浅析数学思维培训的几种方法

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摘要：学习数学,最重要的是学习数学的思维方法,这是人人皆知的命题,然而又是一个世界难题,在数学教学中对学生的要求不仅仅只满足于求得问题的正确答案，还应注意在教学过程中教会学生领悟知识的来龙去脉，有意识地训练学生的思维，并通过迁移变通，引导学生大胆设疑，拓宽思维空间，寻找多种解题方法，从中发现最佳解法，本文将结合笔者的教学经验就数学课堂教学中，教师如何培养学生有序性和合理性的数学思维能力，严谨的数学思维能力，创造性思维能力以及概括能力，进行力所能及的探讨和总结，让学生智慧的火花在课堂中频频绽放。

关键词：数学思维；能力；培养

古人说：“学贵知疑，小疑小进，大疑大进”，有疑问才有学习的内动力。人类的思维活动往往是由于要解决当前的问题而引发的。课堂上要让学生思，必先教有疑。现代教育观点认为，数学教学是数学活动的教学，即思维活动的教学。如何在数学教学中培养学生的思维能力，是教学改革的一个重要课题。下面就数学教学中，数学思维能力的培养，谈谈自己的看法。

一分层教学，设置阶梯，激发兴趣，培养学生有序性，合理性的数学思维能力。

培养兴趣，促进思维。兴趣是最好的老师，也是每个学生自觉求知的内动力。教师要精心设计每节课，要使每节课形象、生动，有意创造动人的情境，设置诱人的悬念，激发学生思维的火花和求知的欲望。为了让每个层次的学生在课堂教学都能听懂，有兴趣去学，能运用所掌握的数学知识，积极思考、积极参与。

例1：在辅导学生用十字相乘法把多项式分解因式这节课时，我设计了下列题目：

（1）2x2–7xy+3y2（2）2(x+1)2–7(x+1)+3

（3）2(x+y)2–7(x+y)+3（4）2(x+y)2–7(x+y)(x–y)+3(x-y)2

依据学生的实际情况，我把学生分成四组，分组练习。学生看到题目马上发现各项的系数都一样，有了兴趣，通过以上练习，学生始终处于积极探讨状态之中，通过他们的积极参与，对“十字相乘法分解因式”的方法理解快、记得牢、用得活，从而培养学生有序性和合理性的数学思维能力。

适当分段，分散难点，创造条件让学生乐于思维。如列方程解应用题是学生普遍感到困难的内容之一，主要困难在于掌握不好用代数方法分析问题的思路，习惯用小学的算术解法，找不出等量关系，列不出方程。因此，我在教列代数式时有意识地为列方程的教学作一些准备工作，启发同学从错综复杂的数量关系中去寻找已知与未知之间的内在联系。通过画草图列表，配以一定数量的例题和习题，使同学们能逐步寻找出等量关系，列出方程。并在此基础进行提高，指出同一题目由于思路不一样，可列出不同的方程。这样大部分同学都能较顺利地列出方程，碰到难题也会进行积极的分析思维。

例2：要用20张白纸做包装盒，每张白纸可以做盒身2个，或者做盒底盖3个。如果1个盒身和2个底盖可以做成一个包装盒，那么能否把这些白纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒底盖，使做成的盒身和盒底盖正好配套?

请你设计一种分法，如果不允许剪开白纸，能不能找到符合题意的分法？如果允许剪开一张白纸，怎样才能即符合题意又充分地利用白纸？

分析：看到这道题目，有的同学不知道如何去解,其实只要找出等量关系即一个盒身配2个盒底盖,从这个方面去考虑就对了.

