初中数学函数问题数学思想研究

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函数应用题一直是中考数学的必考内容，部分学生缺乏对这部分内容系统的解题思路与计算方法的学习，在解决这类问题时存在一定的困难.在初中数学函数部分的教学中，对这一部分有所涉及，也进行了一些相关知识的讲解和训练，但是缺乏对函数问题的解题思路与解题技巧的深入研究和专项训练.现阶段关于初中数学函数应用题的理论与实践研究较为有限.本文以人教版初中数学为例，结合理论与教学实际，梳理解答函数应用题的常用技巧，总结了常见的问题形式与解题思路，以期引起更多师生的思考.

一、核心思维能力

学生在解决函数应用题时最关键的就是把握一次函数、一元一次方程、一元一次不等式组、二元一次方程组及一元二次方程等最基础的概念的内涵，与此同时，学生需要把握一元一次方程与不等式及二元一次方程组的概念和关系，熟悉哪种具体问题情境对应的是哪种函数模型并写出相应的函数关系式.同时要求学生学会结合函数的图像讨论函数的性质，将实际问题与数学问题结合起来，感受函数在解决运动变化问题中的重要作用.学生首先要具有将实际生活问题转化为函数模型的能力，在此基础上列出相应的函数关系式.在学生求解函数应用题的过程中，解方程的过程并不是这种类型题练习的重点，学生更需要加强的是在分析、思考与解题的过程中提高自己应用一些数学思想的能力，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想等，通过系统、科学的习题训练增强学生数学思想方法的实践能力并提高学生的解题速度.

二、函数应用题知识储备要求

1.基础———解方程和不等式的能力和熟练的计算能力及技巧.学生在解决函数应用题的过程中，列出方程式或不等式是最关键的一步，能否正确算出答案也是非常重要的.这就要求学生熟知解方程和不等式的正确步骤，同时要想快速解出结果，对学生的运算能力也有一定的要求.教师在教学过程中要注意训练学生的基础知识应用能力和解题技巧熟练程度，这样可以帮助学生更高效地解题.2.关键———基本函数和不等式的概念及其关系.解决函数应用题最重要的是把题目中的实际问题抽丝剥茧并将其转化为列出函数关系式的一个个条件，从而准确把握解题的关键步骤.学生要熟知每一种函数模型及不等式的基本形式，这样才能快速地根据条件列出相应的函数关系式或不等式组.思考的角度不同可能会产生不同的解法，但是最简便和快速的方法只有一种，这就是提高学生解题能力和速度的关键.因此，在教学过程中，教师不仅要要求学生解出问题，算出答案，更要注重学生分析题目条件能力的提升，使学生解决函数应用题的能力得到系统提升.3.根本———方程、不等式与函数之间的密切联系.一元一次方程和不等式是函数部分的基本概念，有一元一次方程和不等式及一元二次方程和不等式两种.对于一元一次方程和不等式，在初中函数应用题中一般涉及的是一元一次不等式与一次函数的应用及对题中所给图表信息的提取，需要根据题目信息设出方程或列出不等式并求解，这体现了方程、不等式与函数之间的密切联系.另一方面，有少部分应用题也会涉及一元一次不等式组及一元二次方程或二元一次方程，这对学生根据题意设出方程的要求就更高了，要能够辨别题中涉及的函数模型是哪一种.此外，要对不等式组的应用与方案设计有一定的了解.

