数学解题教学自主学习能力分析

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高中数学教师要关注习题教学，并以此来提升学生的自主学习意识，发展他们相应的数学能力.

一、自主学习视角下的数学解题

当我们在数学教学中实践新课程理念时，我们绝不能将习题练习归于题海战术的范畴，学生在认识数学理论，理解并体会其思想内涵时，都必须借助习题的分析和研究来获得相关效果.而且对学生的自主学习而言，解题还能为学生提供一个相对具体的目标，让他们在阅读并理解的基础上，运用数学理论和方法，通过采用正确的思维方式和科学推理，最终在问题解决的过程中加深对知识的理解，同时还能为他们的数学学习积累宝贵的学习经验.波利亚非常看重数学解题在学生学习过程中的作用，他也明确指出学生的解题应该分成以下四个步骤：（1）审题题意；（2）初拟方案；（3）实施操作；（4）回顾和总结.当我们引导学生以自主学习的方式来进行学习时，要引导学生有效地进行自我监控.事实上，数学学习应该是一个漫长而枯燥的过程，因此在自主学习中，我们要想学生能够长久地延续自己的学习热情，自我监控就显得相当重要.一般来讲，自我监控可以落实在以下几个方面：其一是对自己的学习计划有一个合理的部署，其二是能够对自己的学习活动有一个明确的监察与管理机制；其三是善于对自己的学习行为进行控制和调整，重现体现学习过程的能动性.当我们将解题融入到学生的自主学习过程中时，学生一方面需要将解题纳入自己的数学学习计划，另一方面学生要根据自己在解题过程中的表现来实施监控和调整，以便让自己的自主学习更加专注和高效.