解：设应该用x张白纸做盒身，y张白纸做盒底盖.则可做盒身2x个，盒底盖3y个。

要做成一个包装盒需要1个盒身2个盒底盖，则为了配套，盒底盖的个数应是盒身的2倍。

依题意得x+y=20x=60/7

解得

4x=3yy=80/7

由于解为分数，所以如果不允许剪开白纸，则只能用8张纸做盒身，共可做16个盒身;用11张白纸做盒底盖，共可做33个盒底盖，而16个盒身只需32个盒底盖，所以只能做16个包装盒，且剩余一张白纸和一个盒底盖的材料，无法全部利用白纸；如果允许剪开一张白纸，可以将一张白纸分为3：4两部分，用8张零一大半做盒身，11张零一小半做盒底盖，可以做成盒身17个，盒底盖34个，正好配成17个包装盒，较充分地利用了材料。

像上面这道例题这种配套问题,往往给出的数据恰好使得到的解都是正整数,求解之后也不需深人的思考,而本题所得到的解不是整数,学生有可能怀疑是否解错了,这样可以引起学生的注意.另外有的学生可能采用四舍五入的办法,这是错的.在列方程组解决问题时,要勇于探索,大胆尝试，与同学之间互相交流，逐步培养自己解决实际问题的能力，从而提高了自己合理性的数学思维能力。

二错例剖析，培养学生严谨的数学思维能力。

思维的严谨性是指考虑问题的严密、有据。要提高学生思维的严谨性，必须严格要求，加强训练。

首先要求学生要按步思维，思路清晰，就是要按照一定的逻辑顺序进行思考问题。特别在学习新的知识与方法时，应从基本步骤开始，一步一步深入。

其次要求学生要全面、周密地思考问题，做到推理论证要有充分的理由作根据。运用直观的力量，但不停留在直观的认识上；运用类比，但不轻信类比的结果；审题时不但注意明显的条件，而且留意发现那些隐蔽的条件；应用结论时注意结论成立的条件；仔细区分概念间的差别，弄清概念的内涵和外延，正确地使用概念；给出问题的全部解答，不使之遗漏。

随着数学概念、定理、公式的增多，对一些概念，公式等容易混淆，因此做题时，往往丢三落四，缺乏严谨。

例3：我在教学二次函数时，出示了一道容易出错的题目：已知函数

y=(m–1)x2–2mx+4,

求证：不论m为何值，此函数图象总与x轴相交。

许多学生的解法为：∵△=（-2m）2-4(m-1)?4=4(m-2)2≥0

∴不论m为何值，此函数图象总与x轴相交。

分析：造成错误的原因在于学生对函数y=(m-1)x2–2mx+4理解考虑不全面，觉得这是二次函数，从这方面去解题，没考虑到其他的情形。事实上，当m=1时，原函数变为一次函数，y=-2x+4。只把原函数作二次函数去解题是不全面的。

正确解法应为：1.当m=1时，原函数变成一次函数y=-2x+4,与x轴相交（2，0）点；2.当m≠1时，△=4(m-2)2≥0,∴二次函数y的图象总与x轴相交。

教学中有意收集或编制一些学生易犯而又意识不到的错误方法和结论，使学生的思维产生错与对之间的交叉冲突，进而引导学生找出致误原因。在数学学习中要使学生思维活跃，就要教会学生分析问题的基本方法，这样有利于培养学生的正确思维方式。要学生善于思维，必须重视基础知识和基本技能的学习，没有扎实的双基，思维能力是得不到提高的。数学概念、定理是推理论证和运算的基础，准确地理解概念、定理是学好数学的前提。在教学过程中要提高学生观察分析、由表及里、由此及彼的认识能力。在例题课中要把解（证）题思路的发现过程作为重要的教学环节。不仅要学生知道该怎样做，还要让学生知道为什么要这样做，是什么促使你这样做，这样想的。在数学练习中，要认真审题，细致观察，对解题起关键作用的隐含条件要有挖掘的能力。学会从条件到结论或从结论到条件的正逆两种分析方法。对一个数学题，首先要能判断它是属于哪个范围的题目，涉及到哪些概念、定理、或计算公式。在解（证）题过程中尽量要学会数学语言、数学符号的运用等，有助于培养学生严谨的数学思维能力

