管网数学基本定理分析论文

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一、引言

一般管网的管段水力计算沿用理论公式或经验公式，在国外它们也称为Darcy-Weisbach公式或Hazen-Williams公式。两个公式是一致的，只是表达形式不同。上述公式是管网分析的基础，无论树状管网或环状管网水力分析一般都是从管网中任一个节点开始，或从水源端开始逐段计算分析最后得到全部管网的水力参数。这种传统计算方法只能得出管网的静态参数，无法准确给出管网在与水泵联合工作的动态情况，即给出整个系统的状态参数的变化情况。如Q、H为水源节点，即根据Q、H值选择水泵，期望能使管网工作在选定的Q、H值附近。现代管网分析，从精确输水、节水、节能和高效利用能源考虑，特别是一些需要实时控制的系统，关注管网系统的实时状态，以及管网与水源联合工作的状态变化，已经显得十分必要了。本文作者于1988年发表了《喷灌系统自适应模拟方法》，文中给出了树状管网的动态模拟方法。随着人们对节能、节水的需求越来越迫切，有必要对管网分析的理论进行全面的探讨。本文在此提出解决复杂管网分析问题所需的基本原理和方法。

二、Darcy-Weisbach和Hazen-Williams公式

Darcy-Weisbach公式：

一般沿程阻力系数f=f(Q),即f是流量Q的函数，但在紊流的流态时，f与Q无关。Hazen-Williams公式：

这里如管网布置完成，管长、管道采用的材料已确定，两者经变换可得到统一的形式，不妨将两者的写成统一的形式如下：

（1）

式中：

a,b―为不等于零的待定实数。根据GBJ85-85《喷灌工程技术规范》给出的水头损失计算公式，，容易得到：

，。

在紊流的流态时，一般b为的实数。即在其有意义的定义域为单调增的幂函数。

图1

图1即为式（1）的函数曲线。

定义1：

将式（1）所表达的函数曲线称为管件的流量压力特征曲线。

定义2：

将对水流呈现阻力并消耗能量的管网部件称为管件。管件具有式（1）所示的数学模型。

根据定义2，也将式（1）称为管件的幂函数数学模型。不难看出式（1）对局部损失也成立，故管件数学模型也可用来表示管网中产生局部损失的部件。

这样，管件就将管网中的管段、管接头、闸阀、三通和喷头等管网中的部件包含在内，它们在管网中都表现为消耗水能，故它们都有如式（1）的相同数学模型。

定义3：

对于在管网中能提升管道压力，并向管网提供水量的部件称为水源部件。简称：水源。

一般的水源部件有：水泵、高位水塔、水库等。对于水泵其数学模型一般采用以下方程：

（2）

式中：

A、B、C―为常数。

对于理想的水库，其模型可表示为：

（3）

其中：

C―为常数。

一般水源数学模型总可以表示为：

（4）

式中：

a―为指数系数。

三、管件组合数学模型

1.管件组合模型

定理1：

任何管件的组合，其组合后的管件，以管件断面的流量和压力水头表示的数学模型具有幂函数的形式。即无论组合前和组合后管件数学模型都是幂函数，只是它们的比例系数和指数系数的值有所变化。

证明如下：

这里用数学归纳法证明之。

（1）当n=1时

其中Ho是第一个管件的出水端断面位置水头，该水头是相对的。当以第一个管件的首端断面定为基准点时，Ho=0（以下如没有特别指出H表示断面的压力水头，Q表示通过断面的流量）则

