初中数学标尺作图教学探讨

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与几何从课程板块分布层面看，初中数学课程主要分为数和代数、概率统计、图形和几何三类板块，对受教群体的空间想象力、思维逻辑力、推理能力具有显著提升意义。初中阶段标尺教育学能够有效推进学生由经验认识、理论认识向实践认识、结论验证意识等维度的转化，为深入剖析标尺教学的基本情况与革新指向，现选取初中两个班级学生为调查样本，对标尺作图的个体认知水平、教学实践模式及成效测评机制进行了综合调查。

一、初中数学教材对标尺作图教学的要求

参照《新课程标准》的指导理念，初中数学教材提出了“图形与几何”部分对标尺作图的要求，即在标尺作图过程中，应对作图原理进行深入解读，保持必要的作图痕迹，不要求写出具体的作法，即倡导受教群体了解与掌握标尺作图的基本概念与功能属性，根据具体实例问题来对作图步骤进行初步认识，并着力实现以下几类教学目标：其一，能够借助标尺来做已知线段或角度的垂直线、平分线及具有一定夹角的线段；其二，能够分析不处于同一直线的三点的位置关系，并可作三点画圆、多边形内外接圆；其三，根据常规标尺作图的基本流程与概念机制，了解并掌握相应变式练习的基本思路与绘制模式。标尺作图涵盖了点、直线、圆形及直线位置关系等多个绘制取向，对初中数学逻辑思维与几何教学模块概念的深层次建构有着直观的推进意义。一般来说，标尺作图强调学生的空间几何想象能力、图形绘制能力及思维逻辑定位能力，整个图形绘制过程呈现出明显的直观性、实效性及灵活转变性等综合特征，对其绘图技巧及标尺操作技能提出了更高层次的要求。同时，相关教学参与主体应充分认识作图工具的限制所带来的学科挑战性。标尺作图过程要求，直尺只可用来作直线，不能借助直尺的刻度功能进行数据测量，此种特殊的功能属性在极大地激发学生个体创新分析与解决问题能力的同时，关注几何知识判别与抽象思维建构能力的统筹发展。

二、初中数学教学中标尺作图教学的重要性

就当前初中数学教材的基本内容指向及几何作图的相关解题思路而言，现有的空间几何图形教学机制难以满足受教群体创新意识与动手操作能力的多维度发展。标尺作图侧重强调学科空间观念及个体想象力的深层次发展，如解答并完成“用标尺作一条线段，使其与已知线段长度相等”这一问题时，可将圆规展开量取已知线段的长度，在前期已做好的射线上量取相应的线段，使其与已知线段长度相等。在图形截取的过程中，实际上是以已知线段的长度为半径画圆，寻求新绘制圆与现有射线的交点，保证交点到射线端点的距离与已知线段相等。这一过程也可看成是平移变换过程，即将线段按照特定中心进行旋转与标尺测量，推进受教个体对图形运动、线段转换、结论证明、精准作图及逆向逻辑思维等方面的贯彻发展。标尺作图作为解决常见几何问题的关键要素，有助于深入推进学生主体的问题意识与社会意识[1]。

三、初中数学教学中标尺作图教学情况调查与结果分析

本研究选取初中两个班级103名初中生，以调查问卷的形式展开调查。调查问卷内容主要是以下四个方面。①标尺作图的概念是什么？②目前能够用标尺作图的方法绘制几类基本图形？请将图形绘制出来。③请将标尺作图的步骤完整描述出来。④在标尺作图的过程中遇到的最大问题是什么？调查结果显示，部分受教群体对标尺作图的定义、构造原则及基本步骤存在模糊认知，绘制过程偏离标尺作图定义轨道，并主要存在以下问题。①现有教材中有关标尺作图的内容删减过多，对作图标准及基本原则阐释欠明确；②部分省市的中考题目中未出现标尺作图方面的内容，一些教学人员自动降低了标尺作图的基本要求，导致受教群体产生轻视心理。③初中生的几何推理能力与论证能力偏弱。在实际解题过程中，受教个体对作图方法、误差类型、题目已有指标的分析过程不透彻，在数理统计、转换模拟等能力方面亟待切实提升。④教学模式实效度低。当前初中教师大多选取直接讲授的方法进行教学引导与原理解析，缺乏后续习题练习来深入对接理论教学过程。