三通过巧妙的质疑和引导，培养学生的创造性思维能力

猜想是由已知原理、事实，对未知现象及其规律所作出的一种假设性的命题。在我们的数学教学中，培养学生进行猜想，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思维，掌握探求知识方法的必要手段。启发学生进行猜想，作为教师，首先要点燃学生主动探索之火，我们决不能急于把自己全部的秘密都吐露出来，而要“引在前”，“引”学生观察分析；“引”学生大胆设问；“引”学生各抒己见；“引”学生充分活动。让学生去猜，去想，猜想问题的结论，猜想解题的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知识间的有机联系，让学生把各种各样的想法都讲出来，让学生成为学习的主人，推动其思维的主动性。为了启发学生进行猜想，我们还可以创设使学生积极思维，引发猜想的意境，可以提出“怎么发现这一定理的？”“解这题的方法是如何想到的？”诸如此类的问题，组织学生进行猜想、探索，还可以编制一些变换结论，缺少条件的“藏头露尾”的题目，引发学生猜想的愿望，猜想的积极性。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生中出现的灵感，对于学生在探究时“违反常识”的体温，考虑问题时“标新立异”的构思，解题时别出心裁的想法，即使只有一点点新意，都应充分肯定其合理的，有价值的一面。并通过巧妙的提问和引导，让学生尝试，发现，培养学生的创造性思维能力。

例4：教学“和圆有关的比例线段”这节课时，我抓住四个结论之间的内在联系，把两个定理和两个结论串联起来，让学生在学习过程中发挥思维器官的功能，自己去发现，猜测，论证，实现再创造，新课导入的设计如下：

（1）让学生按下面要求作图：

经过⊙O内或⊙O外一点P，作两条相交直线，交⊙O于A、B、C、D四点，得线段PA、PB、PC、PD（教师巡视，并鼓励学生尽可能画出下面各种情况）。

（2）提出问题：你们知道这几个图形中的四条线段之间在数量上满足什么关系吗？（教师鼓励学生大胆的猜想，可能有的学生由图①和图⑥想到PA、PB、PC、PD相等。可启发学生运用从特殊到一般的思想方法去猜想，也可让学生用直尺测量去猜，最后得出结论PA?PB=PC?PD①

（3）进一步提出问题:上面的结论是猜想出来的，是否正确还需要论证。先看图②的情况，怎么证呢?(启发学生进行逆向探索,要证PA?PB=PC?PD,只要证PA:PD=PC:PB,要设法找到包含这四条线段的两个近似三角形，进而启发学生添加辅助线,证明结论成立)

（4）小结后再提出问题:我们在逆向探索中找到了解决问题的方法，用先猜后证的方法证明了”圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。如果把弦AB、CD的位置变动一下，使AB经过点O，且弦CD与AB垂直于P，这就变成了图③这种情况。这时①式怎样表示?(引导学生把①式写成PC2=PA?PB,并总结出相交弦定理的推论.)

（5）继续引导学生在变化中探索创造。变动AB、CD位置，使它们相交于⊙O外一点P，所得的四条线段是否也是满足①式？怎样证明？（激发学生的探索热情，让学生证明并归纳得到割线定理）

（6）让学生观察图⑤的情况，并指出这是由一般推得特殊，从而得到切割线定理。

（7）让学生观察图2、图3、图4、图5四个结论，用辨证的观点，观察知识的发生、发展、变化、发现、猜想、创造的全过程，并完成几道练习题，进行强化记忆。

（8）最后再设计问题让学生课后进行实验探究：过⊙O外一定点P作直线交⊙O于A、B两点，PA?PB的值是否为定值。

尽管这结论的得出不是新发明，但对于学生来说却是新的，必须通过创造性思维，才能予以解决。学中教通过巧妙的质疑和引导，让学生自己去想象、发现，有利于培养学生的创造性思维能力。

