小议概率统计教学的要点

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本文作者：董毅工作单位：蚌埠学院

重视辩证思维的培养

思维的辩证性在概率统计中十分显著。比如：随机现象具有偶然性，但大量的偶然性又蕴含着必然性，概率统计理论就是通过对表面显现的偶然性的研究，来达到认识本质的必然性的目的；特定事件的发生与否不能确定，但结果的规律性却可以通过观察、归纳、类比、联想、猜测等合情推理进行预测、估算，体现了可能性与不可能性的辩证统一；事件的频率是事件的概率的近似，事件的概率是同一事件众多频率的稳定值，是从这些频率中抽象出来的，反映了频率与概率之间的具体与抽象关系；小概率事件虽然有发生的可能性，但概率太小，人们认为它是不可能事件，但并不是绝对不发生，这里反映了相对与绝对的辩证关系；随机事件是从静态观点研究随机想象，随机变量是从动态的观点研究随机现象，体现了概率研究方法中动和静的辩证统一；总体特征要通过样本来研究，说明每一事物内部不仅包含矛盾的特殊性而且包含了矛盾的普遍性；数据的特征数反映的是数据“群体”的特征，它来自于各个数据的信息，又不同与各个数据，体现了个体与整体的关系；统计推断的方法是科学的，但其作出的结论却可能犯错误，这两者是辩证统一的。作出的结论可能会犯错误的方法是科学的，就在于犯错误的概率很小；回归方程反映了两个高度线性相关变量之间的近似关系，是从这两个变量的数据对群体抽象出来的，它来自于它们又不同于他们；等等。概率统计教学中要注重阐述这些辩证的思想方法，培养学生的辩证性思维的能力。

重视实验研究的方法

一方面，我们需要让学生通过实验感受数学知识，比如去体验“频率的稳定性”，感受大量偶然性后面的必然性，去体验事件概率的客观性等等。由于概率统计应用极广，学生切实可做的实验很多，如生日问题、抽签问题、掷色子等。另一方面，概率论教学中的有些问题，也需要用实验的方法去研究，例如，对“随机掷两枚均匀硬币，出现“一正一反”的概率是1／2还是1／3”的问题，就要通过实验去统计频率并由频率估计概率来解决。再者，据我们的调查表明，学生很少知道数学需要实验方法，更没有用实验法研究数学问题的意识。因此，在教学中有意识地突出实验方法，利用实验教学，十分重要。

重视直观意义的说明

理论大多是由直观想法所猜测的结果经加工、修改或证明得出的。所以，在教学中要注重理论的直观解释、概率意义，关注理论是“如何想到的”，这有利于放飞学生的想象，培养学生创新的意识。同时这种直观教学思路，深入浅出，通俗易懂。概率统计中的大部分内容都可以结合学生已有经验，进行直观说明。比如：“A，B独立，则珡A，B独立”直观解释：因为A，B独立即A发生的可能性与B发生的可能性无关，而A完全决定了珡A，既然A与B独立，故珡A与B也独立；DX＝D（－X），DX＝（X＋A）直观解释：方差是反映随机变量取值差异的，X与－X（X与X＋A一样）取值不同，但取值的差异没变，故他们的方差相等；DC＝0：随机变量总是取常数C，取值间彼此无差异，故差异量为；算术平均数利用了数据的全部信息，中数（四分位数及百分位数类似，只是利用的更多）只利用了数据的大小顺序信息，而众数只利用了数据中的最大频数信息，所以算术平均数反映集中趋势最好，中数其次，众数再次。另外，Φ（x）＝1－Φ（－x），开方检验的思想———比较理论频数与实际频数，算术平均数性质的意义，等等，都可以直观解释。5重视结果产生的过程重视结果产生的过程，关注“知其所以然”，有利学生深刻地理解理论，更好地应用理论，对培养学生的创新能力十分重要。应当指出的是，教师在教学中展示理论产生的过程，未必是“原汁原味”的，那倒不一定适合学生。教师有时要按照“建构主义”思想，采取教育数学方法，从学生已有的经验出发，以能被学生所感悟为目标，来“创造”理论的产生过程，借此过程培养学生的能力。比如，对离散型随机变量期望定义，我们设计了下面“产生”的思考过程：第一步：1，2，1，3，2，2，3这7个数的平均数为（1＋2＋1＋3＋2＋2＋3）／7。第二步：设X是从这7个数中任意取出的一个数，随机变量X取值的平均数是什么？按（1＋2＋3）／3显然不对，因为X虽然只取这三个数，但取各个值的机会不同。将第一步中式子变形为（1＋2＋1＋3＋2＋2＋3）／7＝1×2／7＋2×3／7＋3×1／7可见，X取值的平均数是X的取值按概率的加权平均，从直观上看，这是合理的。第三步：X的期望是其取值的平均数。设取X的值N次，其中k出现Nk次，k＝1，2，3。由频率是概率的近似值得N1＝2N7，N2＝3N7，N3＝N7从而X的N次取值的平均数为1N1×2N7＋2×3N7＋3×N（）7＝1×27＋2×37＋3×17此结果与第二步相同，与N无关。由此得出期望定义，再加上为保证期望唯一性的“绝对收敛”条件，将定义完善。又如，在方差分析教学中，我们采用下面直观讲法，帮助学生理解统计量的构造思路：样本间的误差，是由诸水平效应引起的系统误差和由随机因素引起的随机误差两部分组成。因此，要研究“诸水平无显著差异”的假设是否成立，就要研究在假设成立条件下，由诸水平效应引起的系统误差相对于由随机因素引起的随机误差的大小，由此，再用样本均值代替相应的总体均值并稍作修改，得到方差分析中所用的统计量。这种直观的讲法，注重了结果产生的过程，不仅讲了是什么，而且交代了为什么。再如，方差的定义及改进教学中，我们注意交代方差的定义的形成过程：为度量随机变量取值的差异，以随机变量的期望为参照，并考虑平均首先想到构造为E｜X－EX｜，为数学处理方便的，修改为E｜X－EX｜2＝E（X－EX）2（修改后性质没变），作为方差DX的定义；为使DX与X的量纲一致，有时利用将DX改进为均方差槡DX（修改后性质没变）；为比较不同量纲的均方差或要相对于期望来看均方差的大小，的需要，将均方差改造成均方差系数槡DX珡X。

