方格图在小学数学教学的有效运用

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摘要：方格图作为直观形态的数学学习工具，将学科的理趣和学习的情趣相结合，具有帮助学生提高数学学习能力的作用。本文以人教版小学数学教材为依据，将方格图的表现形式、数学本质以及在培养学生数学学习能力等方面所起到的数学价值进行系统地剖析和总结；同时将方格图在人教版教材中的编排情况进行梳理及归纳，从绘制图形、统一度量、数的认识与运算、总结和推理四个方面诠释方格图在教学中的具体应用及研究启示。

关键词：方格图；小学数学；教学应用

一、前言

数学家戴维•希尔伯特(DavidHilbert)在1900年第二届国际数学家大会时的演讲《数学问题》中说：“数学中每一步真正的进展都与更有利的工具和更简单的方法的发现有密切联系。”使用数学工具，可以将抽象的数学问题和具体的事物相联系，帮助学生直观地理解数学知识。在小学数学教学中，作为辅助学习的方格图是帮助学生理解代数与几何等内容的重要工具。（一）方格图的基本概念及表现形式。方格图是以若干个小正方形为基本构成要素，以信息加工过程的直观性为形态的数学学习工具。①在教学中使用方格图，可以将学科的理趣和学习的情趣相结合，有利于培养学生的空间观念，提高学生解决几何问题和空间感知、想象、理解的能力。方格图有以下两种表现形式：1.基本形式（1）方格图：由很多单位面积的正方形组成。（如图1）（2）点子图：由行列距离相等且相互对齐的一行行、一列列的点组成。（如图2）图1图22.拓展形式数对图与坐标图是方格图的拓展形式，它们都是采用数字坐标的形式表示多项地理要素的数字信息图像，是二维坐标系，有两个自由度。同时，坐标图还可以为学生直观分析现象提供统计数据。（二）文献研究述评。方格图作为辅助数学学习的一种手段，已经在小学数学教学活动中广泛使用。但是看似微不足道的方格图常常会被研究者们忽略，导致方格图的运用仅局限于一线教师。其实方格图在帮助学生掌握数学方法、提高数学能力、培养数学思想等方面都起着至关重要的作用。基于CNKI的数据分析，并以“方格图”为主题进行文献搜索后，笔者发现，2011年教育部颁布的《义务教育数学课程标准》（2011年版）是方格图研究的一个分水岭。在这之前，方格图是被忽视的对象，能检阅到的文献也仅有寥寥数篇。2011年《义务教育数学课程标准》（2011年版）的颁布，使得方格图重新站上数学研究的舞台。2011年至2019年间，关于方格图的研究共有110篇，较之以往这是很大的提高，并且有递增的趋势。这表明，方格图的研究正在成为研究者关注的新视角，有很大的研究空间。通过对文献的梳理和总结可以发现，研究者们对方格图的研究主要从以下两个方面进行，一是将方格图当做教学的铺垫或验证的材料进行研究。张卓卿④阐述了方格图在平面图形面积公式推导过程中的价值；李延江⑤将方格图与平面图形有效结合，探究了如何使方格图在平面图形测量教学、平面图形面积推导教学以及平面图形变化教学中能够有效运用。曹培英⑥从基础教育阶段中图形与变换的内容出发，通过方格纸在图形与变化教学中的使用，进行教学思考与教育研究。二是探究方格图在数学教学中的具体使用。李涛⑦在分析方格图的价值后论述其在教学中的具体运用，并对方格图在教学中的具体实践提出相关对策。王晶晶⑧以苏教版小学数学教材为对象，对方格图进行再度开发使用。林海涨⑨在结合自己教学经验和教师应用中出现的问题对方格图进行分析，并据此提出有效应用方格图的策略。综上所述，现有对方格图的研究大多都是割裂的，以碎片化状态呈现，缺少系统的梳理、全面的总结及深入的剖释。因此本文从方格图的数学本质、数学价值、教学应用等方面出发，化零为整进而系统全面地对方格图的特征表现进行阐述，深度挖掘方格图的内在价值，并为教师提供小学数学教学中方格图最大化应用的方向。