四通过揭示题目间的内在规律，培养学生的概括能力

数学教学中，应当强调数学的“过程”与“结果”的平衡，要让学生经历数学结论的获得过程，而不是只注意数学活动的结果。这里，“经历数学结论的获得过程”的含义是什么呢？我们认为，其实质是要让学生有机会通过自己的概括活动，去探究和发现数学的规律。

概括是思维的基础。学习和研究数学，能否获得正确的抽象结论，完全取决于概括的过程和概括的水平。数学的概括是一个从具体向抽象、初级向高级发展的过程，概括是有层次的、逐步深入的。随着概括水平的提高，学生的思维从具体形象思维向抽象逻辑思维发展。数学教学中，教师应根据学生思维发展水平和概念的发展过程，及时向学生提出高一级的概括任务，以逐步发展学生的概括能力。

概括的过程具有螺旋上升、逐步抽象的特点。在学生通过概括获得初步结论后，教师应当引导学生把概括的结论具体化。这是一个应用新获得的知识去解决问题的过程，是对新知识进行正面强化的过程。在这个过程中，学生的认知结构与新结论之间的适应与不适应之间的矛盾最容易暴露，也最容易引起学生形成适应的刺激在概括过程中，要重视变式训练的作用，通过变式，使学生达到对新知识认识的全面性；还要重视反思、系统化的作用，通过反思，引导学生回顾数学结论概括的整个思维过程，检查得失，从而加深对数学原理、通性通法的认识；通过系统化，使新知识与已有认知结构中的相关知识建立横向联系，并概括出带有普遍性的规律，从而推动同化、顺应的深入。数学的表现方式是形式化的逻辑体系，数学理论的最后确立依赖于根据假定进行抽象概括的能力。因此，教师应当引导学生学会形式抽象，实际上这是一个高层次的概括过程，在这个过程中，学生的逻辑推理能力可以得到很好的培养。

另外，在教学过程中，教师特别重视了“化归”这一重要的数学思想方法的渗透，充分利用知识之间的相互联系性，通过分析、归纳、概括，将要解决的新问题转化为已经解决的问题，这个过程的实质就是概括。我们相信，通过这样的教学，长期坚持，潜移默化，学生的观察、猜想、分析、归纳、概括以及逻辑论证等能力都会得到很好的培养和提高。我们看一下下面例题。

例5：用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形。

（1）使长方形的宽是长的2／3，求这个长方形的长和宽；

（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积；

（3）比较（1），（2）所得两个长方形面积的大小，还能围出面积更大的长方形吗？

（4）使长方形的宽比长少3厘米，2厘米，1厘米或长宽相等时，长方形的面积有什么变化？

分析：（1）因为长方形的周长一定，长，宽与周长的关系是2（a+b）=60,设出长，即能表示宽，代入上式可得关于的一元一次方程，即可求之。

（2）同样给出了长和宽的关系，用（1）的办法可求出长与宽，然后求长方形的面积，如此问题属间接设元，如果直接设长方形的面积为x，则无法用x表示长与宽，况且长方形的面积的大小不取决于其周长的大小。

（3）通过（1）（2）两个长方形面积的大小，观察长与宽的大小的变化规律，作出猜想，进一步尝试验证你的猜想的结论。

（4）比较各种情况下求出的长方形的面积，进一步验证（3）中的猜想，最后得出结论。

解：（1）略（2）略，长方形的面积为221。

（3）在(1)的情况下，长方形的面积为18×12=216.216<221,由此可见，（2）中的长方形面积大。观察（1）（2）中两个长方形的长，（1）中的长比（2）中的长要长，由于长宽和为30是一个定值，这样（1）中是宽要比（2）的宽短，且（1）的长方形的面积小于（2）中的长方形的面积，由此可猜想长与宽的差越小，则面积越大。例如长为16，宽为14时，长方形的面积为16×14＞17×13＞18×12.

