变化教学与培育数学思维

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有效教学是目前实践中存在的主要问题，也是理论界探讨的很重要话题。解决问题的钥匙应该是一题多解与一题多变，一题多解的教学能优化思维品质，推动探索创新，使知识融会贯通有利于提高学生的创造性。教学中应该精讲多练，质疑辩论，师生共探。一题多变的教学有利于提高学生的创造性及运用数学知识去分析实际问题的能力，有利于激发学生的创造性及运用数学知识去解决实际问题的能力，可以是中国数学成功的典型代表之一。可从一般化、变图、变式、变条件和题组教学入手。

1.一题多解促使思路多向，培养思维的广阔性。一题多解训练教学，能让学生以问题作为思维起点，诱导学生既能顺向思维又能逆向思维，逐步培养他们形成由正及反、由此及彼的逆向思维习惯。培养他们困难时自觉调整思维角度，向反方向作某种试探猜测，联想新意会。教学中教师通过选择典型题目，鼓励积极思考，引导从多角度、多方法、多层次地观察思考问题，在广阔范围内寻求解法，从而培养学生思维的广阔性。

2.一题多解能暴露思维过程，培养思维的深刻性。一题多解必然促使每个学生动脑思考，从而展示发现解法的思维过程，也能使教师了解学生思维受阻的情况，利用学生典型错误进行正确诱导，变换策略，另辟蹊径再达目的。教师的解释未必是学生的想法，是把教师的思维暴露给学生，未必能解决学生思维的所有问题。一题多解促使教师想学生所想，顺应学生的认识规律与基础，有针对地点拨，使学生的思维处于积极兴奋的最佳状态，在迷惑好奇的情境中，在跃跃欲试的状态下，激起思维波澜，从而对问题的本质属性及解法规律有更深刻的理解。培养学生思维的深刻性。

3.一题多解推动学生积极竞争，培养思维的敏捷性。苏霍姆林斯基说：“要把学生从智力的惰性状态中拯救出来，就是要使每个学生在某件事情上把自己的知识显示出来，在智力的活动中表现出自己。”一题多解往往是综台，将自己的解题思路亮出，后面同学必须异于前面同学的解法。于是整个课堂气氛活跃个个跃跃欲试，竞争激烈相互启发，后来经过归纳总结，共提出了四大类不同解法达四十多种之多。即将三角函数的降幂公式，积化和差及和差化积公式，运用得滚瓜烂熟，对学生运用知识的能力的提高，起着不可估计的作用。长久训练能使学生迅速直观分析处理问题，简缩运算环节和推理过程，即思维敏捷。

4.一题多解推动学生主动学习，培养学生思维的灵活性。传统的数学教学没有真正做到问题教学、思维过程教学，而是偏重于结果、标准答案、题海战术。学生的数学思想方法没有形成，缺乏灵活性，因而思路狭窄解法单调，对概念的本质缺乏正确的认识和深层次理解，不能做到解题思路的优化。而一题多解能抓住“精讲多练”的核心，“少而精”，真正地提高教学效率，而非盲目做题。

不同的解法促动学生细心观察，认真审题，会利用题中关系，进行分析、比较提高分析能力，使他们能够合理选择思维起点，培养灵活性。同时有利于辨析正误，准确掌握概念的内涵和外延，提高数学素养。

1.变换条件，促进学生主体探索。在例题教学和习题讲解时，不宜就题论题，而应该启发引导学生将思路延续下去，列出同类问题的不同解决办法，从题目的各个方面联想，类比，通过条件复式，变换条件，引入新问题，促进学生主体探索。

例1,已知点P是一次函数y=-x+6在第一象限的图像上的点，又点A的坐标为（4,0），问点P能否成为等腰三角形AOP的一个顶点，若能，求P的坐标。

分析：由于并未指明等腰三角形的哪条边为底，哪条边为腰，故应引导学生分情况进行探讨（|PO|=|PA|,|PO|=|OA|,|PA|=|OA|,解略）。

解决问题后，可以进一步提问学生：若条件不变，要使△AOP为等腰直角三角形的点P是否存在？成为等边三角形呢？这样层层深入，让学生自己去探讨结果，研究其规律，引起学生浓厚的兴趣，自问自答，自己提出问题自己探索，其收获决非简单“改改题”这么单纯。由于学生自己出题，自己解答，长此以往能使学生养成多问多思的主动探索习惯，大大提高学生自己提问，解题的能力。

2.题组教学，促进思维发散性和批判性。发散思维是从同一来源材料探求不同答案的思维过程和方法，是分析性思维。发散性要求对问题寻求多种解决途径，这种思维是创造性思维的基础。在题组教学中对学生进行发散性思维的训练，可以培养学生敏锐的观察力、积极的求异胜和创造性，增强学生举一反三的探索能力。同时对问题条件，解决问题的方法有一个深刻认识。

例2,甲、乙、丙等7人排成一排，求以下各种情况的不同排法。

经过这样的训练，可以使学生明白事物都不是一成不变的，应勤于思考，敢于提出不同观点，勇于质疑、批判，从而培养他们积极的批判性。

3.探索变式，培养思维的创造性。创新是素质教育的核心，更是时代的要求，是选拔人才的需要。因此，这就要求在教学中，教师要有目的、有计划地对学生进行创新思维的训练，引导学生从解答的问题出发，标新立异，敢于猜想，勇于用所学知识去解决背景全新的问题，从而培养学生的创造性精神。

其证明并不难，就略去不谈。但其结论非常重要，我们不妨称线段AB为抛物线的焦点弦，由焦点弦，我们能够引导学生证明下列一组演变习题都是正确的：

（1）过抛物线焦点弦两端点的切线与抛物线的准线，三线共点。

（2）抛物线焦点弦中与其端点切线的交点的连线，平行于抛物线的对称轴。

（3）抛物线焦点弦中点与其端点切线的交点连结线段，等于焦点弦长的一半。并且被这条抛物线平分。

（4）抛物线焦点弦两端点的切线互相垂直。

（5）抛物线的准线是其焦点弦两端点的切线的交点的轨迹。

（6）过抛物线焦点弦一端，作准线的垂线，那么垂足，原点以及焦点弦的加一端点，三点共线。

4.引入开放题，全面提高学生分析、解决问题的能力。开放题分为条件开放题、策略开放题、结论开放题。开放题具有一些特性：非完备性、不确定性、发散性、探究性、发展性、创新性。

过去提倡“以教师为主导，学生为主体”的教学思想，在实际教学中，教师主导地位被绝对化，“主导”实际上变成“主宰”，学生主体迟迟得不到体现。针对这种情况，引入开放题的教学，能充分体现学生的主体性，培养学生的主体意识（即学习的主动性，自觉性，探索性，深刻性）。