三、常用方法例析

1.一元一次方程应用题.案例1：李兰、王敏两人分别从北京、上海两地同时出发，匀速相向而行.李兰的速度快于王敏的速度，李兰到达上海后，王敏继续前行.设出发xh后，两人相距ykm，如下的折线图表示这两个人从出发到王敏到达北京的过程中y与x之间的函数关系.要求依据图中所给出的信息，求：（1）点Q的坐标，并说明它的实际意义；（2）李兰、王敏两人的速度.解析：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b.把（0，10）、14，152两点的坐标代入，得152=14k+b，b=10，解得k=-10，b=10.所以y=-10x+10.当y=0时，x=1，所以点Q的坐标为（1，0）.点Q的意义：李兰、王敏两人分别从北京、上海两个不同的地方同时出发，1个小时后两人相遇.（2）由图像可知，在第53小时，李兰到达上海.李兰的速度为10÷53=6（km/h）.设王敏的速度为mkm/h.由两人经过1h相遇，得1×（m+6）=10，解得m=4.所以王敏的速度为4km/h.答：李兰、王敏的速度分别为6km/h、4km/h.2.一元一次不等式组及其应用.案例2：大庆红地炼钢厂某车间生产特等钢一、特等钢二两种钢的相关信息如表1所示，请你回答下列问题：（1）设这个车间每个月生产特等钢一、特等钢二两种钢各x吨，可以赚取的费用分别为y1元和y2元，分别求出y1和y2与x的函数关系式（注：利润=全部收入-全部支出）.（2）已知这个车间每月生产特等钢一、特等钢二两种钢都不超过400吨，若任意一个月要生产特等钢一、特等钢二共700吨，求这个月生产特等钢一、特等钢二各多少吨，按照这种生产方式可以获得的利润最大？这个最大利润是多少？解析：（1）依题意得：y1=（2100-800-200）x=1100x，y2=（2400-1100-100）x-20000=1200x-20000.（2）设该月生产特等钢一x吨，则生产特等钢二（700-x）吨，总利润为W元.依题意得：W=1100x+1200（700-x）-20000=-100x+820000因为x≤400，700-x≤400，所以300≤x≤400.因为-100＜0，所以W随x的增大而减小，所以当x=300时，W最大=790000元，此时，700-x=400.因此，分别生产特等钢一、特等钢二300吨和400吨时，厂家可以获得的利润最大，这个最大利润为790000元.3.二元一次方程组应用题.案例3：李安在某店购买两种不同的文具共三次，仅有其中一次购买时，两种文具同时打折，剩下的两次均按原价购得，三次购买文具小刀、铅笔的个数和价格如表2：（1）李安打折购买文具小刀和铅笔是第几次购物？（2）求出文具小刀、铅笔的原价.（3）若商品小刀、铅笔的折扣相同，商店是打几折售卖这两种文具的？解析：（1）因为第三次购物的价格和费用显示李安买的文具较多但是费用比较便宜，所以李安打折购买文具小刀和铅笔是第三次购物.（2）设文具小刀的原价为x元，文具铅笔的原价为y元.根据题中表格信息，可得6x+5y=1140，3x+7y=1110，解得x=90，y=120.答：文具小刀的原价为90元，铅笔的原价为120元.（3）设这个商店打m折出售这两种文具.由题中信息，得（9×90+8×120）×m10=1062，解得m=6.答：商店是打6折出售这两种商品的.4.一元二次方程应用题.案例4：菠萝零售户以2元/千克的价格购进一批优质菠萝，以3元/千克的价格售卖，日均可卖出200千克.为了促销，该经营户决定降价销售.经走访周围居民发现，该优质菠萝每降价0.1元/千克，每天可多卖出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.若该零售商户想每天获利200元，应将每千克优质菠萝的售价减少多少元？解析：设将每千克优质菠萝的售价降低x元.根据题意，得（3-2-x）200+40x0.1-24=200.解得x1=0.2，x2=0.3.答：应将每千克优质菠萝的售价降低0.2元或0.3元.

四、总结

对于学生而言，运用函数和不等式知识解决实际生活问题的应用题还是难度比较高的，对初中生的数学思维能力与分析题目并一一列出方程所需条件的能力要求较高，因此这类题目对学生来说还是有一定的难度的.同时，部分学生缺乏对这部分内容内部联系的深入思考，往往会对自己的分析过程缺乏信心.这些现状就要求教师在日常的教学活动及习题训练过程中牢牢把握函数及不等式应用题的不同类型与考查形式，全面梳理常用的思维方式与解题技巧并强化训练，以此提升学生解决函数及不等式应用题的能力，培养学生的数学思维，此种教学方式对于增强学生学好函数类型应用题的信心也有很大程度上的帮助.

作者:谈为伟 单位:江苏省西安交通大学苏州附属初级中学