反证法在初中数学解题的运用

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摘要：在初中数学的教学和学习过程中，反证法是一种非常常见的解题方法，它可以有效简化数学问题，提高解题速度与解题正确率，锻炼学生的逻辑思维能力。在初中数学解题过程中，反证法的应用十分广泛。尤其是针对一些无处着手的数学问题，反证法的解题技巧可以帮助学生迅速获得解题答案。基于此，本文概述了反证法的理论和分类等，重点针对反证法在初中数学解题中的应用进行了详细的分析，以供参考。

关键词：反证法；初中数学；解题；应用

反证法的应用思路是先将结论否定，然后依次为基础展开论证，并根据已知命题和推理原则得出与已知题设相矛盾的结论，进而确定论题的真实性。由此可见，反证法的应用并不需要直接证明结论，而是通过否定与结论相反的一面来证明事物的真实性。这是一种间接的、让步的证明方法。巧妙地应用反证法可以让人有一种茅塞顿开的感觉，并且解题过程简洁、明快，被誉为“数学家最精良的武器之一”。而且在初中数学解题中，巧妙应用反证法可以有效培养学生的逆向思维，提高学生的数学问题解决能力。

一、反证法的概述

反证法在初中数学解题中属于较为特别的解题方法，尤其对于一些无从下手的难题往往有较好的解题效果，但要想正确有效地运用需要准确细致地了解反证法的相关理念，下面进行具体论述。（一）反证法的基本理念。先对原命题进行否定，然后再找出必要的矛盾，就可以对原命题进行论证。也就是说，在证明一个命题的时候，可以先假设命题结论的对立面是正确的，再由已知条件得出两个相互矛盾的结论，或者与数学定理、公理、已知条件等相矛盾的结果，就可以说假设不成立。而在说明假设不成立的同时，也就代表着原命题的成立。这就是反证法。（二）反证法的理论依据。反证法的理论依据为矛盾律和排中律。矛盾律的意思是，在同一个证明过程中，如果两个相结论相互对立，那么其中一个必然是错误的。而排中律的意思是，同一个命题只有两种可能，要么为真，要么为假。排中律的特点是，解题者必须要有清晰、明确的思维，不仅要确定自己的思维逻辑，还要明确自己的立场。要想有效地运用矛盾律和排中律解决数学问题，就一定要避免出现逻辑矛盾，如果逻辑思维不符合排中律，那么必然也不符合矛盾律。但是矛盾律更加强调当两个结论彼此对立的时候，其中一个结论必然是错误的。而排中律则强调两个结论相互否定，就会存在一定的正确结论[1]。（三）反证法的逻辑依据。与直接证明法一样，反证法的推理过程也有着一定的逻辑规律。很多人认为“原命题与逆否命题等价”，就是反证法应用的逻辑依据，只有明确了四种命题之间的关系，才能够将反证法的基础知识掌握扎实。但是这种理解是错误的，因为原命题与逆否命题之间的等价关系，正是通过反证法推理出来的，将反证法理解为“证明与原命题等效的逆命题”更是不准确的。只有在矛盾假设推理出来的结果正好是题设的时候，我们才可以将被证明的命题视为原命题的逆否命题。（四）反证法的分类。一般情况下，我们可以将反证法分为以下两种。第一种是归谬法，即对原命题的结论进行否定，如果只有一种情况，那么只要证明这种情况是错误的，就可以证明原命题结论成立。第二种是穷举法，即对原命题的结论进行否定，其结果有多种情况，那么就只能将所有情况进行逐一否定，才能证明原命题结论成立。

二、反证法在初中数学解题中应用的重要性

在初中数学的教学和实际解题过程中，应用反证法不仅可以提高解题效率和解题的正确性，同时反向的思维方式还可以提高学生的数学思维与逻辑能力，改进和丰富初中数学的教学方法，增加数学学习的趣味性并提高学生学习的兴趣，以上均可以整体推动数学教育的发展与进步。（一）提高了学生的数学思维能力。反证法的解题思维与常规性的数学解题思维完全相反，所以反证法的应用可以对学生的解题思维产生新的启发，进而提高学生的数学思维能力。当面对数学问题的时候，学生往往会习惯性地运用常规性方法展开思考与分析，但是还有相当一部分的数学问题，很难通过常规方法获得答案，只有从反面思考才能找到解题突破口。所以，在初中数学解题过程中，反证法的应用可以拓宽学生的解题思路，让学生思考并尝试更多非常规的解题方法。久而久之，学生的数学思维能力也就得到了有效提高。（二）推动了数学教育的发展与进步。面对数学问题，如果初中学生长期使用正向思维，很容易形成一种定性思维，甚至对学生多样化的思考方式产生限制，影响学生对问题的多角度思考的同时，也让学生对枯燥的数学学习无法提起学习兴趣。随着新课程改革的不断深化，在数学知识的学习方面，对于学生也提出了更高的要求，即学生不仅要掌握足够的基础知识，为后期数学知识的学习打好基础，还要学会多角度的分析数学问题，运用多种数学思维获得问题答案。另外，掌握了反证法的应用技巧的学生，还可以将这种数学思维应用到日常生活中特殊问题的解决当中，而这正好为数学教育的发展提供了有力的支持。（三）改进了初中数学的教学方法。反证法不仅是一种常用的数学解题方法，还是一种重要的数学解题方法，与常规的数学解题思维有着很大的差异。在新课程改革不断深化的背景下，数学教师必须要按照新课程的教学要求实施教学活动，并加强新型数学解题方法以及数学思维模式的学习，保证教学质量。而反证法的巧妙应用，不仅可以简化数学问题的解析过程，还可以保证数学问题的解析效率。另外，教师合理地应用反证法，还可以加深对现有数学教学方法的深思，并在教学实践中进行自身教学方法的不断的优化和调整。只有不断尝试新的教学方法，才能够不断激发学生对数学知识的学习兴趣，让学生体会数学问题的解题乐趣。