二、方格图的数学本质

从宏观上说，数学本质是研究数学观的问题，即“什么是数学”；从微观上讲，数学本质是指具体数学内容的本真意义。⑩数学本质作为数学的核心价值，是数学课程标准中强调需要加深认识和理解关键内容。因此，我们不仅要抓住对方格图基本概念的理解，还要追本溯源，深入挖掘其隐藏在数学知识背后的本质属性。（一）长度关系。平面图形的三大构成要素是点、线、面。学生在学习比较平面图形时，先学习比较线的长短，再学习比较面的大小，这是学生掌握平面图形的步骤，也是培养空间观念开始。学生最初在感受距离时是通过自己的生活经验对距离进行感性判断，如学生在比较线的长短时（图5），大多数学生可能会通过直觉认为折了很多次的线段乙比较长，但是当有方格图当背景后，学生会通过数甲、乙的边长所占格子来比较长短。这是学生通过方格图使思考方式从主观判断到理性分析的一次跨越。学生在学习平面图形时，周长和面积是最基础也是最重要的两个概念，平面图形的周长和面积可以通过数格子等多种方式计算，但是更重要的任务是让学生掌握并学会运用面积公式。各种平面图形间存在着紧密的联系，知道一个平面图形的面积公式后可以举一反三推导出其它基础图形的面积公式。但是这种转化需要学生透彻掌握图形的特征及图形间关系，而处在形象思维阶段的小学生并不能直接做到，这时就凸显出方格图的作用。如在推导平行四边形的面积公式时（图6），运用割补法将平行四边形转化为长方形，引导学生观察平行四边形底和高与长方形长和宽的关系，从而推导出平行四边形的面积计算公式。（二）位置关系。在小学阶段，对几何图形进行平移、旋转、变换以及对轴对称图形操作时都是在方格图上完成，大小相同且排列整齐的方格是帮助学生建立“距离感”的有效工具。小学生在初学图形的运动时，平移的方向一般较好掌握，但是在距离上经常会出现错误；学习轴对称图形时，通过对折裁剪后的图形必定是轴对称图形，但是在平面上画已知图形的另一半会是很多学生的难点。此时，标准整齐的方格图可以在学生操作时提供完美的背景映衬，通过方格图可以帮助学生掌握标准距离、可以直接对图形进行观察，并按照规律作图、可以帮助学生明确第几排，第几个的概念，学会用数对确定位置、可以向学生渗透横轴和纵轴两个维度的概念，（即确定任意一个原点O，向右数轴的正方向为X轴，向上数轴的正方向为Y轴）传递平面直角坐标系的思想，培养初步的空间观念。方格图是帮助学生从实际物体中抽象出简单几何图形、由二维平面思考到三维立体想象转化、发展空间观念和培养几何直觉的最佳工具。（三）角度关系。方格图是由多个边长为1cm的正方形组成，其中相互平行且垂直的线段正好可以形成若干个直角，自然生成平面图形的“高”。根据已确定的直角，可以通过计算找出部分角度（45°倍数的角度），如45°、135°、225°等特殊角度（图7），据此可以画出一些基础的平面图形（图8）。图7图8除这些特殊角度外，还有一般角的度数也可以在观察方格图上的图形后，学会用函数进行表示，在高中阶段学习的正弦定理、余弦定理也是采用方格图进行分析。同时可以根据方格图上画出的直角三角形，进行勾股定理知识的渗透。