这就是说n=1时定理1成立。

（2）假设当n=k时，有

对于没有流量交换的管件

，上面的定理1成立，则

那么，管段的进水端k+1

不失一般性，不妨设，因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数，总存在一个使得

令则有：

即

成立。

对于有流量交换的管件

这里用q来表示管件进口端的流量与出口端流量的不同。

虽然，但两者具有可互换性，如，用以上方法，同理可得

如，因幂函数在定义域的第一象限内是单调增函数，总存在一个使得

综上所论，可得

成立，证毕。

2.流量与压力水头互为幂函数

定理2：

管件中的流量Q与压力水头H互为幂函数的映射。

该定理容易从

可以推得

只要令：

即可。从以上分析中可知定理2成立。

以下称：

a,b为管件的流量系数，管件的流量指数；

­为管件的压力水头系数，管件的压力水头的指数。

3.管件两端模型之间的关系

（1）对于没有流量交换的管件

已知管件进水端的幂函数模型，可以求出管件出水端的幂函数表达式。

已知：，由于

即

图2

等式右边已知，令，并两边取自然对数，则有

在管件幂函数有意义的第一象限，取Q=1，Q=e两点可得

（5）

（6）

（2）对于有流量交换的管件

已知进水端的：令两边取对数，则有

图3

如已知上述函数曲线上的两点可用以下线性方程组

（7）

求出a2和b2。

4.管件简单联接方式

（1）串联

如图4所示的抽象管网中，我们称之为串联管网。

把管件一个接着一个地串接在一起，中间没有分岔，在水源部件的作用下，水流只有一条通道，这种联接方式称为管件的串联。如将管件的hf称为管阻，即

如串联管件用同一种材料做成，水流的流态处在紊流区，bi=b。则

即串联管件的等效管件其参数

图4

（8）

（2）并联

把管件的一端都联接在同一点，另一端都联接在另外一点，在水源部件的作用下，它们两端的水压都相同，这种联接方式称为管件的并联。见图7

如并联管件用同一种材料做成，水流的流态处在紊流区，。则

即并联管件的等效管件的

图5

（3）混联

既有管件串联又并联的管路称为混联管件。有串联、并联管件的知识不难分步求出混联管件的参数。

5.管网系统的模拟方法

根据以上分析可知，当我们得到管网的水源节点处的管件端幂函数的两个关键参数a,b后，可以将模型

和水源部件模型，这里不妨假定为水泵，其模型为

这两个模型的曲线放入同一个座标系中，容易看出两条曲线的交点即为管网系统的工作点。由工作点的值，我们很容易得出整个系统的状态值。

根据以上模型我们可以用计算机模拟出管网系统动态，并调整工作点使水泵工作于高效区。

图6

四、管网模型的识别方法

对于由各管件组成的树状管网，按上述方法逐个推出的管件端的幂函数模型，运算量大、计算和存储要求高。事实上，我们可以根据定理1，用n组计算得的值作为观测量来推断出管网水源端的幂函数参数a，b。

具体说，我们已知水源节点管件进水端满足幂函数关系的数学模型，不妨从树状管网最远离水源的末端管件开始，任取若干组输入数据，从中得到一系列的水源节点进水端的Q,H，它们在控制理论中也称为观测量。用这一系列Q，H可以通过数理统计的幂函数回归方法容易得到管网进水端的幂函数的两个参数a，b。详见图7。

这种方法也可用于管网中各管件模型未知，或者不确定的系统，比如可以用测量设备，测量不同的数个点后，用数理统计方法得到管件的幂函数数学模型。同样的方法可得到管件的组合数学模型和管网系统的数学模型。

以上我们只讨论了树状管网，对于环状管网，我们总可以找到一个最小的支撑树，将问题化为树状管网进行分析，最后加上联接部分形成回路，完成环状管网的分析工作。这里限于篇幅从略。

图7

五、结论

用本文提出的方法，虽然得到与某些图解法相类似的图表，如图6，但其意义完全不同，而且这种变化十分重要。定理1指出管件断面的H与Q有确定的对应关系，这种关系是一种幂函数形式，比例系数a、指数系数b是两个可以唯一确定模型的重要参数。本文中提出的水力学管网分析中的管件的定义、管件组合及其组合后的等效模型，以及管网系统的幂函数数学模型的识别方法，为解决管网实时动态分析提供实用的理论和方法。

传统的分析方法得出的是计算断面的静态Q、H值。从本文提出的数学方法中，我们不仅能够得到所计算节点的Q、H值，有了节点断面的比例系数a和指数系数b，我们还可以唯一地确定出一个幂函数来代表该节点的数学模型。从一个工作点到一个函数给出的无数个可能的工作点，反映了我们观察问题的角度的扩展。这种新思路为我们用管网系统的自适应模拟方法解决复杂管道系统的水力学问题提供了全新的途径。

参考文献

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