数学阅读“教”与“学”研究

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一、问题的提出

科学、阅读、数学是PISA测试的内容，是信息社会对公民素养的基本要求。学会学习才能适应社会的需要，学会阅读是学会学习的要塞。当学生进入社会后要不断阅读各种图书、资料，还要不断地学习新的科学技术知识，这就要求学校教育必须使学生具备不断获取新知的能力———自主学习能力。阅读，是自主学习能力的核心。由于“数学是描述科学的语言和工具”，因此，一个人要不断地获取新的现代科学技术和生存需要的知识，就必须具有较强的数学阅读能力。关于学生数学阅读探究能力的培养现已引起了我国数学教育界的高度重视。如北京八十中进行了一项关于学生的数学阅读现状的调查研究。调查表明：35.66%的学生认为阅读数学课本很有必要，42.89%的学生认为比较重要，16.14%的学生认为可以不读课本，还有5.30%的认为只要会做题就行了，没有必要阅读。广东省珠海市金海岸中学的巍炜老师进行了“高中生数学学习的问卷调查”，其中一项“你经常阅读数学书吗”调查的结果为：“一直有”“常阅读”的分别占5.9﹪、7.9﹪;“有时有”和“没有”的分别占57.4﹪合28.7﹪。[1]这些调查结果说明了很多学生意识到了阅读数学课本的重要性，但实际阅读的又很少。山西师大的杨红萍教授在《问题表征对数学阅读能力的影响研究》中通过调查和数据分析得出“不同数学阅读水平学生的问题表征成绩在0.01水平上差异显著，数学阅读能力越高，问题表征成绩越好”的结论。[2]这说明学生需要老师加强数学阅读教学的研究，加强对学生数学阅读能力的培养和指导。

二、数学阅读探究学习的特殊性

数学阅读与语文阅读有共同之处，都需要认读、理解、赏析，都讲究阅读记忆、阅读速度、阅读技巧，但数学阅读有其自己的特殊性，主要表现在以下几个方面：（一）数学阅读语义转换频繁，要求思维灵活。苏联数学教育家斯托利亚尔指出：“数学教学也就是数学语言的教学。”数学材料主要由数学语言组成，而数学语言是“文字语言”“图形语言”和“符号语言”的有机统一体，学生在进行数学阅读时要不断地、频繁地将这三种语言进行语义的相互转化，才能获得较为准确的数学信息，这就决定了数学阅读有别于一般的语文阅读而具有其固有的特殊性[3]。所以，在数学阅读教学中培养学生将三种语言相互转化的能力也就构成了数学阅读教学的一个显著特点和数学阅读教学的关键所在。(二)数学阅读要求认真细致，勤思多想。数学材料的呈现主要是用演绎的方法来进行，而且表述简洁、高度抽象和结构严谨，中间常常略去了一些看似简单的推理过程，而且每个概念、符号、术语都有其精确的含义，学生阅读时需对新出现的概念、符号、术语仔细阅读、认真分析，达到对其准确的理解，不能忽视或略去任何一个不理解的词汇，才能继续有效地阅读下去。因此，在数学阅读的过程中要在适当的地方停顿下来查阅资料、动手演算、仔细捉摸，对略去的推理过程要进行推演，这就决定了数学阅读不能浏览和快速阅读，这是数学阅读有别于2020.4语文阅读的又一显著特点。(三)数学阅读往往是读写结合、手脑并用的过程。一方面，数学阅读要求记忆重要的概念、公式、原理，而书写可以加快、加强记忆；另一方面，教材的编写为了简略，数学推理的理由常省略，运算证明过程也常简略，阅读时，如果从上一步到下一步跨度大，不通过自己再进行推演和演算，就会出现读不下去、知其然不知其所以然的情况。所以，阅读时必须要具备一张纸和一支笔，在阅读的同时常用纸和笔演算推理来“铺路搭桥”，以便顺利阅读，加深理解。（四）数学语言高度抽象，数学阅读要有较强的逻辑思维能力。一般阅读理解和感知容易融为一体，这种情况下的阅读，主要是运用已知的知识把它与新的印象联系起来，从而掌握阅读的对象。而在数学阅读中，读者必须感知阅读材料中有关的数学术语和符号，运用数学抽象和逻辑推理，理解每个术语和符号，并能正确地依据数学原理分析它们之间的逻辑关系，最后达到对材料的真正理解，形成良好的知识结构。