（4）用（2）的方法可得，宽比长少3时，长方形的面积为16.5×13.5=222.75

宽比长少2时，长方形的面积为16×14=224

宽比长少1时，长方形的面积为15.5×14.5=224.75

宽与长相等时，长方形的面积为15×15=225

可以发现这些长方形的面积越来越大，也验证了（3）中的猜想。

小结：要注意题中探索性的问题的思想与方法，不要单纯地为了解题而解题，要善于联想，我们能知道正方形是这些长方形中面积最大的。

例6初中《几何》中有一道题

如图，A、B、C、D四个点在一条直线上，图中有几条线段？是哪几条？

思路：以A点为端点的线段，从A向右数，有AB、AC、AD共3条；以B为端点的线段。从B向右数，有BC、BD共2条；以C为端点的线段只有CD1条。因此图中共有6条线段。

象这样依次从左向右，而不往左看的方法，称为“向右看齐”。这种方法简单明了，不会重复，也不遗漏。如直线上有A1、A2、A3—An个点，以每个点为一个端点的线段的条数可以列表如下：

端点A1A2A3—An-2An-1An

条数n-1n-2n-3—210

总条数：C=1+2+3+……+（n–2）+(n–1)

象这样引导学生发现题目间的内在规律，可以增强学生举一反三，触类旁通的能力，对培养学生的概括能力也很有益处。必须指出的是，概括能力的培养，不论采取何种教学方法（发现法或讲授法），关键是要有正确的教学思想，使学生真正成为学习的主体，把教学真正建立在学生自己的独立探索、思考、理解的基础上，真正给学生以独立探索的机会，使他们在学习过程中有充分的自由思想空间，使学生有机会经历数学概括的全过程。但是，在教学实践中，要做到这些并不容易，教师对学生的学习能力往往并不完全信任，他们总怕学生出错，总怕学生会浪费时间，总想搀扶着学生，甚至不惜去代替学生思维。而这些做法与培养学生的数学概括能力的要求是背道而驰的，也是与数学学习的本来面目不相符合的。因此，在数学教学中，我们应当从数学概括的自身特点出发，在使用抽象的数学语言和符号表述数学定义、定理或原理之前，通过可观察的（实物、图形、图表等等）、描述性的、可亲身体验的形式来传播新的思想，从而引起学生的学习兴趣，促使他们自己去试验、构造，用他们自己的语言去阐述和解释，通过自己的独立思维活动来学习知识。要为学生创造一种环境，使他们在其中扮演自主活动的角色，有发挥自己的聪明才智进行创造性学习的机会，能自己去寻找需要的证据，获得能够反映自身特点的对数学原理的解释，在他们自己的水平上完成对数学原理的概括过程。我们应当把数学当作一种科学探索的过程（当然，它是在教师的指导下进行的），而不要把它当成是一种语言、一种高度抽象的理论。应当努力促使学生形成自己对数学的理解，并能用自己的语言来表达这种理解，而不要只是追求所谓的精确性。因为在学生的数学学习中，精确而没有理解，理解但不精确的现象都不少见。通过死记硬背而一字不差地重述一个定理，在任何时候都不能与理解一个定理划上等号。

总之，培养学生的数学思维能力是数学教学中的重要任务，而培养学生思维能力的方法是多种多样的，我们只要根据学生实际情况，通过各种手段，坚持不懈，持之以恒，就必定会有所成效。

参考文献：

〔1〕任章辉，数学思维论〔M〕，南宁：广西教育出版社，1990

〔2〕陈亮、全，教学探究教学的实施策略，教学教育学报〔J〕，2003

〔3〕郑毓信、肖柏荣、熊萍，数学思维与数学方法论〔M〕，成都：四川教育出版社，2001

【4】章建跃数学思维能力培养人民教育出版社2004