数学文化视角下高等数学教学改革探讨

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摘要：高等数学教学改革是高校数学教师关注的重要问题之一。本研究从数学文化与课程思政在高等数学教学改革中的意义出发，探析新时代提升数学教师的数学文化素养、课程思政建设的意识和能力的迫切性与必要性。

关键词：高等数学；数学文化；课程思政

高等数学又称微积分，是高校理工类专业学生的专业必修课程，又是学生学习专业基础课程的前期必备课程。高等数学的高度抽象性使得很多学生一进入高校的大门便失去了对数学的学习兴趣，从而造成高等数学成绩较差，进而影响到一些相关专业课程的学习。因此，高等数学的教学改革长期以来都是各个高校的数学教师思考的问题。以往的高等数学教学改革，更多关注的是完善知识体系、教学方式方法，以及教学内容的深度、广度问题，忽略了对学生数学素养和思想道德的培养。笔者结合2018年总书记在北京大学师生座谈会上的重要讲话精神、教育部召开的新时代全国高等学校本科教育工作会议精神，以及2020年教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》，从数学文化和课程思政的视角，分享教学过程中的一些感悟。

一、从数学文化视角看高等数学的教学改革

何谓数学文化？历史上，人们虽然很重视数学的发展，但没有将数学作为一种文化形态进行深入研究。20世纪中后期，美国数学史学家M.克莱因首次对数学文化进行了比较系统而深刻的论述。之后，有关数学文化的研究如同雨后春笋般地涌现，取得了丰硕的研究成果。但是到目前为止，还没有一个权威的、公认的关于数学文化的定义。基于研究目的，笔者从课程论的视角来给出数学文化一个定义，即它是指人类在数学行为活动的过程中所创造的客观知识和精神产品。客观知识是指数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等知识成分；而精神产品是指数学思想、数学意识、数学精神和数学美等观念成分。从这一角度来看，高等数学的教学不仅要求学生掌握数学概念、数学定理、数学命题等，还需要教师引导学生去领悟这些客观知识中所蕴含的更高层次的数学精神，体验数学的美感，从而达到提升数学素养的目的。数学文化自然融入高等数学教学过程的意义如下：第一，坚定文化自信，获得文化熏陶。在数学发展的悠悠历史长河中，有许多优美的数学成果都能在中华文明中找到雏形。比如，与高等数学极限理论相关的有：战国时期《庄子·天下》记载的中国最早的“二分法”，“一尺之捶，日取其半，万世不竭”；中国古算书《周髀算经》（成书于西汉或更早时期）中就有“径一而周三”的记载；公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之得到精确到小数点后7位的圆周率，同时给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。这些都体现了极限的思想，这些成果要比西方早近一千年。另外，高等数学中利用积分求几何体的面积、体积等问题的本质是微元法：先分割，再求和。这与我国思想家、哲学家老子的话“合抱之木，生于毫末；九层之台，起于垒土；千里之行，始于足下”是相同的道理。第二，恰当地融入数学文化可以充分激发学生的好奇心和求知欲。高等数学的第一章是数列极限，它是整个微积分理论的基石，这部分的知识如果掌握不牢固将会严重影响后续知识的学习。如果教师一开始上课就讲一些抽象的概念，学生不仅不能理解为什么要讲这些知识，也会因为这些枯燥的概念而失去对数学的学习兴趣。反之，如果教师能以讲故事的方式，将“芝诺悖论”等道理简单却让人困惑的数学问题，呈现在学生面前，自然能激起他们强烈的求知欲望和学习兴趣。第三，培养学生不惧挫折、永攀科学高峰的探索精神。每个人在成长的过程中都会遇到不同的挫折，这既是机遇也是挑战。数学科学的发展完善不是一帆风顺的，在现代数学体系形成的过程中也经历了三次数学危机。第一次数学危机爆发于大约公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的希帕索斯发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，即以2%姨的发现为标志。直到公元前370年，以无理数的定义出现为结束标志。第二次数学危机爆发于17世纪晚期，当时已经形成了无穷小演算———微积分这门学科，但是在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。这些问题引发了第二次数学危机。到19世纪70年代初，魏尔斯特拉斯（Weierstrass）、柯西（Cauchy）、康托（Cantor）等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上，基本上解决了矛盾。第三次数学危机是由于19世纪末在康托的一般集合理论的边缘发现悖论而触发，最终数学家们通过将集合的构造公理化解决了这次危机。三次数学危机经历的时间或长或短，但是在众多数学家的不懈努力下成功化解了危机，并取得了丰硕的研究成果。第一次数学危机的解决扩充了数域，第二次数学危机促进了19世纪的分析严格化、代数抽象化和几何非欧化的进程，第三次数学危机建立了公理化集合系统，推动了数学家对数学基础的研究。

