管理会计在数学建模中的应用综述

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一、引言

回顾经济学的发展历程，我们会清楚地发现，经济学的每一次重大突破，都与数学有着重大的关系，在常量数学向变量数学转折中，微积分被应用于经济学，从而引发了经济学的“边际革命”；必然数学在向随机数学的转折中，又促使人们以概率论的观念取代传统的定数论的观念。可以说数学在不断地应用于经济学的过程中，不断地强化着数学与经济生活的关系，同时也在不断地改变着人们在经济生活中的思维方式和思维习惯，使人们的思维和行动更具备“量”的特征。

二、回归直线模型在混合成本分解及成本预测中的应用

为了规划和控制企业的经营活动，成本按其性态可分为变动成本、固定成本和混合成本；实际生活中混合成本的变化形式比较复杂，需将其变动和固定的两种因素分解出来，分别纳入变动成本和固定成本中，这个过程管理会计称之为混合成本的分解。利用回归直线模型可以实现混合成本的分解，首先把企业一定时期间内业务量即混合成本的历史资料进行归纳整理，然后用最小二乘法原理，算出最能代表业务量与混合成本关系的回归直线，从而确定混合成本中的固定成本和变动成本。回归模型的数学推导，设混合成本直线方程为：其中y代表混合成本的总额，x代表业务量，代表混合成本中的固定成本总额，b代表混合成本中的单位变动成本。根据混合成本的基本方程式及实际所得到的n个观察值，建立回归直线联立方程组，并相加得到如下用n个观察值的和的形式表示的方程式：(1-1)(1-2)由(1-1)得：(1-3)将(1-3)代入(1-2)得：(1-4)根据公式(1-3)、(1-4)将有关数据代入，先求出后求出，即可把混合成本分解成固定成本和变动成本。例1：某企业2011年7-12月份设备维修费数据归纳整理如下表，用回归直线法将混合成本设备维修费分解为变动成本和固定成本。解：所以，维修费的混合成本就可以确定为：例2：某企业历史成本资料如下表，预计7月份产量为300件，用回归直线法预测7月份的成本总额。解：总成本的性态数学模型为：将代入模型，得7月份成本预测值。

三、导数在企业存货规划决策中的应用

假设企业存货的全年需求量、存货单价都稳定不变，研究经济订货量只考虑每次订货的业务成本，以及随着存货量的变动而变化的平均储存成本，那么，全年总成本=全年平均储存成本+全年订货成本，即(2-1)其中A代表全年需求量，Q代表每次订货量，P代表每次订货成本，C代表单位存货全年平均储存成本，T代表全年总成本。为建立经济订货量及最低总成本数学模型，可求全年总成本T为极小值时的Q值。以Q为自变量，求T关于Q的导数：，令，则，，即经济订货量模型为：(2-2)将(2-2)代入(2-1)得：，即为全年总成本为极小值数学模型。例3：某公司每年耗用某种材料80000千克，每次订货成本为200元，每千克存货全年平均储存成本为2元，试分析这种材料的经济订货量及最低的总成本。解：(千克)(元)答：材料的经济订货量为4000千克，最低总成本为8000元。

四、复利与年金在投资决策中的应用

(一)复利。从西方经济学的观点来看，即使不考虑通胀的风险，货币在不同时间的价值也不同，即货币有它的时间价值；根据国际惯例，无论投资、筹资，还是存款、贷款业务，若期限在两期或两期以上，通常按复利计息。我们把某一特定金额按规定利率折算的未来价值，称为货币的将来值(终值、本利和)；把某一特定金额按规定利率折算的现在价值，称为现值。货币的将来值，用F表示；现值用P表示。设r为利率，t期后资金P的本利和为：若每期又分n次计息，则，求当时，F的极限，则，即资金P的将未来值数学模型为：。对上述公式做数学运算，则得资金F的现值数学模型为：。

(二)年金。凡在一定时期内，每隔相同的时期收入(或支出)相等金额的款项叫年金。年金根据每年收入(或支出)的具体情况分为普通年金、预付年金等。在投资决策中经常会出现年金的情况。比如某投资项目完成后，每年会回收等额的净利和折旧；保险投资每月等额的保费等等，都是年金。普通年金将来值的计算。普通年金支出(收入)在期末。计算公式列示如下：其中P为资金现值，r为利率，t为期值。若每期分n次计息，当时，普通年金现值的计算。计算公式列示如下：其中F为资金值，r为利率，t为期值。若每期分n次计息，当时，例4：某种保险，每月交保费50元(年缴600元)，年缴月缴均可，试问20年后，一次领取28899元，以5%的年利率计算，哪种投资更合算？解：600元作为普通年金计算。P=600，r=0.05，t=20(元)因为28899＞20616，保险投资比银行存款更合算。例5：某公司为了提高产品质量，拟购置一台现代化生产设备。现有两个方案可供选择：甲方案是一次付款1200000元；乙方案分六期付款，每年初付款240000元，六年共付1440000元。若银行借款利率为9%(复利)，要求为该公司做出采用方案的决策分析。解：此问题属于预付年金的情况，预付年金就是每期期初支出等额款项，由于预付年金与普通年金的区别只在于付款时期的不同，t期预付年金比t期普通年金终值、现值多记一期利息。因此，只要在普通年金将来值、现值基础上再乘以(1+r)即可。方法一：将乙方案分六期付款折算成预付年金现值，则(元)将乙方案预付年金现值与甲方案一次性付款比较，1200000-1173516.3=26483.7(元)，故乙方案较好。方法二：将乙方案分六期付款折算成预付年金现值，则(元)将乙方案预付年金现值与甲方案一次性付款比较，1212811.7>1200000，故甲方案较好。

讨论：为什么会出现两种不同的结果？分析年金现值数学模型的推导过程，不难发现，第二种方法所用数学模型，是当时，函数极限的模型。通过分析我们发现，第二种方法，六年的付款期限，相对时间较短，同时也不可能无限次计息，所以，方法一较为合理。因此，在应用数学模型解决实际问题的时候，应当具体问题具体分析，注意数学模型建立的条件及数学模型使用的范围。