思维导图在高等数学教学的运用

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摘要:通过思维导图方式记录笔记及整理学习思路是提高学习效率的一种有效手段。高等数学是理工科学生的基础课，通过思维导图建立学习框架系统能够有效提高高等数学的学习效率。文章简单介绍了思维导图的概念、建立步骤及常用版式，通过在高等数学课程利用思维导图做读书笔记、讲授课堂小结的教学实例，验证了思维导图能够整理学习思路，条理知识脉络，提高学生学习效率，达到有效课堂教学，取得较好的教学效果。

关键词:高等数学;思维导图;提高学习效率

《高等数学》课程作为理工类大学的一门专业课，要求理工科学生必须具备使用数学语言表述数学规律，能够用数学的思维方式来分析问题。尽管师生充分利用众多的学习资料及网络学习资源，对高等数学课程投入了足够的精力，高等数学课程的教学与学习依然是一个难点。因此，在当代教学活动中，提高高等数学学习效率一直是当前课堂改革的一个研究热点。提高学习效率的手段主要有培养良好的学习习惯［1］、重视反思［2］、实施兴趣教学［3］等。在数学教学中，教师进行有效教学，建立有意义课堂学习的策略之一就是建立学习框架系统，在学习者的大脑中建立一种有效的认知结构，达到有效课堂教学。有序条理的课堂笔记能够促进人们理解数学并有效记忆，如何建立整洁有效的课堂学习笔记是提高学习效率的一种重要学习方法。通过思维导图方式记录笔记及整理学习思路，能够提高发散思维能力，整理知识脉络，建立知识学习框架系统，提高学习效率。20世纪60年代，英国人TonyBuzan提出了思维导图的概念，并将思维导图作为一种记笔记的方法［4］。思维导图强调发散性思维与逻辑思维能力，它将图像与关键字词相结合，运用线条将各级主题关系相连接，刺激大脑记忆。在绘制思维导图过程中通过主动构建内容框架，形成关键词与图像的有效衔接，快速在大脑内部建立内在联系，从关键词出发，思绪像蜘蛛网一样往外扩散蔓延，能够培养全面思考的思维模式。每个关键词都可以看做一个节点，通过有向或者无向的线条建立一个网络，每个关键词可以发散出无数的节点，从而呈现一种网络结构。在这个网络结构中，我们将关键词用线连接起来，形成节点的连接，通过关键词的连线将知识点进行连接，在大脑中建立个人知识数据库。

1思维导图的相关概念

1．1思维导图的概念。思维导图(TheMindMap)是一种利用图像来进行辅助记忆的有效工具。它利用图像与文字的结合，把具有不同权重或者不同地位的内容放置于圆圈或者方框等符号之中，并用线段将相关内容连接，建立关键词与记忆的有效衔接，通过颜色、线条、符号、数字、文字等方式刺激大脑，建立网络结构，促进有效记忆。1．2绘制思维导图的步骤。(1)中心主题。对内容建立逻辑次序，寻找关键词，将关键词定义为中心主题。(2)主干。从中心主题出发，寻找与其相关的关键词，将这些关键词作为其延伸出来的分支。选择与中心主题联系最密切、最相关的分支作为主干，并用特殊线条进行标记。(3)支干。从各个主干延伸出来的小的分类，用较细的线条标记，与主干进行区别。(4)对具有逻辑推理次序的内容用箭头表示，体现内容之间的逻辑次序。(5)使用图像、线条、关键词、色彩来构建合理的思维导图，要有逻辑布局，能体现逻辑次序，并具有视觉效果，使得内容方便记忆，紧抓要点，提纲挈领。1．3思维导图的常用版式。(1)逻辑线型。从左到右，从上到下，内容为并列关系。(2)路径型。有次序，有逻辑顺序。(3)有向图型。按照内容之间的顺序关系建立有向图，按照有向图的形式绘制思维导图，能够明显看出内容之间的复杂逻辑顺序。(4)树状图。它是一种利用关键词按分支关系组织起来的网络结构，主要体现内容之间的层次关系。