二、从课程思政角度看高等数学的教学改革

何谓课程思政？课程思政指的并不是某一门具体的课程，而是一种教育思想和教学理念，将对学生的价值引领融入知识传授和能力培养。2020年教育部印发的《高等学校课程思政建设指导纲要》指出，全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措。在理工类高校中，高等数学课程的覆盖范围广、占用时间长是其显著特点，它自然就成为各高校落实总书记关于教育的重要论述和全国教育大会精神、全面推进高校课程思政建设、提高高校人才培养质量的前沿阵地。高等数学教学改革的目标之一应是让学生全面了解数学知识的背景、意义和价值，尤其是它的应用性和方法性价值，建立正确的数学观念，并在此基础上培养理性思维，重视推理证明的同时重视探索发现的过程。另外在《高等学校课程思政建设指导纲要》中对课程思政建设的内容和目标都有明确的要求，为结合数学知识发挥高等数学课程的育人功能指明了方向。在高等数学的教学过程中，有效融入课程思政的意义如下：第一，通过中西数学成就对比，激发学生的爱国情怀。中国是四大文明古国之一，有着丰厚的文化底蕴，在高等数学的教学过程中要充分挖掘课程思政元素，培养学生的爱国情怀。函数的微分与积分是高等数学的重要内容之一，牛顿-莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式被称为是微积分学基本定理，它是联系函数微分与积分的重要桥梁。在众多的数学史中都强调的这个公式是由英国数学家、物理学家牛顿从流体力学的角度和德国数学家莱布尼茨从几何学的角度独立发现了这个定理。但是翻阅中国数学史会发现我国古代的数学家刘徽在《九章算术注》一书中记录的割圆术“割之弥细，所失弥少。割之又制，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，便体现了现代微积分的思想，这比西方要早一千多年。再比如十进制记数法是中国人民的一项杰出创造，在世界数学史上有重要意义。英国著名的科学史学家李约瑟教授曾对中国商代记数法予以很高的评价。“如果没有这种十进制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了”，李约瑟说，“总的来说，商代的数字系统比同一时代的古巴比伦和古埃及更为先进科学。”有个成语叫“屈指可数”，说明古代人数数确实是离不开手指的，而一般人的手指恰好有十个。因此十进制的使用也是极其自然的事。第二，通过公式、法则的教学，增强学生的法治意识。数学的显著特点就是严谨、科学，在数学公式的推导过程中只有每一个步骤都有理有据，才能得到正确的结果。因此，教师在讲课的过程中可以引导学生在日常生活中遵守校纪校规，更要遵守各项法律制度，做遵纪守法的好公民。在这个过程中教师既可以正面教育，也可以反面教育。比如讲利用洛必达法则求函数极限时，可以通过典型错题告诉学生，在学习中不按照洛必达法则的要求计算，就会得到错误的结果。同样，如果不遵守学校的考试纪律，就会受到处分；如果不遵守学校的作息纪律，就会因迟到、旷课受到处分；如果在生活中不遵守交通规则，就容易造成事故；如果不遵守宪法法律，就会走向人生的歧途；等等。这样举例，既活跃了课堂气氛，提高了学生的学习兴趣，同时也能培养学生的法律意识，引导学生做良好公民。第三，通过定理、命题的教学，培养学生的科学精神。所谓科学精神就是实事求是、求真务实、开拓创新的理性精神。强调理性与实证性是科学精神的核心，探索与创新是科学精神的活力源泉。数学中的每个定理都蕴含着理性、创新、探索等科学精神的内涵。诸如柯西收敛准则、魏尔施特拉斯定理、拉格朗日中值定理和高斯定理等成果，都是这些数学家勇于探索未知的最好证明。进一步地，教师可通过这些定理的论证，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。

三、新时代下高等数学教学改革

2018年时任教育部部长陈宝生在新时代全国高等学校本科教育工作会议上强调，坚持“以本为本”，推进“四个回归”，加快建设高水平本科教育、全面提高人才培养能力，造就堪当民族复兴大任的时代新人。因此，学生通过学习高等数学不仅要获得良好的数学素养，而且要受到良好的思想政治教育。笔者认为新时代下的高等数学教学改革应该做好以下两件事情：第一，提升数学教师的数学文化素养。南开大学是我国较早开展数学文化教育研究的高等学校之一，数学科学学院顾沛教授在《数学文化课的理念与实践》一文中说过：“数学素养不是与生俱来的，是在学习和实践中培养出来的。我们的教师在数学教学中，不但要向学生传授数学的知识，更要让学生体会数学知识中所蕴含的数学文化，了解‘数学方式的理性思维’，提高学生的数学素养。无论必修课还是选修课，所有的数学课都应该如此；在目前大多数数学课尚未达到这一要求的情况下，以教授数学思想、精神为中心的数学文化课程就更加重要。”在全国高等教育“以本为本”“以学生为中心”的大时代下，数学教师在教学过程中要重点突出数学思想和数学精神，应以有数学文化底蕴的案例来引导学生，以润物细无声的方式提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力。第二，增强数学教师课程思政建设的意识和能力。课程思政既不是要新开设一门课程，也不是要改变原来的课程，而是要把思政这把“盐”融入课程这碗“汤”里，把思政元素自然而然地与原有的课堂教学进行融合。这就要求教师熟练掌握马克思主义立场、观点、方法，系统进行新时代中国特色社会主义精神和中国梦教育、社会主义核心价值观教育、法治教育、劳动教育、心理健康教育、中华优秀传统文化教育，最终通过学科渗透的方式达到思想政治教育的目的。高等数学的教学改革既不可能一蹴而就，也不可能一劳永逸。我们要紧跟时代步伐，与时俱进，以问题为导向，以时代需求为抓手，培养出满足经济社会发展需求的德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人。

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作者：张晓飞 王书敏 李永杰 单位：平顶山学院 郏县第二高级中学