三、方格图的数学价值

在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称课标）中明确指出：“在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想、应用意识和创新意识。”在数学学习中，方格图作为一种特殊的学习工具，其有效使用可以充分体现独特的数学价值。（一）培养空间想象能力。课标中把“图形与几何”内容作为培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要组成部分，通过方格图可以使学生初步感知空间。方格图可以简化大脑对直观图像的理解，学生可以直观地通过图形在方格图上的位移和变换，感受方向和距离。在“确定位置”这一教学内容中，通过整齐排列且大小相等的方格图可以帮助学生清晰且明确地描述上、下、左、右四个方位，掌握事物的具体位置。学生在具体描述中充分感受并建立了方位感，这对学生空间观念的提升起到积极的作用。同时，通过第几排第几个的描述方式，也是对纵轴、横轴两个维度概念的渗透，这为之后平面直角坐标系的学习做了充分的前期准备。因此，方格图在激发学生空间想象能力，培养学生方位感和距离感等方面有重要作用。（二）掌握数学概念。在小学数学学习中，存在一些对于处在具体运算阶段的小学生难以理解的抽象概念。如在图形的性质这一部分的内容，有些概念学生可以通过直观观察直接感知获得。但是对于某些抽象概念，如周长、面积等，学生在理解时可能会存在一些困难。假如使用数学工具———方格图，采用数方格的方法计算图形的面积，不仅更为直观、便于理解，还更能凸显“面是积出来的”本质。以“长方形和正方形”这一教学内容为例，可以先展示不同形状但面积相同的图形让学生猜测图形面积的大小，再通过数方格对图形面积的大小进行衡量。随后，可以要求学生画出面积相同但图形不同的图形，引导学生理解图形的长、宽和面积之间的关系。学生在操作方格图的过程中区分、辨别和练习图形的有关概念，对图形的周长与面积拥有更直观的了解。学生在获取直观认识来加深对数学概念理解的同时，也锻炼了自主探究能力。（三）建构数量关系。在小学数学教学中，图形与几何这一部分内容是教学重点亦是教学难点。学生在掌握图形面积，尤其是对各个图形的面积公式推导的过程中常常容易陷入误区。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”面对这一难点，方格图的存在可以直观的向学生呈现图形的转换过程。通过数方格的方式将图形和数量有效结合，让学生通过直接动手操作代替抽象数学思考。以此，抽象的数量关系得以直观地呈现，从而帮助学生推导面积计算公式。借此培养学生数形结合思维，并帮助学生建构数量关系。例如在教学“平行四边形的面积”这一内容时，可以由数方格开始，再对方格采用剪、移、拼的方法将未知的平行四边形转换成已知的长方形，再运用转化的思想构建数量关系，进而推导出平行四边形的面积公式。（四）发挥主体作用。作为学习工具的方格图可以为学生的学习提供操作材料。学生无论是在理解图形面积的概念时，还是在绘制图形运动的过程中，都需要在方格图上对图形进行操作，然后通过观察变换后的图形引发思考，最终达到自主探究并解决问题的目的。借助方格图可以充分发挥学生的主体作用，使学生在学习的过程中由“被动吸收”变“主动思考”，真正做到教师引导、学生参与。（五）体现数学思想。数学思想是数学的精粹所在，学习数学不但要学习数学知识，还要学习数学的思想、方法。在方格图与数学知识的结合中蕴含了许多数学思想，如在“图形的运动”课程内容中，在方格图上进行平移、旋转、轴对称等内容时体现的对应思想；通过方格纸推导图形面积公式中呈现出转化思想；在方格图中进行推理答题时透露的推理思想，还有数形结合思想、统计思想等等数学思想。