重视纵横贯通的联系

教学中重视纵横贯通的联系，对学生融会贯通、形成知识建构，真正掌握理论，提高运用知识去解决问题的能力，是十分重要的。概率统计中这种联系是多方面的。联系离散讲连续离散型随机变量比较简单，且能用来较好地阐述概率思想、说明方法，一般先讲。对连续型随机变量则可联系已学的离散型的相应理论，采取“离散化”方法直观得出。一般只要注意求和与积分、xi与x、分布列pi与分布密度f（x）的对应，就可将离散型的概念和结果“移植”到连续型情形。比如，由离散型随机变量期望的求法：EX＝∑ixipi，可直接得出连续型随机变量期望的求法：EX＝∫＋∞－∞f（x）dx。联系一维讲多维多维随机变量的概念和结果大多和一维随机变量是平行的，形式上是相似的，思想方法上是类同的。一般只要注意一元函数与多元函数的对应，相应地，一重极限与多重极限、一重求和或积分与多重求和或积分、导数与偏导数的对应，就可由一维随机变量的概念和结果类似建立多维的。这方面的例子很多。值得注意的是，正象一元函数与多元函数一样，一维随机变量与多维随机变量存在很多不同之处，比如，分布函数的性质。这一点在联系中应予以强调。联系概率讲统计统计以概率为基础。故统计的教学应当联系概率理论。而现行教材联系不够。一些统计中的概念和结果若通过联系概率论的相应内容直观引入，既能阐述它们之间的内在联系，又能突出统计的思想方法。比如，在统计量的教学中，我们将取自总体X的样本X1，…，Xn看成是总体取值的“缩影”，由于是简单随机取样，故可认为它们是等可能出现的。因此形式分布P｛X＝Xk｝＝1n，k＝1，…，n，可作为总体分布的缩影。这样，样本分布函数及样本数字特征就是随机变量X的分布函数及数字特征，这就将统计中的样本分布函数及样本数字特征统一为概率论中随机变量的相应概念。因此，S2＝1n∑ni＝1X2i－（珡X）2作为X的期望与方差的关系DX＝EX2－（EX）2，也就自然成立了。更重要是，这种用总体的“缩影”代替总体的直观思想，还蕴涵了格列文科定理、矩法估计的思想。联系检验讲估计参数的假设检验与区间估计是密切联系的。在学生了解了区间估计的概念、原理及思想之后，可通过引入构造量———含有未知参数的样本的函数的概念，由相应的假设检验方法，来得出参数的区间估计：只要将假设检验的接受域中的统计量换成构造量，再解出未知参数即可，限于篇幅，这里不详述。这种区间估计与假设检验的联系，不仅使学生避免了死记硬背繁杂的区间估计公式，而且这里引入的Neyman的由假设检验的理论来建立区间估计理论的思想，有利于学生进一步学习。联系现实社会生活概率统计与日常生活、自然知识和生产实践联系密切，教学中要充分利用。这种联系贴近学生生活，有利于学生知识建构，增加实用感，从而调动学生学习的积极性和主动性。比如安徽体育彩票开奖号码的数理统计分析、生日问题、保险问题等。联系学生所学专业概率统计知识呈现的背景，要联系学生所学专业上的问题，突出概率统计知识在实践中的应用，使学生感到需要，提高他们学习的主动性。比如，在师范类专业教学中，要注意渗透教育统计的内容和方法，联系中学教学实际；在经济与管理类专业教学中，结合教学内容，介绍概率统计在经济与管理中的应用，如“风险报酬”分析、“风险决策”分析、需求预测等，注重对学生应用概率统计知识解决专业领域中问题的意识与能力。

重视思想方法的凸现

概率统计中蕴涵不少很好的思想方法，比如：概率加法公式中体现的“增补原理”，大量现象下呈现的统计思想；全概率公式中体现的分解难点、由局部研究整体的思想；乘法公式中体现的“由因索果”思想，贝叶斯公式中体现的“由果索因”思想，等等。在相关内容的教学中，不失时机地阐述这些思想方法，十分有利于学生把握数学思想，提高数学素养。