三、反证法在数学解题中的应用步骤

反证法在数学解题中的应用步骤，主要有三步：第一反设，第二归谬，第三结论。首先，反设，这是应用反证法解决数学问题的基础，反设的正确与否，直接影响着数学问题的解题进度与解题结果。要想进行正确的反设，第一要明确题设条件与结论，第二全面详细地找出与结论相反的架设，第三对结论进行肯定或者否定。为了提高反设的正确率，可以引导学生熟知常用的几种互为否定词。例如“是”的反义词是“不是”，“都”的反义词是“不都”，“大于”的反义词是“不大于”，“小于”的反义词是“不小于”，“有限”的反义词是“存在”，“存在”的反义词是“不存在”。另外，针对至少有1个，至多有n个，至多有1个等证明结论的反设，就需要用心琢磨，了解“一个也没有”“最多有两个”以及“至多有n个”的含义。其次，归谬，这是应用反证法正确解决数学问题的关键，也是应用反证法的难点所在。主要是通过反设来得出矛盾，需要解题者明确推理方向反设后条件部分，明确如何找出矛盾。最后，结论，即通过反证法获得预期结果。归谬得出的矛盾是因为反射才产生的问题，并不是所谓的新理论。只有这样，才能够得出原命题成立的结论[2]。

四、反证法在数学解题中的应用注意事项

反证法是通过验证与所求结论相反结论的错误性来得出所求结论的正确性的一种数学解题方式。在实际解题过程中，要注意以下几点才能正确有效的运用，并得出正确答案。（一）正确否定结论。在数学问题的解决过程中，要想巧妙地应用反证法获得问题答案，必须要对结论进行正确的否定，这是应用反证法解题的前提。例如，针对“在一个三角形中内角最多只有一个直角”的题设，将“最多只有一个”进行反设，就是“一个三角形中三个内角可以有两个直角或者三个直角。”所以，要想正确应用反证法解决数学问题，必须要注意到实际的题型结构，然后通过对原始结论的否定来对原结论进行肯定。而要想对原始结论进行否定，就必须要在正确的逻辑推理过程中发现矛盾或者制造矛盾。由此可见，反证法的应用可以有效训练学生的逆向思维，进而增强学生的思维能力，提高数学教学质量[3]。（二）明确推理特点。在数学问题的解决过程中，要想巧妙地应用反证法获得问题答案，就需要先否定结论，再推导出矛盾。但是会出现什么样的矛盾，或者推导到什么程度会出现矛盾具有一定的不确定性。但是可以通过相关领域的联想来猜测矛盾的种类。例如，如果题目是与平面几何相关的问题，那么就要联想与平面几何相关的公理、定理以及定义等。而且只要做到反设无误，推导过程严谨，逻辑正确，就可以自然而然地找到矛盾，证明结论。（三）了解矛盾种类。常见的矛盾主要有以下几种形式：第一自相矛盾，第二与假设矛盾，第三与已知条件矛盾，第四与数学定理、公理以及定义矛盾。与直接证明法相比，反证法的应用可以跨越一些解题阻碍，简化解题步骤，而且通过反设还可以增加解题条件，快速得出结论。

综上所述，在初中数学的解题实践过程中，反证法是一种非常有效的数学解题方法，很多看似无从下手的问题，使用反证法都可以迎刃而解，而且解题的效率非常高。但是反证法的应用具有一定的难度，学生很难在短时间内掌握。所以初中数学教师要讲究一定的方式方法对反证法的知识点进行教授，对反证法的概念、种类、解题步骤以及适用的题型进行充分详细的讲解和反复强调，让学生形成深刻印象才能更好地应用。笔者着重分析了反证法在初中数学解题中应用的重要性，并对反证法的步骤和解题时应该注意的事项进行了详细的论述。只有采取有效的措施加深学生对于反证法的理解，熟练反证法的解题步骤，学生才能够在实际解题时信手拈来做到熟练运用，才能够熟练地假设问题的矛盾，明确解题思路，正确获得问题答案，同时节约答题时间。

参考文献：

[1]张良江.善进退巧迂回———例说初中数学间接解题策略[J].初中数学教与学，2018（11）：12.

[2]贺晋，刘海峰，谢新兴.从反证法应用体会数学的逆向思维习惯养成[J].当代教育实践与教学研究（电子刊），2014（4）：26.

[3]王淼生，陈莉红.例谈反证法在中小学数学中的精彩演绎[J].江西教育，2017（5）：14.

作者:马多贵 单位:甘肃省民乐县第四中学