三、数学阅读探究学习的功能与作用

（一）加深对数学知识的理解和领悟。数学阅读的核心在于数学的理解、领悟和迁移。这里面包括了阅读时通过联想建立新旧知识间的联系，使知识系统化，发现问题和指出问题。理解的主要内容是数学概念内涵特征及其语义表征，定理表述的事实和成立的条件与适应范围，知识的来龙去脉及内在的联系与规律等；领悟的内容主要是隐藏其中的数学思想、方法和数学的理想精神等；迁移的主要内容是综合、创造、问题解决和评价。数学阅读的核心在于数学的理解和领悟。如在阅读一元二次不等式的解法时，除了抓住具体的解题步骤外，还应思考：（1）为什么要利用二次函数的图像？（2）它与二次函数、一元二次方程之间有何关系？（3）为什么只研究a>0的情况？（4）这里面隐藏着什么数学思想方法和理性精神？（二）形成正确的数学观，激发对数学的兴趣。数学阅读对学生的数学观的形成与发展作用，我们可从以下一个学生的数学作文中看出。在下是一位平凡得不能再平凡的高中生，我的普通使得我与绝大多数的中国学生一样，承受了应试教育的巨大压力，也和绝大多数可怜的中国学生一样，我和数学接触最多的是“题”。从幼儿园开始，数学题便伴我左右。从1+1到微积分，从正方形到圆柱体，每次认识数学，“题”都与我相伴，如影随形。我得出一条结论：哪里有学生，哪里就有数学题，哪里定会哀鸿遍野。“数学”！说到它我就咬牙切齿，它折磨我十年之久，我为它不知落发多少，不知多少脑细胞壮烈牺牲，不知为了干掉它花去多少宝贵时间。更令我恼火的是：蓦然回首，我竟不知数学给予过我什么。说到对于数学的感受，我绝不能昧着良心咬紧牙关说“喜欢”，即使是从牙缝里冒出。…………后来，一个偶然的机会，我阅读了《数学的发明》，不看不知道，一看吓一跳。数学的伟大、数学的博大精深给予我巨大震动。也许“数学题”与“数学”是毫不相同的两个概念。我觉得，做题，无论是对我的数学素养还是数学知识面，都只能事倍功半。学校里学的“数学”极少，训练得最多的是我们的模仿能力，我们依靠模仿能力，临摹格式照搬思想，去完成无数不知其用处的题。数学在哪里？数学是什么？绝大多数学生都是糊涂的，或者压根从没思考过。我讨厌的是数学题，是应试的数学教育。对数学我并不反感！（四川师大附中高一6班孙阳）本案例中，一个对数学恨得“咬牙切齿”，而对于数学的感受是“绝不能昧着良心咬紧牙关说‘喜欢’”的高中生，由于一个偶然的机会阅读了一本《数学的发明》，便被数学的博大精深和伟大所感动、震撼，从而对数学的态度来了一个180度的大转变，认为“数学是有趣的，数学是辉煌的，数学是伟大的”。是什么力量使学生对数学的态度发生了这样大的转变呢？是数学阅读。通过数学阅读，使学生如痴如醉遨游于数学的海洋，没有了学校里所做数学题的无聊和厌烦，引人入胜，充满乐趣；通过数学阅读，不但使学生清醒地认识到了学校数学教育的弊端，而且也使学生深刻地体会到“数学如此博大精深，绝不是做题能领悟的；数学如此之重要，也不是几道题能表现的”。由此可见，数学阅读可以帮助学生形成正确的数学观和激发对数学学习的兴趣。（三）体现学生的主体性。“学生主体，教师主导”是大家形成共识的现代课堂教学理念，但在现有的不少数学课堂教学中却未能真正得到落实和体现。在数学阅读教学中，学生是阅读的主人，教师只能是学生阅读的组织者、引导者和帮助者，不可能代替学生去阅读，否则就不叫数学阅读了。因此，数学阅读教学能使这种新的现代教学理念得到真正的落实。学生在教师的引导下积极开展的自我启发思维，对教材中提供的“原材料”主动地进行抽象、概括、分析、综合、归纳、猜想，相互交流、讨论，充分调动起了各种感觉器官，更好地促使学生展开思维活动，从而对数学事实自我建构起了实质意义上的、非人为的数学知识“产品”，进而将这些知识产品自然纳入已有的认知结构中。教师在学生的阅读过程中，启发、引导、点拨得当，主导作用也得到了充分的发挥。（四）培养学生的自主学习能力。数学阅读教学的一个中心目标就是要通过阅读教学，使学生养成良好的学习习惯，掌握一定的阅读方法，提高学生的自主学习能力，使学生学会学习、学会思考、学会交流，最后达到自己完全独立地学习，获取新知。数学阅读教学探究活动十分重视学生的阅读指导，注意培养学生的阅读能力和探索创新能力。教师在学生进行新知识阅读的同时列出阅读提纲，并对定义和定理中的“充要条件”“非零向量”“有且只有”等关键词的理解给予了提示，以指导学生阅读，使学生在阅读中思考、在思考中阅读。学生阅读后教师又引导学生围绕阅读提纲展开充分的讨论、交流，使学生在交流中进行思维碰撞，交流数学阅读的方法，不断加深对学习内容的理解和阅读方法的掌握，从而逐渐学会思考、学会学习、学会数学的交流与表达。

