独家原创:高中数学的函数教学研究

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摘要：函数概念是中学数学中的核心概念。然而，传统教学中“一个定义，三项注意”式的概念教学方式依然普遍存在，导致了学生掌握函数概念的水平较低。建构主义是当今世界最有影响力的教育理念，它关注学生的学习过程，提出了认识是一种以主体己有的知识和经验为基础的主动建构，它是对传统教学理论的批判与发展。

关键词：函数概念数学教学

在高中数学教学中，函数内容占了很大的比重，它是高中数学教学的一个重点和难点。因此，学好函数成了高中学生学习数学的热点和难点。由于函数的内容多，而且比较抽象，在教学中，往往会遇到学生听课时听得很“明白”，但解答函数习题时，却又总感到困难重重，无从入手的情况；有时，课堂上老师把某一问题分析完时，总会有学生一拍脑袋：“唉，原来如此，我怎么就没想到呢?”学生为什么会出现这样的情况?如何帮助学生学好函数知识呢?

我国普通高中数学课程标准中把函数作为贯穿整个高中数学课程的一条主线,对函数的内容采用了新的处理方式。准确把握高中数学新课程中函数的定位、要求和处理方式上的变化,对于有效实施函数教学,促进学生对函数本质的理解具有重要意义。

一重点把握几个重要的概念

函数概念的理解是复杂的、困难的，要有一个比较长期的发展过程。对函数概念的理解，首先要从函数对应关系的操作运算(如已知自变量求函数值或己知函数值求自变量等)、各种表征形式的识别等练习开始，并注意提炼出练习中蕴涵的函数关系，从而即能获得解题技能，又形成了函数的过程性理解，在过程性理解的基础上才有可能形成对象性理解。我们教师常常违反了这种理解发展的规律，习惯于直接灌输给学生一些结论性的知识，学生即使记住，也难以理解和应用。表格形式的函数虽然在教材中有安排学习，但本研究发现学生对此的识别水平很低。这是因为认知发展的规律以及遗忘的因素，使函数概念的理解不可能一次性完成。根据笔者的教学经验，教师首先要树立注重理解的教学观念，并且善于在教学中抓住或创造有助于数学理解的机会，从而逐步、反复地建构学生的概念表象，形成深刻的、真实的理解。

1.函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：

某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式？

解：设矩形的长为x米，则宽为（50-x）米，由题意得：

S=x（50-x）。故函数关系式为：S=x（50-x）。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0＜x＜50。

即：函数关系式为：S=x（50-x）（0＜x＜50）。

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，必须注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

2.函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

3.函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点呈中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。

4.函数和不等式

近年来在高考题中函数和不等式相结合的主要有：①函数和不等式的性质与证明相关，如1997年理科24题，2002年江苏22题，2004年江苏理科22题；②函数和不等式的解法相关，如2004年浙江理科选择题13题，2004年上海13题，2005年浙江文科20题，③函数和不等式的综合应用，如1998年文科24题，2001年文科21题，2004年北京19题.不等式可视为两个数值大小的比较。在处理不等式的有关问题时,注意运用函数思想作指导,研究条件所提供的信息,通过观察分析,构造一个适当的函数,然后利用函数图象和性质加以研究,这样往往能使问题获得新颖、简捷明快的解答.高中数学中的不等式都可以表示为f(x)>0(f(x)<0)，或f(x)>g(x)的形式，也可以从函数y=f(x)的图象与x轴的上、下位置关系，或函数y=f(x)与y=g(x)图象的上、下位置关系对其解集做出几何解释。

二调动学生学习函数的积极性，提高课堂效率

在高中函数的起始教学中，教师必须了解和掌握学生的基础知识状况，尤其在讲解新知识时，要遵循学生认知发展的阶段性特点，照顾到学生认知水平的个性差异，挖掘学生的主动性，培养学生学习函数的兴趣。另外，教师可以帮助学生进一步明确学习的目的性，针对不同学生的实际情况，因材施教，分别给他们提出新的奋斗目标，经常使学生产生“成就感”，提高学生对学好函数的自信心。在课堂练习中经常让学生先独立去讲、去做、去思考，老师更多的是做引导、指导。

例如：在讲函数时候，可以向学生举例：

例题1：已知：（fx+1）=x-5x+2，求（fx）；

例题2：已知：（f（fx））=9x+1，求一次函数（fx）的表达式时。先让学生去思考、探索、研究。结果有的学生能够发现几种解法，有的学生在探索中会出现很多问题，并且有些问题是老师事先都无法想到的。然后根据学生解题中出现的问题进行认真分析、讲解、总结，从而使学生在轻松活泼的课堂气氛中学会解题，学到更多的新知识。

三运用函数性质，提高分类讨论能力

分类讨论在指数函数、对数函数和二次函数中应用十分广泛,若在教学中通过例题,向学生充分展示解题思想,可以提高学生的分类讨论能力。

例3解不等式loga(x+1-a)>1。

解析:由于底数a为参数,所以需分0<a<1及a>1两类,故原不等式的解集为以下两个不等式组的并集:

(1)0<a<1；x+1-a>0；x+1-a<a

或(2)

a>1；x+1-a>0；x+1-a>0a

(1)的解集为{x|a-1<x<2a-1};

(2)的解集为{x|x>2a-1},

故当0<a<1时,原不等式的解集为

{x|a-1<x<2a-1}。

当a>1时,原不等式的解集为{x|x>2a-1}。

总之，高中函数的特点决定了高中学生学习函数的困难，但是教学有法，而无定法，打实基础知识却是一个永恒的教学主题。难点是相对暂时的，由浅到深、由易到难的过程，也是每个学生能力提高的过程。教学中积极调动学生的全部智力因素，充分挖掘其学习潜能，重视课堂教学的启发引导作用，培养学生对函数问题多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用的良好学习习惯，同时培养学生在学习、理解、训练应用中有意识锻炼自己合理的逻辑推理、抽象思维和分析解决问题的能力，从而克服函数教学的难点，提高函数教学质量。

四体验数学建模的过程

数学建模就是从研究一个真实世界的具体现象或问题开始，试图把它数学化的过程。例如：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的汇报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。

请问，你会选择那种投资方案？

这就需要解题者能够建立三种投资方案所对应的函数模型，并对模型做出数学化的求解。

五利用函数的多重表示解决问题

函数区别于数学中的其它概念的一个重要方面是，它可以利用语言、符号、表格、图形等多种形式研究对象。多重表示被认为是数学的重要思想，其方法及它们之间的联系与转换被认为是数学学习的中心。所以，让学生通过对函数的各种表达形式的深刻领会与掌握，反过来可以进一步理解函数的本质思想，从而使学生站在一个更高的层次上去利用函数来解决问题，这也是函数教学一个重要目标。例如在上个例子中，可以建立三种投资方案的函数模型并作出三个函数图像求交点；可以列表显示增长情况：

x/天方案一方案二方案三

140100.4

240020100.80.4

340030101.60.8

440040103.21.6

540050106.43.2

6400601012.86.4

…………………

3040030010214748364.8107374182.4

不管哪种表示方法都抓住了自变量与应变量之间一一对应的映射本质，所以，在教学中可以让学生在利用不同方法解决问题之后，反思方法背后的共同点，从而使其体会形式与本质之间的紧密联系。这对他们进一步把握函数思想是十分有益的。

参考文献：