2思维导图在高等数学中应用的可能性

在目前的教学活动中，常见的教学方式为板书与PPT教学。判断课堂有效教学的方式有课堂习题答疑，课后检查教学笔记，批阅课后作业等。即使采取多种手段，课堂教学效果依然取决于学生在课堂上对知识的理解与掌握程度，那么课堂笔记的记录就尤为重要。思维导图的最初目的就是改进笔记方法，对于高等数学课堂教学当然也可以尝试。很多人学习高等数学之后，发现很难理解概念，如果没有及时整理归纳，记忆将会随着时间逐渐减弱。在学习过程中，将教学内容用图示展现出来，利用思维导图整理学习思路，从而让学生学会建立条理的课堂学习笔记，能够增加对高等数学课堂学习内容的理解，并在最大程度上消化内容，提高学习效率。从教师的角度来看，在教学过程中引入思维导图，将知识点有序串联，能够通过有意思的图示及重要的关键词信息，刺激学生大脑记忆，促进学生对高等数学各个知识点的理解与认知，帮助学生建立自己的高等数学内容框架体系。在板书教学中，教师可以在授课环节或者课堂内容小结部分按照实际课堂需要，引入思维导图，在黑板上利用各色粉笔与其他辅助教学手段在黑板上呈现课堂内容之间的联系，引导学生思维，帮助学生将知识体系建立起来，在大脑中建立关键词与内容的有效衔接。在PPT教学中，教师利用多种形式的PPT动画及图像，还可以添加动画、颜色、线条、超链接等辅助手段来勾勒教学内容的整体轮廓，提高学生学习兴趣。从学生的角度来看，思维导图通过提取关键词找出各个知识点的逻辑关系，对其进行分类，总结概括要点，提炼观点，将知识点以由点到面的方式进行有序衔接，帮助学生整理思路，提高学习效率。在课堂学习中，学生引入思维导图方式来记录笔记、做好笔记，做到有层次、有重点、有要点，能在笔记中看出学习思路与课堂重点知识。在课后复习中，利用思维导图，学生建立起课堂内容学习体系，能够找到本节课中心思想与要点知识，通过关键词的分支与延伸来理清思路，达到事半功倍的效果。