四、“三线五环节”课堂阅读探究

“教”与“学”活动模式该模式中的“三线“是指“教线”“学线”和“问题线”。其中“学线”是主线，“问题线”是核心，“教线”通过“问题线”作用于学生的“学线”，是为“学线”服务的，目的是保障和提高“学线”的质量和效率；而“学线”又通过“问题线”反作用于“教线”，促使“教线”更加完善合理。由于该模式主要用于教师与学生课堂教与学活动，且每条线都有五个环节，故称为“三线五环节”课堂教与学活动模式。

五、数学阅读探究学习的指导

[5]（一）指导学生数学地把握阅读环节。笔者认为，“层次、结构、概括”是数学阅读的基本环节。“层次”指阅读材料的层次，并逐层进行意义剖析。“结构”指理顺各层之间的关系，形成对阅读材料的整体认识。“概括”指在层次、结构的基础上对阅读材料进行抽象和概括，以实现由感知到觉悟的飞跃。（二）指导学生掌握科学有效的数学阅读方法。在数学阅读方法指导上，教师应要求学生破除语文式阅读习惯，在阅读过程中不断地在适当的地方暂停下来，主动思考，力求做出一些个人猜测、估计，养成主动式阅读习惯。这里适当的地方是指如下醒示语处：“根据……可以归纳得出……”“也具有类似性质，就是……”“从上面例子可看出……”“一般地，有……”“想一想……”等，以及概念定义后对概念的进一步认识、公式和定理等给出后的主动探证、例题内容后的主动分析、解证过程中某一步思索等。（三）指导学生做好阅读笔记。笔记是对付遗忘的有力武器，是积累认知经验、提高认知水平的重要途径。因此，必须记好和用好笔记，尤其要注意以下3种类型的笔记：1.疑问性笔记在阅读中遇到疑难时，除了在阅读材料上圈点外，最好专门备本子或卡片做摘录，系统记录自己知识和能力的不足，以便更有针对性地突破；同时在阅2020.4读时要着力发掘并记录问题及处理问题的想法。建立自己的“疑问集”，它将成为你进步和创新的起点。例如，高中新教材《数学》（必修）第二册（下A）棱柱的定义为：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫棱柱。”由“每相邻两个四边形的公共边都互相平行”即知“其余各面的四边形都是平行四边形”，因此，对此定义，有相当多学生感觉很繁琐，并感到很困惑，根据定义的简洁原则，为什么棱柱的定义不简化为“有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，这些面围成的几何体叫棱柱”呢？这个问题对一个初学者来说是较难回答的，建议学生先在课本中打一问号，并记录在自己的“疑问集”中，等学完本章节后再来研究，寻找反例。2.感触性笔记在阅读中，有所感、有所悟或有所发现的，都应及时做记录，或做眉批，或做卡片，或做本子。你所记下的可能是一闪而过的、难以重现的智慧火花，你积累起来的“火花集”，将会成为你最为宝贵的财富。3.梳理性笔记如果说疑问性笔记和感触性笔记是阅读由“薄”到“厚”的过程的话，那么梳理性笔记就是阅读由“厚”到“薄”的过程。梳理性笔记是对阅读内容不断提炼的记录。比如，以问题为核心可按如下框架（图2）提炼：

