐述;对技巧性的数学方法,则应注重培养运用方法的技巧,注意扩大应用方法的范围;对宏观的数学方法,如坐标方法,公理方法,应着重理解其思想实质,认识到它们的重要作用.

(四)注意各种数学方法的综合运用.

一道较复杂的数学问题,常需在解决的不同阶段使用不同的数学方法,各种方法的综合运用,有利于数学能力的提高.

例如:证明

此题使用了放缩法和裂项法.象这样联合使用多种的数学方法,不但会起到巩固,熟练使用方法的作用,更重要的是培养了学生的数学能力.

二,数学思维的培养

数学方法在教学中经常用到,学生易于接受,而数学思维是一个比较抽象的概念,下面我们来了解以下有关数学思维的知识.

(一)数学思维及其性质

1,数学思维

思维是人的理性认识过程.所谓数学思维,是指人关于数学对象的理性认识过程,广义可理解为,包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程.

数学思维与其他思维的区别在于数学科学研究的对象及数学科学的研究方法.数学研究的对象是数量关系与空间形式,而把事物的其他属性看作是无足轻重的.数量关系是抽象,概括的产物.数学所讨论的空间形式也是以现实对象为基础加以理想化的结果.更深一步,人们还可以脱离开具体的几何形象,只是从它们的相互关系极其性质中去认识空间形式.

2,创造性数学思维

所谓创造性思维,是指思维的结果或处理问题的方法带有新颖性,独特性.这种思维并非一开始就建立在严格的逻辑论证之上.

从思维过程的状态来看,创造性思维从总体上总是表现为:

发散以便于联想,寻找各种知识组块之间的可能的组合,发现推理的起点.收敛以便于集中思考,验证由发散思维所得到的方案的可行性,对其补充,修正或提出新的方案.

3,数学思维的性质

(1)抽象性.数学思维的抽象性,是指数学思维的对象与方法而言的.数学思维的对象是事物之间的数量关系或理想化了的空间形式,而它们又不是停留在一次抽象的结果上,通常都是经过多次抽象而形成,呈现为形式化的东西.要认识这些形式化的东西,只有在与别的已经形式化的东西的联系中去认识.数学思维的方法在很大程度上是实现形式的转化,用新的等价形式或更强的形式代替原有形式,而这些转化出的形式又要是已掌握的形式.正是基于这两种原因,使数学思维抽象化.

(2)严谨性.数学思维的严谨性是指思维的依据而言.

(3)统一性.数学思维的统一性是指思维的宏观发展方向而言的.数学科学的研究,总是谋求用统一的理论概括零碎的事实,这样既便于简化研究,又能洞察到事物或现象的本质.例如:线型算子把微分,积分及各种线性运算统一起来.

(二)数学思维的培养

既然数学知识是数学思维活动升华的结果,那么,整个数学教学过程就是数学思维活动的过程.因此,如何通过数学教学自觉地培养学生的数学思维就成为值得探讨的重要课题.

1,通过概念的教学培养数学思维.

数学概念的教学,首先要认识概念引入的必要性,创设思维情境及对感性材料进行分析,抽象,概括.此时,如果教师能结合有关数学史谈其必要性,将是培养学生创造性思维的大好时机.比如,为什么将实数域扩充到复数域,扩充的办法为什么是这样,这样做的合理性在什么地方,又是如何想出来的等等.也就是说,数学概念教学的任务,不仅要解决"是什么"的问题,更重要的是"是怎样想到的"问题,以及有了这个概念之后,在此基础上又是如何建立和发展理论的问题.即首先要将概念的来龙去脉和历史背景讲清楚.其次,就是对概念的理解过程.这一过程是复杂的数学思维活动的过程.教师不仅应激发学生的学习动机,还要进一步引导学生对概念的定义的结构进行分析,明确概念的内涵和外延,在此基础上再启发学生归纳概括出几条基本性质,应用范围以及利用概念进行判断等.总之,要从概念的形成过程中,既培养学生创造性的思维能力,又使他们学到科学的研究方法.

综上所述,数学概念的教学,从引入,理解,深化,应用等各个阶段都伴随着重要的创造性思维活动过程,因此都能达到培养学生数学思维的目的.

2,在数学定理的证明过程中培养学生的数学思维

数学定理的证明过程就是寻求,发现和做出证明的思维过程.数学定理,公式反映了数学对象的属性之间的关系.关于这些关系的认识,一方面,要尽量创造条件,从感性认识和学生的已有知识入手,以调动学生学习定理,公式的积极性,让学生了解定理,公式的形成过程,并要设法使学生体会到寻求真理的乐趣.另一方面,定理一般是在观察的基础上,通过分析,比较,归纳,类比,想象,概括成抽象的命题.这是一个思考,估计,猜想的思维过程.定理的结论最好由教师引导学生独立完成,这样既有利于学生创造性思维的训练,也有利于学生分清定理的条件和结论,从而对进一步做出严格的论证奠定基础.

定理和公式的证明是数学教学的重点,因为它承担着双重任务,一是它的证明方法一般具有典型性,学生掌握了这些方法后可达到举一反三的目的,二是通过定理的证明发展了学生的创造性思维.

综上所述,只有强化数学思维和数学方法的培养,才有利于提高学生运用数学知识解决实际问题的能力,有利于激发学生的学习兴趣,有利于提高学生的学习积极性和自觉性,更好地达到和完成学校教育的任务.

参考数目:

徐利治:《数学方法论选讲》,华中工学院出版社.

钱学森:《关于思维科学》,上海人民出版社.

数学模型:函数.

一次函数与指数