四、方格图在教学中的具体应用及研究启示

（一）方格图在教材中的应用情况。在人教版小学数学教材中，方格图在“图形与几何”这一课程内容中的使用率最高，“统计与概率”次之，在“数与代数”中数的认识与运算部分略有涉及。对方格图的主要使用在于借助方格图进行画图，平移、变换图形，测量、估算图形面积等。研究者通过梳理，归纳总结在人教版小学数学（教育部审定2013）教材中方格图的使用情况如下：表1在教材中，二年级教材通过对方格图的使用进行列算式、认识角度（主要认识45°、90°、180°等）等内容，通过方格图强调长度关系与角度关系；三年级教材中方格图不仅是学生绘画图形的制图工具，还是设计“面积”这一单元的重要载体，教材中通过数方格等形式比较图形大小、计算图形面积，方格图成为计算和比较图形面积的重要测量工具；四年级教材中主要利用方格图中位置关系的特点，让学生在方格图上对图形进行操作，感受图形的“平行”“平移”“相等”等概念；五年级教材中凭借方格图对图形面积进行估算，并通过方格图旋转图形角度；六年级教材借助方格图放大或缩小图形，并使用数对图感受数对和位置的对应关系。同时，在二、三、五年级中数与代数部分均使用方格图的变式帮助学生理解分数、小数等内容并进行数的运算，在教材“总复习”这一部分中，也在不同程度上使用到方格图。（二）数学教学中应用方格图的研究启示。在运用方格图进行教学时，需要充分结合学生的认知发展水平，并和已有知识经验紧密联系，由表及里、由此及彼地进行教学。功能灵活的方格图与课堂教学的有机结合具体可以从以下几个方面入手：1.绘制图形。数学是一门严谨的学科，无论是过程还是结果都要求真实、准确。规范的方格图在教学中可以进行广泛使用，在绘制图形方面尤甚。直线的平行和垂直关系是几何图形中的基本关系，而蕴涵着直线与直线的平行和垂直关系的方格图成为学生学习几何图形的重要平台。在绘制图形的过程中使用方格图不仅可以为学生的绘图确定标准化距离，还可以提供位置和方向上的参照，降低绘图难度系数的同时提升了绘图的准确性，同时可以由此帮助学生掌握初步的测量、识图和画图的技能。因此，教师可以从以下几个方面入手，充分发挥方格图的价值（表2）。2.统一度。量测量是小学数学教学中发展学生的空间观念不可多得的操作活动，而由很多边长为1cm的小正方形组成的方格图可以在操作中为学生提供统一的度量单位，通过对方格图的使用可以帮助学生累积测量意识和方法。学生在发现图形的周长与面积的关系，推导多边形面积的计算公式等内容中，方格图不仅可以为学生提供简单的数据提示，帮助学生发现规律、归纳总结计算方法，还有利于学生理解感受面积、面积单位、和面积单位之间的联系（图9）。3.数的认识与运算。在数的认识与运算中，便于比较的方格图可以为学生学习小数、分数、百分数提供直观图示供其操作。学生可以根据要求在方格图（10×10）上进行操作、观察与对比，从而理解百分数的含义（图10）。两个或多个并列的等分形式但有不同取值的方格图，不仅可以反映数值的大小，还可以表明整体与部分间的关系（图11）。方格图便于比较的作用在学习小数、分数的意义和性质中也有明显体现。通过不同表现形式的方格图，可以让学生轻松理解在小数的性质中“小数的末尾添上‘0’或去掉‘0’，小数的大小不变”这一含义（图12）。在数的运算部分，可以通过观察方格图比较数的大小、进行数的加、减、乘运算等内容。4.总结与推理。表格在一定程度上可以理解成方格图的一种变式应用，在方格图的行与列中，数与数之间的关系与对比显得一清二楚。如在100以内数的认识中（图15），学生对表格进行观察后按数序填数，再通过“横看，竖看，斜看”等方式寻找数的排列规律，进而轻松理解十进制、数列的规律等内容。方格图在教材中的“数学广角———推理”这一单元中也可使用，以达到开拓学生思维的目的。

五、结语

方格图不仅是解释信息、连结具体形象和抽象思维的工具，也是构建知识、连结学生特质和学科本质的桥梁，为数学学习提供有效的操作平台，使数学探究过程变得生动有趣。教师要学会从全新的视角探索方格图的内涵，以发展的眼光看待方格图的价值，并通过系统的梳理，深入研究、深刻理解方格图的设计意图，充分发挥它的作用，以帮助学生高效解决数学问题，培养数学思维能力，提高学生学习数学的主动性。

作者:赵红霞 张雪 单位:石河子大学