3实例

在高等数学教学中将思维导图作为教学与学习工具，将其应用于做笔记，做总结，进行知识归纳，整理知识梳理等。特别注意的是在建立思维导图时对关键字词的选择需要满足两个基本原则:尽可能简洁、能阐明关键信息。总之，思维导图就是找到中心，围绕中心进行梳理，核心为简化旁支、凸显重点。3．1读书笔记。以同济大学版《高等数学》［5］教材的第三章第一节内容为例，在学习第三章第一节时，如果不用思维导图，做的笔记可能为:罗尔定理:如果函数f(x)满足(1)在闭区间［a，b］上连续;(2)在开区间(a，b)内可导;(3)在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么(a，b)在内至少有一点ξ∈(a，b)，使得f'(ξ)=0。罗尔定理的几何意义:如果连续的曲线弧两个端点处的纵坐标相等，且除端点外处处有不垂直于x轴的切线，则曲线弧的最高点或者最低点处，曲线有水平的切线。拉格朗日中值定理:如果函数f(x)满足(1)在闭区间［a，b］上连续;(2)在开区间(a，b)内可导;那么在(a，b)内至少有一点ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)=f'(ξ)(b－a)。拉格朗日中值定理的几何意义:如果连续曲线的弧除端点外处处有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点，使得曲线在这一点处的切线平行于曲线弧对应的弦。柯西中值定理:如果函数f(x)及F(x)满足(1)在闭区间［a，b］上连续;(2)在开区间(a，b)内可导;(3)对任一x∈(a，b)，F'(x)≠0，那么在(a，b)内至少有一点ξ∈(a，b)，使得f(b)－f(a)F(b)－F(a)=f'(ξ)F'(ξ)。柯西定理中值定理的几何意义:如果曲线弧由参数方程表示，除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点，使得曲线在这一点处的切线平行于曲线弧对应的弦。分析:常规笔记仅仅是对内容的归纳，从笔记中可以看出对第一节内容要点为罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。在常规笔记中能够得到的信息为三个定理满足的条件与结论及三个定理分别的几何意义，对内容进行了归纳与整理，但是三个定理之间的关系与联系并没有体现，说明对于这个笔记的整理仅仅是对主要内容的提炼，还需要对其做进一步的探讨。思维导图笔记(如图1所示):分析:根据内容之间的联系，通过树形图，建立了思维导图笔记，体现了三个微分中值定理的条件之间的联系与区别。从图1可以看出，思维导图笔记将三个定理共同的条件放在虚线框内，三个定理之间的关系利用箭头进行体现。定理的条件与结论是学生记忆的一个难点，在思维导图笔记中将结论用中值定理的几何意义来代替，能够促进学生深刻记忆结论并便于理解几何意义。在思维导图笔记中可以看到，篇幅进行了缩减，但是关键信息进行了保留，而且通过图示可以明显看出三个定理的联系与区别，虽然没有写出微分中值定理明确的结论，依然可以通过几何意义来简单得到，体现了对内容的高度凝练。在建立思维导图笔记的时候形式多样，可以根据个人习惯进行增减，也可以添加颜色、线条、文字等辅助工具。3．2目录。目录是天然的思维导图。通过目录，可以明显的看到一级二级三级内容的层次关系。以同济大学版《高等数学》第二章导数与微分为例，在学习第二章课程内容之后的课堂总结中，可以利用这一章的目录来建立思维导图(如图2所示)，第二章的标题为中心主题，按照每一个小节的题目作为关键词作为主干，每一节的小标题为支干。按照个人习惯，可以采用其他类型的思维导图版式，并可以进一步继续细化，甚至还可以补充一些教学内容的重要结论作为分支。分析:利用目录建立的思维导图，明显体现了教材对教学内容的有序整理与层次分析，利用联想记忆，将一个个知识片段衔接起来，能简单建立知识框架结构。3．3归纳内容。利用思维导图来整理教学内容，以章节目录为中心主题，对教学内容进行归纳整理，并对目录中的内容进行一定程度的调换，使得思维导图形式上和内容上满足实际教学需要。以同济大学《高等数学》教材第一章为例，在这一章内容教学结束后的课堂总结上，由于不同小节内容方面有所关联，我们不能简单粗暴的利用目录直接建立思维导图，而是需要调整与整理分支，使得满足归纳总结需求，从而建立整理后的思维导图(如图3所示)。分析:在这个思维导图中，主体还是目录的章节表示，但是将部分内容进行了调整，并且形式上分了主要与次要，按照人们的阅读习惯，将主要的极限部分放置于右侧，将概念、定理、性质放置于左侧，在极限的运算部分，对极限的运算法则进行归纳整理，分为四个分支，体现了对数学知识的逻辑整理与有序，促进学生对整体概念的把握。

4结论

通过分析，我们发现，在高等数学教学中引入思维导图能够建立内容框架结构，整理教学内容，对知识的逻辑性与有序性进行进一步的开发，辅助学生理清思路，提高学习效率;作为课程内容的可视化体现，有助于刺激大脑协作，增强记忆力，提高学习兴趣。思维导图能最大程度激活认知发展，有助于将新知识纳入旧的认知结构中;思维导图利用鲜艳的色彩与明显的标志性符号对知识进行标注，有助于提高学生学习兴趣;以思维导图作为教学与学习工具，有助于提高逻辑推理能力和发散思维能力，使学生迅速掌握重点与重点间的逻辑关系;思维导图的建立使得师生思路清晰，能够简单清晰地将内容脉络呈现出来，便于记忆，有助于开发大脑潜在能力。总之，引入思维导图的教学模式，将其体现在高等数学的教学过程中，例如课堂教学的导入、授课、

等各个教学过程中，通过将关键词进行有条理、有层次地衔接，将枯燥的数学知识点利用生动有趣的图示进行展现，在大脑中建立高等数学内容知识框架，最终实现有效的数学学习。

参考文献:

［1］吴雨明．学习习惯:提高学习效率的切入点［J］．职业技术教育，1997(11):46－47．

［2］余峥嵘．重视反思提高学习效率［J］．教学与管理，2002(5):70－71．

［3］全柱尧．实施兴趣教学提高学习效率［J］．生物学教学，2000(5):23－24．

［4］杨凌．概念图、思维导图的结合对教与学的辅助性研究［J］．电化教育研究，2006(6):59－61．

［5］同济大学应用数学系．高等数学［M］．5版．北京:高等教育出版社，2002．

作者:刘芳 单位:忻州师范学院数学系