六、数学阅读能力的培养途径

（一）培养学生数学阅读的兴趣和习惯。首先，让学生认识到数学阅读的价值及重要性，让学生在思想上重视数学阅读；其次，让学生在数学阅读中像阅读文学作品时欣赏文学作品的魅力般地去欣赏、去感受数学中的各种数学美，如对称美、和谐美、奇异美等，体验到数学阅读的乐趣；再次，让学生体会到数学阅读对自己数学水平的提高和知识的掌握所带来的帮助，感受到数学阅读的效果；另外，教师还可通过紧扣概念、置疑问难等方式，将学生的注意力引导到“数学阅读”中来，让学生通过对照阅读材料来解决问题或发现新问题、新结论，获得一种阅读成功的愉悦感，强化学生阅读动机，提高学生的阅读兴趣和主动性。有时，让学生去寻找教材上的概念或例题中存在的“漏洞”，也是激发学生阅读积极性的一种手段。例如，新教材高中数学第二册（上）第八章第三节“抛物线”，学生在阅读后发现课本给出的抛物线的定义“平面内与一个定点F和一定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线”存在漏洞，提出以下问题：只有当定点F不在定直线l上时，其轨迹才是抛物线。若定点F在定直线l上时，其轨迹是过定点F且垂直于定直线l的直线。此时，教师要充分肯定学生的发现，加以表扬与鼓励。（二）重视数学教材的阅读。数学教科书是数学课程的具体化，不仅是数学教学的主要依据，而且是学生进行学习获得系统知识的主要材料，它体现了数学的科学性和思想性，在加强数学基础知识和基本技能的同时结合现实生产、生活、社会实际，并适当渗透先进的科学思想，既反映了作为科学的数学的特点，又考虑到学生学习的心理顺序，是培养学生阅读能力的最佳材料。当前正在实验的高中新教材中的每章都安排了1~2个阅读材料，内容涉及知识的引申拓宽、知识的应用及数学发展的小故事，一方面是为了拓宽学生的知识面，另一方面旨在培养和提高学生的阅读能力和自学能力。然而，传统教学突出了教科书是教师实施教的主要材料，而忽视了教科书也是学生学的主要材料，一般数学教学由教师对数学内容处理后去影响学生的数学学习，这种处理会有即时效果，但减少了学生与教材直接接触的机会，若每堂课都如此，是不利于学生阅读习惯的养成及阅读能力提高的。叶圣陶有一句名言：“讲是为了不讲，教是为了不教。”因此教师要加强对学生学法的指导，但又要坚持凡是学生能看的让学生自己看，凡是学生能想的让学生自己想，凡是学生能做的让学生自己做，凡是学生能说的让学生自己去说。（三）强化数学语言训练。数学阅读不同于语文阅读，有其特殊性。对3种数学语言（即文字语言、符号语言、图形语言）的准确把握及它们之间的灵活转化，是数学阅读理解能力中极其重要的方面，也是数学阅读有别于其他阅读的最显著特点。高中新教材中特别注意3种数学语言间的转化，尤其是立体几何，如第九章，几乎每个公理、定理均以3种数学语言的形式出现，因此，提高学生对数学语言的认识，在教学中注重数学语言的强化训练是十分必要的，也是培养与提高学生数学阅读能力的有效措施之一。（四）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读问题所呈现的材料，进行分析思考，说出题目所提供的信息条件、现象过程、解题思路及应采用的规律方法等。说题过程是学生通览全题、说明题目要素，剖析字句、明确题目条件，探索解题思路、思考解题步骤的过程，也是学生在阅读理解基础上，通过独立思考、比较分析，形成个人见解的思维过程。让学生学会说题，又是一条训练学生阅读理解能力的有效途径。例如，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2m的无盖长方体沉淀箱。污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为am，高度为bm。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比。现有制箱材料60m2，问当a，b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。对于数学的应用问题，通常的方法是先通读全文，了解实际背景，再逐句理解，抓住关键词句，领悟数学实质，把研究的对象从背景中抽象出来。如关键词有“杂质”“沉淀”“无盖”“质量分数”“反比”“最小”等，关键句有“已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比”“现有制箱材料60m2”。从中获得解题目标：y=kab（k>0为比例系数），且有2a+4b+2ab=60。通过说题，让学生在对问题所呈现的材料进行阅读理解的基础上，将问题的实质、问题中的数学条件及所涉及的数学知识等用自己的语言表达出来，不但表达自己对问题的理解，也表达解决问题的基本思路，通过表达，加深了理解，并获得成功的喜悦。（五）改进教学方法。数学阅读，在当前绝大多数的数学教学中仍未引起足够的重视和普及，数学教师本身首先应加深对数学阅读的价值及数学阅读在数学素质教育中的重要作用的认识，自觉改进教学方法，主动将数学阅读纳入课堂教学环节，使之与讲授、练习等有机地结合在一起，共同构筑课堂教学的最优结构。总之，学生在数学阅读探究活动的过程中，应通过听、说、读、写等积极调动各种感觉器官，更好地促进大脑的思维活动，充分体现学生的主体地位。

参考文献：

[1]巍炜.高中生数学学习的调查研究[J].数学通报,2004，（12）：11-13.

[2]杨红萍，肖志娟.问题表征对数学阅读能力的影响研究[J].数学教育学报，2019，（2）：70-74.

[3]李兴贵幸世强.中小学数学阅读概论[M].成都：四川大学出版社，2013.

[4]王富英，王新明.“三线五环节”课堂教与学活动模式[J].中学数学杂志,2005，（08）：18-21.

[5]厉小康.数学阅读能力的培养研究[J].数学教育学报，2004，（2）:89-92.

作者:幸世强 王富英 单位:1.成都市武侯区教育科学发展研究院 2.成都龙泉驿区教育科学院