二、通过数学解题来培养学生自主学习能力

学生通过解题，可以培养自己终身学习的基本意识，也能培养与之适配的学习方法和基本手段，当然这一过程也离不开教师的引导和帮助.1.指导审题，培养学生自主思考和反思的意识教学中，我们发现很多学生总是抱怨自己在解题时摸不准思路，引发很多低级错误.其实细加推敲，我们发现发生这种情况的关键还是学生在审题过程中出现了很多的问题，他们还没有掌握问题的诀窍和关键，作为问题处理的第一道关卡，学生就没有处理好，自然也就无法顺利地到达探索的重点.指导学生进行审题，我们的关键任务是让学生在接触问题的第一时间就把握题目的含义，能够对题目的条件和所求设问有一个清晰而准确的把握.如果一些条件或问题没有弄清楚，学生是很难解决问题的.例1已知定义在实数集上的函数f（x）满足了f（1）=2，f′（x）<1，求解不等式f（x2）<x2+1的解集.在本题的解题过程中，部分能力稍弱的学生可能会搞不清楚这个函数的解析式，从而无从下手；能力稍强一点的学生发现条件中有导函数的介绍，为此准备对所求不等式进行变形处理构建一个新的函数f（x2）-x2-1，通过求导来处理，可是这个方法却无法将题目中的条件整合起来，这样问题的处理陷入僵局.对于上述问题，教师要引导学生展开细致地分析和研究，要让学生专心地投入情境之中，并对题意进行反复咀嚼，并且以这样的问题来推动自己的思考和反思：这个问题的条件有哪些？这个问题的条件有什么用？通过这些条件，我能想到什么？我们能从条件中得到什么？比如f′（x）<1，很多学生认为要使用这个条件，就需要对函数f（x2）-x2-1求导，但是他们又很快发现如此操作并不能完成对问题的解决.思维灵活的学生又开始想到，为什么不对f′（x）<1进行变形处理呢？这样可以得到f′（x）-1<0，这一小小的调整恰好将导函数中最关键的一个功能也发掘出来，即它所对应的原函数（比如g（x）=f（x）-x）的单调性也就可以逐步明确下来，然后我们可以利用单调性来完成对问题的处理.而函数单调性在不等式的处理中也是一个常规而重要的方法，即只需要将不等式变换为f（x2）-x2<1，再联系到g（1）=1，这也就是解不等式g（x2）=g（1），由于g（x）在实数集上是一个单调减函数，有x2>1，因此本题所求解集为（-∞，-1）∪（1，+∞）.2.注重题组训练，让学生在自主比较中提升认识高中数学为什么难？笔者认为，很多学生是在问题处理时没有把握本质，导致他们最后的处理发生了偏差.所以，我们在教学过程中要善于组织一些在本质上存在相似性，或形式上不同，但是可以归类为同一方法进行求解，或问题之间具有延续性和关联性的问题等.这些问题就组成了一个题组，学生通过比较，可以从似是而非的问题中发现区别，也可以从大相径庭的问题中发现相似之处，这样的处理有助于学生对问题展开更加深度的分析和研究，这对学生进行自主学习有着很大的启发性和引导性.例2①已知某定义在实数集上的函数f（x）=lg（ax2+2x+1），请确定a的取值；②已知函数f（x）=lg（ax2+2x+1）的值域为R，请确定a的取值.很多学生容易将上述两个提问混淆在一起，问题①中使得ax2+2x+1>0恒成立，必须要让a>0，且Δ<0，可以得到a>1；问题②中必须要让ax2+2x+1取遍一切正数，因此a=0或者要让a>0，且Δ≥0，因此可以得到0≤a≤1.上述问题的分析过程中，如果我们能够将对数函数、一次函数等函数的图像用于对问题的表征，将更加有效地促进学生完成对问题的理解.通过上述实例，我们应该鼓励学生自主思考这样一些问题：上述文字仅仅只是在文字表述上存在差别，但是同一个问题吗？如果不是，它们的差别在哪里？它们的本质差别在什么地方？是否还存在什么方法可以帮助我们形成更加深入的理解？为什么我没有准确把握这个问题的本质题意？如果我们对基本概念的理解还不够透彻，这和哪些数学概念与方法存在关联呢？这些问题的分析和处理，有助于学生完成总结，获得更大幅度的提升.3.重视学生的反思过程，让学生在总结中提升自主学习的能力在解决每一个数学问题之后，教师要善于引导学生进行回顾和反思，不能将思维止步于问题答案的得出，否则这将是一种学习资源的浪费，学生也很难从中获得进步与发展.例3已知函数f（x）=2xax+b，f（1）=1，f12≤≤=23，令x1=12，xn+1=f（xn），求数列{xn}的通项公式.学生在处理问题时很容易解得a=b=1，故xn+1=2xnxn+1.然后就要用到转换的思想，本题需要构造等差数列和等比数列，因此可以将上述式子转变成1xn+1=xn+12xn=12xn+12，也就有1xn+1-1=121xn-≤≤1，数列1xn-≤≤1是一个等比数列，可以求得1xn-1=12n-1，所以有xn=11+12n-1.我们要指导学生对上述问题展开反思，并从中进行深度的感悟与总结，学生将感悟到化归思想的重要性.长此以往，学生展开分析和研究，他们将把这些方法和思想渗透在自主学习的过程之中，这对学生自主学习能力的提升大有裨益.

三、解题教学对学生自主学习能力发展的意义

解题教学是学生整个数学学习体系中最重要的一环，这不但有助于他们对知识的理解和认识，也对他们自学能力的提升大有意义.首先，对学生的个性发展需要而言，他们需要通过一些习题进行磨炼，这样的处理可以让他们的思维更加灵活，可以让他们以更加开阔的思路来参与问题的探索.因此可以说，解题教学是学生自主学习能力提升过程中不可或缺的一环.其次，学生将在解题教学中与问题发生更加亲密的接触，他们的自主学习能力也将因此而得到培养，他们的学习会更加主动而热情，而且他们也将获取更加深刻的感悟和体验.解题教学还将在一定程度上推动学生自主学习的进行，他们也将更进一步地参与到学习过程之中，进而提升自己全方位的数学素养.总之，数学习题教学是一种学习过程，也是一种实践过程，学生把自己所获得的数学知识和方法应用到习题的处理之中来，是学生自主学习的主要内容，也是他们能力提升的重要手段.

参考文献：

1.吴建新.高中数学习题教学的有效性方法分析［J］.数学学习与研究，2014（9）.

2.张明彦.培养学生自主学习能力的路径分析［J］.中学数学教学参考（上），2005（Z2）.

作者:曹彩霞 单位:江苏省海门市四甲中学