四、初中数学教学中标尺作图教学的优化路径

（一）注重变式练习与实例教学，拓展发散思维。参照新时期学科标准的相关理念，初中教师应在适当加工整合现有教学资源的基础上，对教材模块例题进行横纵向比较，强调受教个体创造能力与操作能力的统筹发展，积极有效地选取“变式练习”的授课模式，对标尺作图的基本步骤进行深层次解读[2]。例如，在教授标尺作图过程中，根据关于“角平分线”习题，能够做出下面几种变式练习。变式1：做一个锐角的平分线。变式2：已知一条直线AB，点O在这条直线之上，过点O做一条垂线CD，使其垂直于AB（标尺作图，写清楚做法，并保留作图过程中的痕迹）。变式3：已知△ABC，其中∠C=90o，在AB这条在线求做出一个点D，使∠DCA=45o（标尺作图，写清楚做法，并保留作图过程中的痕迹）。以上的三道变式，将题目中的已知条件加以变化，并改变叙述的方法，以此来培养初中生不同层次的数学思维模式与能力。为更为精准地推进数学学科与社会实践应用的对接关系，教师群体可将数学问题回归到实际问题解决过程中，如图1所示，在公路l1的同侧及l2的异侧，有两个乡村，分别为乡村A与乡村B，由于时代进步，科技发展，通讯部门将要在建造一座信号塔，根据政府要求，修建的信号塔必须与乡村A与乡村B保持相同的距离，并且到这两条公路的距离也必须一致，因此，信号塔C应当建造在什么位置上？运用标尺作图来画出合乎条件的全部点，并标注C点的正确位置。（标尺作图，写清楚做法，并保留作图过程中的痕迹）图1例题图从上题中能够看出，该标尺作图题用于解决现实生活中的具体问题。这道题难点在于将“须距离乡村A与乡村B相同的距离”与“到这两条公路的距离也必须一致”这两点转换成适当的数学语言。基于此，初中数学教师可引导学生把这两个问题转换成“两点之间距离和点到直线距离”的数学问题，接着展开联想：考虑一下，到两个点距离相等的点在哪条线及至角的两个边的距离一样的点在哪条直线上？学生根据这一思路，开始操作，具体步骤为：首先，绘制草图；其次，利用草图展开推理，并且从已经知道的条件里面来寻求满足题意的条件；接着，对照作图，来计算需要使用的作图方法；最后，使用标尺作图。（二）融合标尺作图发展脉络，绘制过程规范化。在实际教学过程中，教师可以简要阐述标尺作图的发展历史，具体介绍化圆为方、立方倍积、三等分角这三大几何难题，在激发初中生学习标尺作图兴趣的同时努力拓宽其学科概念视野。此外，应对作图的具体操作步骤进行推理证明，并予以详细解释，确定标尺作图的具体方案，并以此为基础来绘制符合题意的图形。整个教学过程大体由以下几个步骤组成：第一，挖掘题干已知条件，鼓励学生对图形进行想象并绘制示意图；第二，按照示意图来展开推理，分析示意图的具体做法；第三，运用标尺严格按照标准进行绘制；第四，总结证明标尺作图基本模式并加以证明。此种知识生成过程有效融合了受教个体实验、想象、实践及推理验证的各个环节，强化了逻辑推理、顺向推理及逆向推理的学科能力[3]。与此同时，在实际教学期间，应当明确几何作图区别于普通作图之处，由于标尺作图要求严格使用没有任何刻度的直尺与圆规来操作，并且作图的每个步骤都需要有所依据，不可以任意乱画。因此，初中数学教师在教学的时候，应当认真仔细讲授五种基本的作图模式，并以此作为绘图的基础，在注重数学应用的基础上，不断对所绘制图形进行深层次延展与机制解读。当绘制较为复杂的图形时，在对其进行分析后，再努力探寻作图方法与根据，认真分析题目的内容与含义，精准列出已知条件、未知条件与需求内容，一边作图一边加以描述，关注作图方法的正确性、直观性与简洁性，并鼓励相关受教群体描述绘制方法并对已绘制图形进行机制阐释。（三）培养作图分析能力及推理论证能力。初中数学标尺作图教学过程中，数学教师要引导学生掌握画图、分析图形的方法和技巧，从而解决数学实际问题。期间，培养学生作图分析能力极为关键。为此，教师在讲述例题时，要做出示范，把自己总结出来的作图分析心得传授给学生，让学生能够直观了解作图的要点及分析过程中需要关注的要素。同时，教师要让学生学会划分几何命题的题设和结论。如果命题中题设与结论不明显，要求学生将它改写成“如果……那么……”的形式，学生便可以快速找出题目中的题设，进而为详细把握标尺作图的详细过程及标注形式奠定基础。另外，教师还可以布置习题，将学生群体划分成多个小组，让他们分别分析、解答并绘制不同方向的几何图形，锻炼学生的作图分析能力。在培养学生作图分析能力过程中，也要培养学生的推理论证能力。对此，教师要正确引导受教个体对概念定义、基本定理、衍生定理及常规几何图形等方面的精准认知，使学生形成正确的认知，能够正确判别现有数学题目中的条件、结论、数值分析及图形建构过程，为学生执果索因、知因索果提供依据。教学实践中，教师要多安排一些图形证明题、转化划归题，让学生自主练习，以此来推进学生推理论证能力的发展[4]。综上所述，初中数学教学中的标尺作图教学是重点教学内容，对学生掌握尺

规作图的方法和一般步骤有现实意义。在“尺规作图”教学实践中，教师要进行准确的指导，从教学目标出发，选用多种方法综合培养学生的思维和能力，这样才能优化标尺作图教学成效。参考文献：

[1]曲元海,宋文媛.义务教育初中阶段数学课程内容及教学的思考[J].通化师范学院学报,2014,35(2):95-96.

[2]王亚男,李忠海.初中数学教材中几何概念定义方式的变化:以新旧人教版教材为例[J].北京教育学院学报(自然科学版),2009,4(4):58-61.

[3]张燕.浅谈初中数学教学中的标尺作图[J].乌鲁木齐成人教育学院学报,1998(1):60-63.

[4]赵龙山.作图工具的放宽与几何三大难题的可解[J].九江师专学报,1996(6):69-72.ABl2l1

作者:王欢荣 单位:萧山区虎山路初级中学